Геометрические преобразования: перенос, вращение и отражение

Геометрические преобразования — это изменения, выполняемые с изображениями, такие как: перемещение, отражение, поворот, увеличение или уменьшение масштаба. Их можно сделать любой фигурой, будь то простые геометрические фигуры или сложные изображения.

Эти преобразования позволяют нам создавать новые фигуры из исходных или менять их положение. Для проведения этих преобразований нам необходимо использовать систему отсчета и стандартную единицу измерения, как в декартовой плоскости.

Декартова плоскость — это система координат на плоскости, где каждая точка имеет уникальный адрес. Он состоит из двух пронумерованных осей, x и y. Таким образом, пара (x, y) дает точное местоположение этой точки.

Сохраняя формы, то есть сохраняя длины и углы, мы можем выполнять три геометрических преобразования: перемещение, вращение и отражение.

Например, при перемещении изображения в новое место мы будем выполнять перевод. Если мы вращаем его вокруг точки, это вращение. Если мы отражаем фигуру относительно оси, мы делаем отражение.

instagram story viewer

Перевод

Перевод состоит в перемещении фигуры из одной точки плоскости в другую с сохранением ее формы, ориентации и размера.

Пример
Два треугольника на изображении ниже конгруэнтны, то есть равны. Можно сказать, что треугольник ABC переместился на вторую позицию, представленную треугольником A'B'C'.

Преобразование геометрического сдвига. — Треугольник ABC был перемещен или перевезен.

Отражение

Отражение состоит в отражении изображения относительно прямой линии, которая может быть горизонтальной, вертикальной или наклонной. Эта линия называется осью отражения.

При отражении координаты каждой точки исходной фигуры инвертируются относительно оси отражения.

Пример
В отражении относительно оси x ниже координаты точек A, B и C перешли к A', B' и C', например:

А (-5, 3) ► А' (-5, -3)

В (-6, 1) ► В' (-6, -1)

С (-2, 2) ► С' (-2, -2)

Другими словами, каждая точка A, B и C находится на таком же расстоянии от оси x отражения, что и точки A', B' и C'.

Геометрическое преобразование вращения. — Отражение треугольника ABC относительно оси x.

Вращение

Вращение изображения состоит в его повороте относительно точки на плоскости, называемой центром вращения. Чтобы выполнить вращение фигуры, мы должны учитывать ориентацию вращения (по часовой стрелке или против часовой стрелки) и меру угла поворота в градусах.

Пример
Треугольник ABC был повернут против часовой стрелки на угол 45°. Центром вращения является точка А, поэтому она остается неподвижной.

Преобразования геометрического сокращения и увеличения

При уменьшении или увеличении размеры изображения увеличиваются или уменьшаются, сохраняя соотношение сторон.

В этих случаях углы остаются прежними, а длина и ширина увеличиваются или уменьшаются. Поэтому форма изображения сохраняется, а его площадь изменяется.

Пример

Упражнения на геометрические преобразования

Упражнение 1

Следующие четырехугольники ABCD перевели какие меры в направлениях x и y в положение A'B'C'D'?

См. ответ

Для ответа возьмем за точку отсчета любую точку четырехугольника, например, точку А.

По оси x он сместился на -5, а по оси y - на 2.

Упражнение 2

Нарисуйте отражение пятиугольника от вертикальной линии.

См. ответ

Чтобы отразить пятиугольник по отношению к вертикальной линии, мы должны инвертировать каждую из точек. Для этого каждая точка с левой стороны должна быть на одинаковом расстоянии от линии.

Точка C на правой стороне находится на расстоянии 3 единиц, поэтому то же самое должно произойти и на правой стороне. Повторяя процедуру для остальных точек, имеем:

Упражнение 3

Прямоугольный треугольник ниже был повернут с центром вращения в точке B. Ответьте на направление вращения и измерьте угол поворота.

См. ответ

Треугольник ABC был повернут по часовой стрелке относительно точки B до положения A'B'C'.

Чтобы определить угол поворота, мы понимаем, что отрезок A'B' делит квадрат пополам, то есть является биссектрисой прямого угла 90° и делит его пополам.

Таким образом, треугольник повернулся на 45° по часовой стрелке.

Смотрите также:

Геометрия
Плоская геометрия
Геометрические фигуры
многоугольники

АСТ, Рафаэль. Геометрические преобразования: перенос, вращение и отражение.Все дело, [без даты]. Доступно в: https://www.todamateria.com.br/transformacoes-geometricas/. Доступ по адресу:

См. также