Соотношение Эйлера — это равенство, связывающее количество вершин, ребер и граней в выпуклых многогранниках. В нем говорится, что количество граней плюс количество вершин равно количеству ребер плюс два.
Отношение Эйлера определяется как:
Где,
Ф это количество граней,
В количество вершин,
НАШИ количество ребер.
Мы можем использовать соотношение Эйлера, чтобы определить или подтвердить неизвестные значения V, F или A, когда многогранник выпуклый.
| Многогранник | Ф | В | НАШИ | Ф+В | А + 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| куб | 6 | 8 | 12 | 6 + 8 = 14 | 12 + 2 = 14 |
| треугольная пирамида | 4 | 4 | 6 | 4 + 4 = 8 | 6 + 2 = 8 |
| Пятиугольная базовая призма | 7 | 10 | 15 | 7 + 10 = 17 | 15 + 2 = 17 |
| правильный октаэдр | 8 | 6 | 12 | 8 + 6 = 14 | 12 + 2 = 14 |
Пример
Выпуклый многогранник имеет 20 граней и 12 вершин. Определить количество ребер.
Используя соотношение Эйлера и выделение A:
Подставив значения F и V:
Грани, вершины и ребра
Многогранники представляют собой твердые трехмерные геометрические фигуры без закругленных сторон. Эти стороны являются гранями (F) многогранника.
Встречу граней мы называем ребрами (А).
Вершины — это точки, в которых встречаются три или более ребер.
выпуклые многогранники
Выпуклые многогранники являются геометрическими телами, не представляющими вогнутости, поэтому ни на одной из их граней нет внутренних углов больше 180º.
В этом многограннике внутренний угол, отмеченный синим цветом, больше 180º, поэтому он не является выпуклым многогранником.
Подробнее о многогранники.
Упражнения по соотношению Эйлера
Упражнение 1
Найдите количество граней многогранника с 9 ребрами и 6 вершинами.
Правильный ответ: 5 лиц.
Используя соотношение Эйлера:
Ф + В = А + 2
F = А + 2 - В
Ф = 9 + 2 - 6
Ф = 11 - 6
Ф = 5
Упражнение 2
Додекаэдр — это платоново тело с 12 гранями. Зная, что у него 20 вершин, определите количество его ребер.
Правильный ответ:
Используя соотношение Эйлера:
Ф + В = А + 2
Ф + В - 2 = А
12 + 20 - 2 = А
32 - 2 = А
30 = А
Упражнение 3
Как называется многогранник с 4 вершинами и 6 ребрами по отношению к числу его граней, где грани являются треугольниками?
Ответ: Тетраэдр.
Нам нужно определить его количество граней.
Ф + В = А + 2
F = А + 2 - В
Ф = 6 + 2 - 4
Ф = 8 - 4
Ф = 4
Многогранник, имеющий 4 грани в виде треугольников, называется тетраэдром.
Кем был Леонард Пауль Эйлер?
Леонард Пауль Эйлер (1707–1783) был одним из самых опытных математиков и физиков в истории, а также внес вклад в астрономические исследования. Немецкоязычный швейцарец, он был профессором физики в Санкт-Петербургской Академии наук, а затем в Берлинской Академии. Он опубликовал несколько исследований по математике.
Также узнайте:
- Геометрические тела
- Пространственная геометрия
- Геометрические фигуры
- Призма - геометрическая фигура
- Пирамида
- Брусчатка
- куб
