Аналитическая геометрия изучает геометрические элементы в системе координат на плоскости или в пространстве. Эти геометрические объекты определяются своим положением и положением относительно точек и осей этой системы ориентации.
Со времен древних народов, таких как египтяне и римляне, идея координат уже появилась в истории. Но именно в 17 веке, благодаря работам Рене Декарта и Пьера де Ферма, эта область математики была систематизирована.
Декартова ортогональная система
Ортогональная декартова система - это справочная база для определения координат. Он образован на плоскости двумя перпендикулярными осями друг к другу.
- Начало O (0,0) этой системы - пересечение этих осей.
- Ось x - абсцисса.
- Ось y - ордината.
- Четыре квадранта ориентированы против часовой стрелки.
упорядоченная пара
Любая точка на плоскости имеет координату P (x, y).
x - абсцисса точки P и представляет собой расстояние от ее ортогональной проекции на ось x до начала координат.
y - ордината точки P и расстояние от ее ортогональной проекции на ось y до начала координат.
расстояние между двумя точками
Расстояние между двумя точками на декартовой плоскости - это длина отрезка, соединяющего эти две точки.
Формула расстояния между двумя точками а также
любой.
Координаты средней точки
Середина - это точка, которая делит сегмент на две равные части.
Существование середина сегмента
, его координаты - среднее арифметическое по абсциссе и ординате.
а также
Условие трехточечной центровки
Учитывая баллы: .
Эти три точки будут выровнены, если определитель следующей матрицы равен нулю.
Пример
Угловой коэффициент линии
склон прямой - это касательная к ее наклону
относительно оси абсцисс.
Чтобы получить наклон по двум точкам:
Если m> 0, линия восходящая, иначе, если m <0, линия нисходящая.
общее уравнение линии
Где ВB а также ç - постоянные действительные числа и, В а также B они не равны нулю одновременно.
Пример
Уравнение линии, зная точку и наклон
учитывая точку и наклон
.
Уравнение линии будет:
Пример
Приведенная форма прямого уравнения
Где:
м - уклон;
n - линейный коэффициент.
нет упорядочивается там, где линия пересекает ось y.
Пример
Смотреть Линейное уравнение.
Относительное положение между двумя параллельными линиями на плоскости
Две четкие линии параллельны, если их наклоны равны.
если прямой р имеет наклон , и прямой s имеет наклон
, они параллельны, когда:
Для этого ваши наклонности должны быть одинаковыми.
Касательные равны при равных углах.
Относительное положение между двумя конкурирующими прямыми линиями на плоскости
Две линии совпадают, если их наклоны разные.
В свою очередь, наклоны различаются, если их углы наклона относительно оси x различны.
перпендикулярные линии
Два остатка перпендикулярны, если произведение их наклонов равно -1.
две прямые р а также с, отчетливый, с уклонами а также
, перпендикулярны тогда и только тогда, когда:
или
Другой способ узнать, перпендикулярны ли две прямые - это их уравнения в общем виде.
Уравнения линий r и s:
Две перпендикулярные ему линии при:
Смотреть Перпендикулярные линии.
Длина окружности
Окружность - это геометрическое место на плоскости, где все точки P (x, y) находятся на одинаковом расстоянии. р от его центра C (a, b), где р это мера бытия радиуса.
Уравнение окружности в приведенной форме
Где:
р - это радиус, расстояние между любой точкой дуги и центром. Ç.
В а также B координаты центра Ç.
общее уравнение круга
Он получается путем вычисления квадратов приведенного уравнения окружности.
Очень часто в упражнениях показывают общую форму уравнения окружности, также известную как нормальная форма.
конический
Слово конический происходит от конуса и относится к кривым, полученным путем его секционирования. Эллипс, гипербола и парабола - это кривые, называемые коническими.
Эллипс
Эллипс - это замкнутая кривая, полученная путем сечения прямого кругового конуса плоскостью, наклонной к оси, которая не проходит через вершину и не параллельна ее образующим.
На плоскости - множество всех точек, сумма расстояний до двух внутренних фиксированных точек постоянна.
Элементы эллипса:
- F1 и F2 - фокусы эллипса;
- 2c - фокусное расстояние эллипса. Это расстояние между F1 и F2;
- Смысл О это центр эллипса. Это середина между F1 и F2;
- A1 и A2 - вершины эллипса;
- сегмент
большая ось и равна 2а.
- сегмент
малая ось равна 2b.
- Эксцентриситет
где 0
Уравнение редуцированного эллипса
Рассмотрим точку P (x, y), содержащуюся в эллипсе, где x - абсцисса, а y - ордината этой точки.
Центр эллипса в начале системы координат и большая ось (AA) на оси x.
Центр эллипса в начале системы координат и большая ось (AA) на оси y.
Приведенное уравнение эллипса с осями, параллельными осям координат
учитывая точку как начало декартовой системы и точка
как центр эллипса.
Большая ось AA, параллельная оси x.
Большая ось AA параллельна оси y.
Гипербола
Гипербола - это набор точек на плоскости, где разница между двумя фиксированными точками F1 и F2 дает постоянное положительное значение.
Элементы гиперболы:
- F1 и F2 - фокусы гиперболы.
- 2c =
фокусное расстояние.
- Центр гиперболы - это точка О, F1F2 сегмент средний.
- A1 и A2 - вершины.
- 2a = A1A2 - действительная или поперечная ось.
- 2b = B1B2 - мнимая или сопряженная ось.
-
это эксцентриситет.
Через треугольник B1OA2
Редуцированное уравнение гиперболы
С действительной осью вокруг оси x и центром в начале координат.
С действительной осью на оси Y и центром в начале координат.
Уравнение гиперболы с осями, параллельными осям координат
Реальная ось AA параллельна оси x и центру .
Действительная ось AA параллельна оси y и центру .
Притча
Парабола - это геометрическое место, где множество точек P (x, y) находится на одинаковом расстоянии от фиксированной точки F и прямой d.
Элементы притчи:
- F - это центральная часть притчи;
- d - прямая направляющая;
- Ось симметрии - это прямая линия, проходящая через фокус F и перпендикулярная направляющей.
- V - вершина параболы.
- p - отрезок одинаковой длины между фокусом F и вершиной V e, между вершиной и директивой d.
Приведенные уравнения параболы
С вершиной в начале координат и осью симметрии на оси y.
Если p> 0 вогнутость вверх.
Если p <0, вогнутость вниз.
С вершиной в начале координат и осью симметрии на оси x.
Если p> 0 вогнутость вправо.
Если p <0 вогнутость слева.
С осью симметрии, параллельной оси y и вершине .
С осью симметрии, параллельной оси x и вершине .
практика с Упражнения по аналитической геометрии.
Узнайте больше на:
Декартов план
расстояние между двумя точками
конический
Расчет углового коэффициента
