THE Закон косинуса используется для вычисления меры одной стороны или неизвестного угла любого треугольника, зная его другие размеры.
Утверждение и формулы
Теорема косинусов утверждает, что:
"В любом треугольнике квадрат на одной стороне представляет собой сумму квадратов на двух других сторонах за вычетом удвоенного произведения этих двух сторон на косинус угла между ними.."
Таким образом, по закону косинусов мы имеем следующие отношения между сторонами и углами треугольника:
Примеры
1. Две стороны треугольника имеют размеры 20 см и 12 см и образуют между собой угол 120 °. Рассчитайте размер третьей стороны.
Решение
Для вычисления меры третьей стороны воспользуемся законом косинусов. Для этого рассмотрим:
б = 20 см
c = 12 см
cos α = cos 120º = - 0,5 (значение найдено в тригонометрических таблицах).
Заменив эти значения в формуле:
В2 = 202 + 122 - 2. 20. 12. (- 0,5)
В2 = 400 + 144 + 240
В2 = 784
а = √784
а = 28 см
Итак, третья сторона измеряет 28 см.
2. Определите размер стороны AC и угол с вершиной в точке A по следующему рисунку:
Сначала определим AC = b:
B2 = 82 + 102 – 2. 8. 10. 50-е место
B2 = 164 – 160. 50-е место
B2 = 164 – 160. 0,64279
b ≈ 7,82
Теперь давайте определим угловую меру по закону косинусов:
82 = 102 + 7,822 – 2. 10. 7,82. потому что
64 = 161,1524 - 156,4 cos Â
cos  = 0,62
 = 52º
Примечание: Чтобы найти значения углов косинуса, мы используем Тригонометрический стол. В нем у нас есть значения углов от 1º до 90º для каждой тригонометрической функции (синуса, косинуса и тангенса).
Заявление
Закон косинуса применим к любому треугольнику. Будь то остроугольный (внутренние углы менее 90 °), тупоугольный (с внутренним углом более 90 °) или прямоугольный (с внутренним углом, равным 90 °).
А как насчет прямоугольных треугольников?
Применим закон косинусов к стороне, противоположной углу 90 °, как показано ниже:
В2 = b2 + c2 - 2. Б. ç. cos 90º
Поскольку cos 90º = 0, приведенное выше выражение принимает следующий вид:
В2 = b2 + c2
Это то же самое, что и выражение теорема Пифагора. Таким образом, можно сказать, что эта теорема является частным случаем закона косинусов.
Закон косинуса подходит для задач, в которых нам известны две стороны и угол между ними, и мы хотим найти третью сторону.
Мы все еще можем использовать его, когда знаем три стороны треугольника и хотим знать один из его углов.
Для ситуаций, когда мы знаем два угла и только одну сторону и хотим определить другую сторону, удобнее использовать закон грехов.
Определение косинуса и синуса
Косинус и синус угла определяются как тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Сторона, противоположная прямому углу (90º), называется гипотенузой, а две другие стороны называются катетами, как показано на рисунке ниже:
Затем косинус определяется как отношение между измерением соседнего отрезка и гипотенузой:
С другой стороны, синус - это отношение измерения противоположного плеча к гипотенузе.
Упражнения для вступительных экзаменов
1. (UFSCar) Если стороны треугольника имеют размер x, x + 1 и x +2, то для любого Икс действительный и больше единицы, косинус наибольшего внутреннего угла этого треугольника равен:
а) х / х + 1
б) х / х + 2
в) х + 1 / х + 2
г) х - 2 / 3х
д) х - 3 / 2х
Альтернатива e) x - 3 / 2x
2. (UFRS) В треугольнике, представленном на рисунке ниже, AB и AC имеют одинаковую меру, а высота относительно стороны BC равна 2/3 меры BC.
На основании этих данных косинус угла CÂB равен:
а) 25.07
б) 7/20
в) 4/5
г) 5/7
д) 5/6
Альтернатива а) 25 июля
3. (UF-Juiz de Fora) Две стороны треугольника имеют размер 8 м и 10 м и образуют угол 60 °. Третья сторона этого треугольника измеряет:
а) 2√21 м
б) 2√31 м
в) 2√41 м
г) 2√51 м
д) 2√61 м
Вариант а) 2√21 м
Узнать больше по теме:
- Тригонометрия
- Тригонометрия в прямоугольном треугольнике
- Упражнения по тригонометрии в прямоугольном треугольнике
- Тригонометрические отношения
- Тригонометрический круг
- Тригонометрические функции
