Арифметическая прогрессия (P.A.)

THE Арифметическая прогрессия (P.A.) представляет собой последовательность чисел, в которой разница между двумя последовательными терминами всегда одинакова. Эта постоянная разница называется P.A.

Таким образом, начиная со второго элемента последовательности, числа, которые появляются, являются результатом суммы константы со значением предыдущего элемента.

Это то, что отличает ее от геометрической прогрессии (PG), потому что в ней числа умножаются на соотношение, а в арифметической прогрессии они складываются.

Арифметические прогрессии могут иметь фиксированное количество терминов (конечный P.A.) или бесконечное количество членов (бесконечное P.A.).

Чтобы указать, что последовательность продолжается бесконечно, мы используем эллипсы, например:

• последовательность (4, 7, 10, 13, 16, ...) - бесконечный П.А.
• последовательность (70, 60, 50, 40, 30, 20, 10) является конечным P.A.

Каждый термин в P.A. идентифицируется позицией, которую он занимает в последовательности, и для представления каждого термина мы используем букву (обычно букву

В), за которым следует число, обозначающее его позицию в последовательности.

Например, термин В₄ в P.A (2, 4, 6, 8, 10) - это число 8, так как это число занимает 4-ю позицию в последовательности.

Классификация П.А.

По величине отношения арифметические прогрессии подразделяются на:

• Постоянный: когда коэффициент равен нулю. Например: (4, 4, 4, 4, 4 ...), где r = 0.
• Рост: когда отношение больше нуля. Например: (2, 4, 6, 8,10 ...), где r = 2.
• нисходящий: когда отношение меньше нуля (15, 10, 5, 0, - 5, ...), где r = - 5

P.A. Properties

1-й объект:

В конечном П.А. сумма двух членов, равноудаленных от крайних значений, равна сумме крайних значений.

Пример

2-е свойство:

Рассматривая три последовательных члена П.А., средний член будет равен среднему арифметическому двух других членов.

Пример

3-е свойство:

В конечном П.А. с нечетным числом членов центральный член будет равен среднему арифметическому между терминами, равноудаленными от него. Это свойство происходит от первого.

Общая формула срока

Где,

an: термин, который мы хотим вычислить
a1: первый срок П.А.
n: позиция термина, который мы хотим обнаружить
г: причина

Формула объяснения

Поскольку коэффициент P.A. постоянен, мы можем рассчитать его значение из любых последовательных значений, то есть:

Следовательно, мы можем найти значение второго члена П.А., выполнив:

Чтобы найти третий член, воспользуемся тем же расчетом:

Замена значения₂, которое мы обнаружили ранее, имеем:

Если мы будем следовать тем же рассуждениям, мы можем найти:

Наблюдая за найденными результатами, отметим, что каждый член будет равен сумме первого члена с коэффициентом, умноженным на предыдущую позицию.

Этот расчет выражается формулой общего члена П.А., которая позволяет нам узнать любой элемент арифметической прогрессии.

Пример

Вычислите 10-й член П.А.: (26, 31, 36, 41, ...)

Решение

Во-первых, мы должны определить, что:

В₁ = 26
г = 31 - 26 = 5
n = 10 (10-й член).

Подставляя эти значения в формулу общего члена, имеем:

В_нет = the₁ + (п - 1). р
В₁₀ = 26 + (10-1). 5
В₁₀ = 26 + 9 .5
В₁₀ = 71

Следовательно, десятый член указанной арифметической прогрессии равен 71.

Формула общего члена из любого k члена

Часто, чтобы определить какой-либо общий термин, который мы называем an, у нас нет первого термина a1, но мы знаем любой другой термин, который мы называем ak.

Мы можем использовать формулу общего члена из любого термина k:

Обратите внимание, что единственной разницей было изменение индекса 1 в первой формуле на k во второй.

Существование,

an: n-й член P.A. (член в любой n позиции)
ak: k-й член P.A. (член в любой позиции k)
r: причина

Сумма условий P.A.

Чтобы найти сумму членов конечного П.А., просто используйте формулу:

Где,

s_нет: сумма первых n членов П.А.
В₁: первый срок П.А.
В_нет: занимает n-ю позицию в последовательности (член в позиции n)
нет: временная позиция

Также читайте о PA и PG.

Упражнение решено

Упражнение 1

PUC / RJ - 2018 г.

Зная, что числа в последовательности (y, 7, z, 15) находятся в арифметической прогрессии, сколько стоит сумма y + z?

а) 20
б) 14
в) 7
г) 3,5
д) 2

См. Ответ

Чтобы найти значение z, мы можем использовать свойство, которое гласит, что когда у нас есть три последовательных члена, средний член будет равен среднему арифметическому двух других. Итак, у нас есть:

Если z равно 11, то соотношение будет равно:

г = 11 - 7 = 4

Таким образом, y будет равно:

у = 7 - 4 = 3

Следовательно:

у + г = 3 + 11 = 14

Альтернатива: б) 14

Упражнение 2.

МСФО - 2017

На рисунке ниже у нас есть последовательность прямоугольников высотой a. Основание первого прямоугольника - это b, а последующие прямоугольники - это базовое значение предыдущего прямоугольника плюс единица измерения. Таким образом, основание второго прямоугольника равно b + 1, а третьего - b + 2 и так далее.

Обратите внимание на утверждения ниже.

I - последовательность прямоугольных областей представляет собой арифметическую прогрессию отношения 1.
II - Последовательность прямоугольных областей представляет собой арифметическую прогрессию отношения a.
III - Последовательность площадей прямоугольников представляет собой геометрическую прогрессию отношения a.
IV - Площадь n-го прямоугольника (A_нет) можно получить по формуле A_нет = а. (b + n - 1).

Отметьте альтернативу, которая содержит правильные утверждения.

там.
б) II.
в) III.
г) II и IV.
д) III и IV.

См. Ответ

Рассчитав площадь прямоугольников, мы имеем:

А = а. B
THE₁ = а. (б + 1) = а. б + а
THE₂ = а. (б + 2) = а. Б. + 2-й
THE₃ = а. (б + 3) = а. б + 3а

Из найденных выражений заметим, что последовательность образует ПА с соотношением, равным Файл. Продолжая последовательность, мы найдем площадь n-го прямоугольника, которая определяется как:

THE_нет= а. b + (n - 1) .a
THE_нет = а. б + а. в

положить В в доказательство мы имеем:

THE_нет = а (Ь + п - 1)

Альтернатива: d) II и IV.

Упражнение 3.

UERJ

Допустить проведение чемпионата по футболу, на котором предупреждения, полученные спортсменами, представлены только желтыми карточками. Эти карты конвертируются в штрафы по следующим критериям:

• За первые две полученные карты штрафы не начисляются;
• За третью карту взимается штраф в размере 500 бразильских реалов.
• Следующие ниже карточки генерируют штрафы, размер которых всегда увеличивается на 500 реалов по сравнению со стоимостью предыдущего штрафа.

В таблице показаны штрафы, относящиеся к первым пяти картам, примененным к спортсмену.

Рассмотрим спортсмена, получившего 13 желтых карточек во время чемпионата. Общая сумма штрафов по всем этим картам в реалах составляет:

а) 30 000
б) 33 000
в) 36 000
г) 39 000

См. Ответ

Правильный ответ: б) 33 000

Начиная с третьей желтой карточки, размер штрафа увеличивается в размере 500 бразильских реалов. Принимая во внимание первый член, a1, со значением третьей карты, 500,00 реалов.

Для определения общей суммы штрафов необходимо использовать формулу суммы условий П.А.

Поскольку у спортсмена 13 желтых карточек, но первые две не влекут за собой штрафов, мы сделаем П.А. 13–2 членов, то есть 11 членов.

Таким образом, мы имеем следующие значения:

а1 = 500
п = 11
г = 500

Чтобы найти значение n-го члена, a11, мы используем формулу общего члена.

an = a1 + (n-1) .r
а21 = 500 + (11-1) х 500
а21 = 500 + 10 х 500
а21 = 5500

Применяя формулу суммы слагаемых П.А.

Решите больше упражнений в:

Арифметическая прогрессия - упражнения

Узнайте больше, также прочитав:

• Числовая последовательность
• Геометрическая прогрессия
• Геометрическая прогрессия - упражнения
• Математические формулы