Перестановка - это метод подсчета, используемый для определения количества способов упорядочить элементы конечного набора. Произвести обмен - значит выполнить обмен, и в задачах комбинаторики это означает обмен элементами места с учетом их упорядочения.
Эти методы являются частью области математики, называемой комбинаторным анализом, целью которой является знание и подсчет различных способов организации множеств и их элементов. Простая перестановка и повторяющиеся элементы решают эту категорию проблем.
простая перестановка
Простая перестановка - это упорядочение элементов конечного множества, когда их элементы не повторяются, различны. Он используется для определения количества этих сортов.
Количество перестановок набора из n элементов равно n! (читает факториал n).
Формула для определения количества простых перестановок:
Рассмотрим набор из n элементов. Чтобы организовать их в очередь, нам нужно выбрать первую, и для этого у нас есть n возможностей. Чтобы выбрать второй, у нас есть (n-1) возможностей, на один меньше, потому что мы уже использовали вариант при выборе первого. Этот процесс продолжается до тех пор, пока не останется только один элемент.
Чтобы определить общее количество перестановок, мы умножаем количество возможностей, которые существуют при выборе каждого элемента. Таким образом:
Выражение выше называется факториалом n, и мы используем символ нет!.
узнать больше о факториал Здесь.
Пример:
Различные способы организации букв в словах называются анаграммами. Сколько существует анаграмм для слова УТКА?
Это возможности:
Итак, поскольку слово PATO состоит из 4 букв, мы должны
Итак, есть 24 простых варианта для слова УТКА.
Упражнения на простые перестановки
Вопрос 1
Рассчитайте стоимость .
вопрос 2
Представьте себе очередь людей в порядке очереди, в которой в любой момент времени находится шесть человек. Сколькими разными способами можно было бы расположить этих людей от первого до последнего?
Каждая форма заказа представляет собой простую перестановку, поскольку отдельные лица уникальны и не повторяются. Итак, с шестью людьми ответ - перестановка с шестью элементами.
вопрос 3
Рассмотрите слово ВИЛКА и ответьте на следующие вопросы?
а) Сколько анаграмм у слова ВИЛКА?
Поскольку буквы не повторяются, это простой случай перестановки из 5 элементов.
б) Сколько анаграмм начинаются на букву А?
В этом случае мы фиксируем букву A в начале и вычисляем перестановки с буквами GRFO, которые представляют собой перестановки 4 элементов.
1 возможность для буквы A x .
в) Сколько всего анаграмм, если гласные всегда рядом друг с другом?
Один из возможных вариантов - G R F A O.
Есть три способа упорядочить согласные. P3 = 3 х 2 х 1 = 6
Есть два способа упорядочить гласные. P2 = 2 х 1 = 2
Есть еще два способа организовать группы (согласные и гласные) между собой. P2 = 2 х 1 = 2
Теперь просто умножьте результаты.
Р3 х Р2 х Р2 = 6 х 2 х 2 = 24
Итак, есть 24 анаграммы, в которых гласные всегда вместе.
Перестановка с повторением
Перестановка с повторяющимися элементами происходит, когда в наборе из n элементов некоторые из них равны.
В формуле для определения количества перестановок с повторением мы делим факториал общего числа элементов n на произведение факториалов повторяющихся элементов.
- количество перестановок n элементов.
это количество повторяющихся элементов каждого типа.
- факториал общего числа элементов n.
Примеры
Давайте определим, сколько существует перестановок у слова EGG. Чтобы было проще, раскрасим буквы. Давайте посмотрим на анаграммы слова EGG.
Количество простых перестановок с 3 элементами определяется выражением
Однако некоторые перестановки повторяются, и мы не можем пересчитать их дважды. Для этого мы должны разделить стоимость (потому что слово состоит из трех букв),
(потому что буква O повторяется дважды).
Таким образом, количество перестановок букв слова ОВО равно 3.
Давайте посмотрим на этот другой пример, где мы определим количество перестановок букв слова BANANA.
Где:
означает перестановку с 6 элементами, в которых повторяются буквы A и N.
3! для буквы А повторяется три раза.
2! для буквы N повторяется дважды.
Совет, который упростит расчет, - разработать 6! пока не дойдете до 3!, упрощая со знаменателем. Смотрите развитие.
Таким образом, количество перестановок букв в слове БАНАНА равно 60.
Возможно, вас заинтересует содержание комбинаторного анализа:
Комбинаторный анализ
Упражнения по комбинаторному анализу
