Две различные линии, которые находятся в одной плоскости, являются параллельными, если у них есть одна общая точка.
Состоящие друг от друга линии образуют 4 угла друг к другу и, согласно измерениям этих углов, они могут быть перпендикулярными или наклонными.
Когда образованные ими 4 угла равны 90º, они называются перпендикулярными.
На рисунке под линиями р а также s перпендикулярны.
Если образованные углы отличны от 90º, они называются косыми участниками. На рисунке ниже мы изображаем линии ты а также v косые.
Конкуренция, совпадение и параллельность линий
Две прямые, принадлежащие одной плоскости, могут быть параллельными, совпадающими или параллельными.
В то время как параллельные линии имеют единственную точку пересечения, совпадающие линии имеют по крайней мере две общие точки и параллельные линии у них нет общих точек.
Относительное положение двух прямых
Зная уравнения двух линий, мы можем проверить их взаимное расположение. Для этого мы должны решить систему, образованную уравнениями двух линий. Итак, у нас есть:
- Параллельные линии: система возможна и определена (одна общая точка).
- Совпадающие линии: система возможна и определена (бесконечное количество общих точек).
- Параллельные линии: система невозможна (нет общих точек).
Пример:
Определите относительное положение между линией r: x - 2y - 5 = 0 и линией s: 2x - 4y - 2 = 0.
Решение:
Чтобы найти относительное положение между заданными линиями, мы должны вычислить систему уравнений, образованную их линиями, так что мы имеем:
Решая систему сложением, находим следующее уравнение 0y = - 8, так как у этого уравнения нет решения, это невозможно. Таким образом, две линии параллельны.
Противоположные углы по вершине
Две конкурирующие линии образуют две пары углы. Эти углы имеют общую точку, которая называется вершиной.
Пары углов, противоположные вершине, конгруэнтны, то есть имеют одинаковый размер.
На рисунке ниже представлены углы AÔB и CÔD, противоположные вершине, а также углы AÔC и BÔD.
Точка пересечения двух параллельных прямых линий
Точка пересечения между двумя параллельными линиями принадлежит уравнениям двух прямых. Таким образом, мы можем найти координаты этой общей точки, решив систему, образованную уравнениями этих линий.
Пример:
Определите координаты точки P, общей для линий р а также с, уравнения которого равны x + 3y + 4 = 0 и 2x - 5y - 2 = 0 соответственно.
Решение:
Чтобы найти координаты точки, мы должны решить систему с заданными уравнениями. Итак, у нас есть:
Решая систему, мы имеем:
Подставляя это значение в первое уравнение, мы находим:
Следовательно, координаты точки пересечения равны , т.е.
.
Узнайте больше, также прочитав:
- Перпендикулярные линии
- прямой
- Коническая
Решенные упражнения
1) В системе ортогональных осей - 2x + y + 5 = 0 и 2x + 5y - 11 = 0 являются, соответственно, уравнениями прямых r и s. Найдите координаты точки пересечения r и s.
П (3, 1)
2) Каковы координаты вершин треугольника, зная, что уравнения опорных линий его сторон - x + 4y - 3 = 0, - 2x + y + 8 = 0 и 3x + 2y - 5 = 0 ?
А (3, - 2)
В (1, 1)
С (5, 2)
3) Определите относительное положение прямых r: 3x - y -10 = 0 и 2x + 5y - 1 = 0.
Прямые параллельны, являясь точкой пересечения (3, - 1).
