Изучая набор рациональных чисел, мы находим некоторые дроби, которые при преобразовании в десятичные числа становятся периодическими десятичными числами. Чтобы выполнить это преобразование, мы должны разделить числитель дроби на ее знаменатель, как в случае дроби 
. Точно так же с помощью периодической десятичной дроби мы можем найти дробь, которая ее породила. Эта фракция называется «генерирующая фракция”.
В любой периодической десятичной системе повторяющееся число называется временной курс. В приведенном примере у нас есть простая периодическая десятичная дробь, а период - это число 6. С помощью простого уравнения можно найти порождающую долю 0,6666…
Во-первых, мы можем заявить, что:
Икс = 0,666...
Оттуда мы проверяем, сколько цифр имеет период. В этом случае период имеет цифру. Итак, давайте умножим обе части уравнения на 10, если бы период состоял из 2 цифр, мы бы умножили на 100, в случае 3 цифр, на 1000 и так далее. Итак, у нас будет:
10Икс = 6,666...
Во втором члене уравнения мы можем разбить число 6666... на целое число и еще одну десятичную дробь следующим образом:
10 Икс = 6 + 0,666...
Однако в самом начале мы заявили, что Икс = 0,666..., поэтому мы можем заменить десятичную часть уравнения на x, и у нас останется:
10 х = 6 + Икс
Используя основные свойства уравнений, мы можем затем изменить переменную x со второй части уравнения на первую:
10 х - х = 6
Решая уравнение, мы будем иметь:
9 х = 6
х = 6
9
Упростив дробь на 3, получим:
х = 2
3
Скоро, 
, т.е. 
является порождающей дробью периодической десятичной дроби 0,6666... .
Давайте посмотрим, когда у нас будет составной периодический десятичный разделитель, как в случае с 0,03131… Начнем так же:
Икс = 0,03131...
Чтобы сделать это равенство более похожим на предыдущий пример, нам нужно изменить его так, чтобы у нас не было никакого числа между знаком равенства и точкой. Для этого умножим уравнение на 10:
10 Икс = 0,313131... ***
Следуя рассуждениям, использованным в первом примере, мы имеем, что периодическая десятичная дробь имеет период, состоящий из двух цифр, поэтому давайте умножим уравнение на 100.
1000 Икс = 31,313131...
Теперь достаточно разбить целую часть десятичной дроби во втором члене равенства.
1000 Икс = 31 + 0,313131...
но по ***, Мы должны 10 Икс = 0,313131..., заменим десятичное число на 10 Икс.
1000 Икс = 31 + 10 Икс
1000 Икс - 10 х = 31
990 Икс = 31
Икс = 31
990
Таким образом, порождающая часть 0,0313131… é 31 . Это правило распространяется на все периодические десятины.
990
Аманда Гонсалвес
Окончил математику
Источник: Бразильская школа - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/geratriz-uma-dizima-periodica.htm