Закон о грехах: применение, пример и упражнения

THE закон грехов определяет, что в любом треугольнике отношение синуса угла всегда пропорционально величине стороны, противоположной этому углу.

Эта теорема показывает, что в одном и том же треугольнике отношение между величиной одной стороны и синусом ее противоположного угла всегда будет постоянный.

Таким образом, для треугольника ABC со сторонами a, b, c Закон грехов допускает следующие соотношения:

Изображение Закона грехов в треугольнике

Пример

Для лучшего понимания давайте вычислим меру сторон AB и BC этого треугольника как функцию меры b стороны AC.

По закону синусов мы можем установить следующие отношения:

Следовательно, AB = 0,816b и BC = 1,115b.

Примечание: Значения синусов были изучены в таблица тригонометрических соотношений. В нем мы можем найти значения углов от 1º до 90º каждой тригонометрической функции (синус, косинус и тангенс).

Углы 30º, 45º и 60º чаще всего используются в расчетах тригонометрии. Отсюда их называют замечательными углами. Ознакомьтесь с таблицей со значениями ниже:

Тригонометрические отношения	30°	45°	60°
Синус	1/2	√2/2	√3/2
косинус	√3/2	√2/2	1/2
Касательная	√3/3	1	√3

Применение закона грехов

Мы используем закон синуса для острых треугольников, у которых внутренние углы меньше 90 ° (острые); или в тупых треугольниках с внутренними углами больше 90 ° (тупые). В этих случаях вы также можете использовать Закон косинуса.

Основная цель использования Закона грехов или косинусов - определить размеры сторон треугольника, а также его углов.

Изображение треугольников по их внутренним углам

А закон грехов в прямоугольном треугольнике?

Как упоминалось выше, Закон грехов используется как в остром, так и в тупом треугольнике.

В прямоугольных треугольниках, образованных внутренним углом 90º (прямым), мы использовали теорему Пифагора и соотношения между его сторонами: противоположная, смежная сторона и гипотенуза.

Изображение прямоугольного треугольника и его сторон

Эта теорема имеет следующее утверждение: "сумма квадратов их катетов соответствует квадрату их гипотенузы". Его формула выражается:

ЧАС² = ca² + co²

Таким образом, когда у нас есть прямоугольный треугольник, синус будет соотношением между длиной противоположного катета и длиной гипотенузы:

На гипотенузе оно читается наоборот.

Косинус соответствует пропорции между длиной соседнего катета и длиной гипотенузы, представленной выражением:

Считывается рядом с гипотенузой.

Упражнения для вступительных экзаменов

1.(УФПБ) Мэрия определенного города построит над рекой, которая пересекает этот город, мост, который должен быть прямым и соединять две точки, A и B, расположенные на противоположных берегах реки. Чтобы измерить расстояние между этими точками, геодезист расположил третью точку, C, в 200 м от точки A и на том же берегу реки, что и точка A. Используя теодолит (прецизионный прибор для измерения горизонтальных и вертикальных углов, часто используемый в топографических работах), геодезист заметил, что углы измеренные, соответственно, 30º и 105º, как показано на следующем рисунке.

Основываясь на этой информации, можно утверждать, что расстояние в метрах от точки A до точки B составляет:

См. Ответ

цель: Определите меру AB.

Идея 1 - Закон грехов для определения AB

Фигура образует треугольник ABC, сторона AC которого составляет 200 м, и у нас есть два определенных угла.

угол напротив стороны AC, равной 200 м, и под углом C, противоположным стороне AB, мы можем определить AB через закон грехов.

THE закон грехов определяет, что отношения между измерениями сторон и синусов противоположных углов, соответствующих этим сторонам, равны в одном и том же треугольнике.

Идея 2 - определить угол

Сумма внутренних углов треугольника составляет 180 °, поэтому мы можем определить угол B.

В + 105 ° + 30 ° = 180 °
B = 180 ° - 105 ° - 30 °
B = 45 °

Замена значения в законе синусов и производя расчеты.

Обратите внимание, что в знаменателе стоит квадратный корень. Давайте возьмем этот корень, выполнив рационализацию, которая представляет собой умножение знаменателя и числителя дроби на сам корень.

Подставляя значение переменного тока, мы имеем:

Следовательно, расстояние между точками A и B равно .

2. (Mackenzie - SP) Три острова A, B и C появляются на карте в масштабе 1: 10000, как показано на рисунке. Из альтернативных вариантов расстояние между островами A и B наилучшим образом приближается к следующему:

а) 2.3 км
б) 2,1 км
в) 1.9 км
г) 1.4 км
д) 1,7 км

См. Ответ

Правильный ответ: д) 1,7 км.

Цель: определить размер отрезка AB.

Идея 1.Используйте закон синуса, чтобы найти величину AB

Закон грехов: размеры сторон треугольника пропорциональны синусам их противоположных углов.

Идея 2: определить угол

Сумма внутренних углов треугольника равна 180.º.

30 + 105 + С = 180
135 + С = 180
С = 180 - 135
С = 45

Идея 3: применить значение C по закону синусов

Идея 4: приблизительно вычислить значение квадратного корня и использовать шкалу

Изготовление

12. 1,4 = 16,8

На шкале указано 1: 10000, умножая:

16,8. 10000 = 168 000 см

Идея 5: переход от см к км

168 000 см / 100 000 = 1,68 км

Вывод: Поскольку расчетное расстояние составляет 1,68 км, ближайшей альтернативой является буква e.

Примечание. Чтобы перейти от см к км, мы делим на 100 000, потому что в следующей шкале от сантиметров до км мы отсчитываем 5 разрядов слева.

км -5- гм -4- плотина -3- м -2- дм -1- см мм

3. (Unifor-CE) Известно, что в каждом треугольнике размер каждой стороны прямо пропорционален синусу угла, противоположного стороне. Используя эту информацию, можно сделать вывод, что размер стороны AB треугольника, показанного ниже, равен:

См. Ответ

В заявлении предусмотрен закон синусов.

Из тригонометрии получаем: sin 120 = sin 60.

Замена значений в формуле:

Чтобы не оставлять корень в знаменателе, используем рационализацию, умножая знаменатель и числитель на корень из 3.

Следовательно, мера на стороне AB равна .

Узнать больше по теме:

• Синус, косинус и тангенс
• Тригонометрия
• Тригонометрические отношения
• Тригонометрический круг
• Тригонометрические функции
• Тригонометрические отношения