Расстояние между двумя точками

Расстояние между двумя точками является мерой соединяющего их отрезка.

Мы можем рассчитать эту меру с помощью аналитической геометрии.

Расстояние между двумя точками на плоскости

На плоскости точка полностью определена, зная связанную с ней упорядоченную пару (x, y).

Чтобы узнать расстояние между двумя точками, мы сначала представим их в декартовой плоскости, а затем вычислим это расстояние.

Примеры:

1) Какое расстояние между точкой A (1.1) и точкой B (3.1)?

d (A, B) = 3 - 1 = 2

2) Каково расстояние между точкой A (4.1) и точкой B (1,3)?

Обратите внимание, что расстояние между точкой A и точкой B равно гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами 2 и 3.

Итак, мы будем использовать теорема Пифагора для расчета расстояния между заданными точками.

[d (A, B)]² = 3² + 2² = √13

Формула расстояния между двумя точками на плоскости

Чтобы найти формулу расстояния, мы можем обобщить расчет, сделанный в примере 2.

Для любых двух точек, таких как A (x₁гг₁) и B (x₂у₂), у нас есть:

Чтобы узнать больше, прочтите также:

• плоская геометрия
• Декартов план
• прямой

Расстояние между двумя точками в пространстве

Мы используем трехмерную систему координат для представления точек в пространстве.

Точка полностью определена в пространстве, когда с ней связана упорядоченная тройка (x, y, z).

Чтобы найти расстояние между двумя точками в пространстве, сначала мы можем представить их в системе координат, а оттуда выполнить вычисления.

Пример:

Каково расстояние между точкой A (3,1,0) и точкой B (1,2,0)?

В этом примере мы видим, что точки A и B принадлежат плоскости xy.

Расстояние будет определяться следующим образом:

[d (A, B)]² = 1² + 2² = √5

Формула расстояния между двумя точками в пространстве

Чтобы узнать больше, прочтите также:

• Пространственная геометрия
• Линейное уравнение
• Математические формулы

Решенные упражнения

1) Точка A принадлежит оси абсцисс (ось x) и равноудалена от точек B (3.2) и C (-3.4). Каковы координаты точки А?

См. Ответ

Поскольку точка A принадлежит оси абсцисс, то ее координата равна (a, 0). Итак, нам нужно найти значение a.

(0 - 3)² + (к - 2)² = (0 + 3)² + (до -4)²
От 9 + до² - 4а +4 = 9 + а² - 8 + 16
4-й = 12
а = 3
(3.0) - координаты точки А.

2) Расстояние от точки A (3, a) до точки B (0.2) равно 3. Вычислить значение ординаты a.

См. Ответ

3² = (0 - 3)² + (2 - а)²
9 = 9 + 4 - 4а + а²
В² - 4-й +4 = 0
а = 2

3) ЭНЭМ - 2013 г.

В последние годы на телевидении произошла настоящая революция с точки зрения качества изображения, звука и интерактивности со зрителем. Это преобразование связано с преобразованием аналогового сигнала в цифровой сигнал. Однако во многих городах до сих пор нет этой новой технологии. Стремясь донести эти преимущества до трех городов, телевизионная станция намеревается построить новую передающую вышку, которая отправляет сигнал на антенны A, B и C, которые уже существуют в этих городах. Расположение антенн представлено в декартовой плоскости:

Вышка должна быть расположена на одинаковом расстоянии от трех антенн. Правильное место для строительства этой башни соответствует координатной точке

а) (65; 35)
б) (53; 30)
в) (45; 35)
г) (50; 20)
д) (50; 30)

См. Ответ

Правильная альтернатива e: (50; 30)

Смотрите также: расстояние между двумя точками упражнения

4) ЭНЕМ - 2011 г.

Район города планировался в плоском районе с параллельными и перпендикулярными улицами, ограничивающими кварталы одинакового размера. В следующей декартовой координатной плоскости эта окрестность расположена во втором квадранте, а расстояния в
оси даны в километрах.

Прямая линия уравнения y = x + 4 представляет собой планирование маршрута подземной линии метро, ​​которая будет пересекать окрестности и другие районы города.
В точке P = (-5,5) расположена государственная больница. Сообщество попросило комитет по планированию спланировать станцию ​​метро так, чтобы расстояние от нее до больницы, измеренное по прямой линии, не превышало 5 км.
В ответ на запрос сообщества комитет правильно заявил, что это будет выполнено автоматически, поскольку строительство станции на этом месте уже было запланировано.

а) (-5,0)
б) (-3,1)
в) (-2,1)
г) (0,4)
д) (2.6)

См. Ответ

Правильная альтернатива b: (-3,1).

Смотрите также: упражнения по аналитической геометрии