Мы знаем как действительные числа все рациональные числа и иррациональный. Изучая числовые наборы, важно понимать, что они соответствуют потребностям и истории человечества, числовые наборы:
- набор натуральных чисел
- набор целых чисел
- набор рациональных чисел
- набор иррациональных чисел
- набор действительных чисел
Ты реальные числа имеют свойства такие как: ассоциативный, коммутативный, наличие нейтрального элемента для сложения и умножения, наличие обратного элемента при умножении и дистрибутивность. реальные числа можно представить на реальной линии - как изобразить их упорядоченно.
Читайте тоже: Что такое простые числа?
Какие числа на самом деле?
Мы знаем как действительные числа множество, образованное объединение рациональных и иррациональных чисел. С ними довольно часто работать, но набор реальных чисел появился не впервые в истории.
натуральные числа
O первый числовой набор он образован натуральными числами. Они были созданы из-за основной потребности людей считать и считать предметы своей повседневной жизни. Ты натуральные числа они есть:
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ...}
целые числа
С развитием общества чаяния человека менялись, и нужно работать с отрицательными числами. Операции типа 4-6, которые в множестве натуральных чисел не имели смысла, начали делать это с появлением этого нового множества. Набор целые числа придумал сложение отрицательных чисел в наборе натуральных чисел, то есть состоит из натуральных чисел и их противоположностей.
Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}
рациональное число
Оказывается, даже в этом случае с добавлением отрицательных чисел набора целых чисел не хватило, так как древний Египет, довольно часто используются числа, не являющиеся целыми. Именно тогда возникла необходимость формализовать новый набор: набор, сформированный всеми числа, которые можно представить дробью известен как рациональные числа.
В отличие от набора целых чисел, в рациональном невозможно составить список терминов с их предшественниками и преемниками, потому что, учитывая рациональные числа, всегда будет другой Рациональное число между ними. Например, между 1 и 2 получается 1,5; между 1 и 1,5 - 1,25; и так далее. Поэтому для представления рациональных чисел мы используем следующие обозначения:
В этих обозначениях рациональное число - это то число, которое может быть представлено дробью В под B, На что В целое число и B ненулевое целое число.
В наборе рациональных чисел были включены все целые числа которые уже были известны, поскольку все они могут быть представлены в виде дроби, в дополнение к точным десятичным числам и периодические десятины, положительный и отрицательный.
Смотрите также: Что такое порядковые номера?
иррациональные числа
Вопреки определению рациональных чисел, есть числа, которые нельзя представить в виде дроби. Некоторые математики изучали их вовремя, пытаясь составить такое представление, но это невозможно. Эти числа являются непериодические десятины и корнеплоды не совсем, которые в конечном итоге приводят к накоплению непериодической десятины. Число π, например, является иррациональным числом, которое довольно часто встречается в повседневной жизни. Набор иррациональных чисел не перечисляется, как и рациональные числа, и обозначается буквой я.
Примеры:
- √2 → неточные корни - иррациональные числа;
- -√5 → корни неточные, даже если отрицательные числа являются иррациональными;
- 3.123094921… → непериодические десятичные дроби - это иррациональные числа.
вещественные числа
Поскольку все натуральные и целые числа считаются рациональными, до сих пор числа могут быть разделены на два больших набора, набор рациональных чисел и набор чисел иррационально. Набор действительных чисел - это не что иное, как объединение рациональных и иррациональных чисел.
R = {Q U I}
Пока что все известные нам числа называются действительными числами.
Операции с действительными числами
Операции с действительными числами известны для всех предыдущих наборов чисел. Они:
- добавление
- вычитание
- разделение
- умножение
- потенцирование
- радиация
Выполнение любой из этих операций между действительными числами ничем не отличается от операций с предыдущими числами.
Также, рассматривая такие операции, важно подчеркнуть, что есть свойства в наборе действительных чисел.
Свойства действительных чисел
Важно понимать, что свойства действительных чисел последствия его определения и полезны для выполнения операций. Они:
- наличие нейтрального элемента для сложения и умножения
- коммутативная собственность
- ассоциативное свойство
- распределительное свойство
- наличие обратного
нейтральный элемент
Быть В реальное число.
Есть число, добавленное к В, приводит к себе В:
В + 0 = В
0 - нейтральный элемент суммы..
Есть число, которое при умножении на В, приводит к себе Файл.
В · 1 = В
1 - нейтральный элемент умножения.
Коммутативная собственность
Быть В а также B два действительных числа.
При сложении или умножении порядок чисел не влияет на результат.
В + B = B + В
а · б = б · а
ассоциативное свойство
Быть В, B а также ç вещественные числа.
И в сложении, и в умножении два оперируемых числа безразличны к любому порядку.
(В + B) + ç = В + (B + ç)
(а · б) · Ç = В· (до н.э)
распределительное свойство
Быть В, B а также ç вещественные числа.
Распределительное свойство показывает, что произведение суммы равно сумме произведений.
ç (а + б) = ca + cb
Существование инверсии
Быть В ненулевое действительное число.
для каждого реального числа В отличное от нуля, есть такое число, что продукт входит в В и это число равно 1.
представление на линии
Мы можем представить набор действительных чисел в строке, так как есть четко определенный принцип порядка для него. Это представление на линии известно как реальная линия или повторноэто числовой и это довольно часто даже при изучении картезианского плана.
Также доступ: Что такое дробь?
решенные упражнения
Вопрос 1 - Оцените, пожалуйста, следующие утверждения:
I - Периодические десятичные дроби - это действительные числа.
II - Каждое действительное число рационально или иррационально.
III - Не каждое целое число является естественным.
Анализируя высказывания, мы можем сказать, что:
А) только я ложен.
Б) ложно только II.
В) только III ложно.
Г) все верно.
E) все ложны.
разрешение
Альтернатива D.
I - Верно, поскольку десятины - это иррациональные числа, следовательно, они действительные числа.
II - Верно, поскольку набор действительных чисел представляет собой объединение действительных и иррациональных чисел.
III - Верно, поскольку отрицательные числа, такие как -2 и -5, являются целыми, но не натуральными.
Вопрос 2 - Обратите внимание на следующие свойства:
I - коммутативное свойство
II - распределительная собственность
III - ассоциативное свойство
Проанализируйте следующие операции и отметьте их номерами соответствующих свойств:
1 - ( ) 3 (2 + 5) = 6 + 15
2 - ( ) 5 · 4 = 4 · 5
3 - ( ) (2 + 4) + 1 = 2 + (4 + 1)
4 - ( ) 1 + 5 = 5 + 1
Какая из альтернатив соответствует правильному порядку свойств:
А) II - I - III - I
Б) I - III - III - II
В) III - II - III - III
Г) II - I - III - II
Д) II - III - II - I
разрешение
Альтернатива А.
1 - (II) В этом случае произошло свойство распределения, поскольку обратите внимание, что 3 было умножено на каждый из коэффициентов операции.
2 - (I) В этом случае порядок факторов не меняет произведение, коммутативность умножения.
3 - (III) У нас есть свойство ассоциативности, так как порядок, в котором эти элементы добавляются, не меняет сумму.
4 - (I) Здесь мы снова имеем дело с коммутативностью, поскольку порядок посылок не меняет сумму.
