Tu numere complexe apar din nevoia de a rezolva ecuații care au rădăcină numerică negativă, ceea ce, până atunci, nu a fost posibil de rezolvat prin lucrul cu numere reale. Numerele complexe pot fi reprezentate în trei moduri: a forma algebrică (z = a + bi), compus dintr-o parte reală și o parte imaginară B; Formă geometrică, reprezentat în planul complex cunoscut și sub numele de plan Argand-Gauss; și a ta formă trigonometrică, cunoscută și sub numele de formă polară. Pe baza reprezentării lor, deoarece lucrăm cu un set numeric, numerele complexe au operații bine definite: adunare, scădere, înmulțire, divizare și potențare.
Prin reprezentarea geometrică în planul complex, definim și modulul (reprezentat de |z|) a unui număr complex - care este distanța de la punctul care reprezintă numărul complex la origine - și care este argumentul unui număr complex - care este unghiul format între axa orizontală și pista care leagă originea de punctul care reprezintă numărul complex.
nevoie de numere complexe
În matematică, extinderea unui set numeric la un set nou, de-a lungul istoriei, a fost ceva destul de obișnuit. Se pare că, în cursul acesteia, matematica s-a dezvoltat și apoi, spre satisfac nevoile vremii, s-a observat că există numere care nu aparțineau setului numeric la care se referea. Așa a fost odată cu apariția seturi numerice numere întregi, raționale, iraționale și reale și nu era diferit atunci când era nevoie să extindem setul numerelor reale la cel al numerelor complexe.
Când încercăm să rezolvăm ecuații pătratice, este destul de obișnuit să găsim rădăcină pătrată a unui număr negativ, ceea ce este imposibil de rezolvat în mulțimea numerelor reale, de unde necesitatea numerelor complexe. Începutul studiului acestor numere a primit contribuții de la matematicieni importanți, precum Giralmo Cardono, dar setul lor a fost oficializat de Gauss și Argand.
Citește și: Reprezentarea geometrică a sumei numerelor complexe
forma algebrică a unui număr complex
Când s-a încercat rezolvarea unei ecuații pătratice cum ar fi x² = –25, s-a spus adesea că este de nerezolvat. Cu toate acestea, într-o încercare de a algebrize, reprezentare algebrică, care face posibilă efectuarea operațiilor cu aceste numere, chiar dacă nu puteți calcula rădăcina pătrată a unui număr negativ.
Pentru a facilita rezolvarea situațiilor în care lucrați cu rădăcină pătrată a unui număr negativ, unitate imaginară.
Deci, analizând ecuația prezentată x² = -25, avem că:
Astfel, soluțiile pentru ecuație sunt -5eu e5eu.
Pentru a defini forma algebrică, scrisoare eu, cunoscut ca unitate imaginară a unui număr complex. Un număr complex este reprezentat de:
z = + Beu
Pe ce și B sunt numere reale.
The: partea reală, indicată prin a = Re (z);
B: parte imaginară, indicată de Im (z);
eu: unitate imaginară.
Exemple
) 2 + 3eu
B) -1 + 4eu
ç) 5 – 0,2eu
d) -1 – 3eu
cand partea reală este nulă, numărul este cunoscut sub numele de imaginar pur, de exemplu, -5eu și 5eu sunt imaginar pur, deoarece nu au nici o parte reală.
Când partea imaginară este nulă, numărul complex este, de asemenea, un număr real.
Operații cu numere complexe
Ca orice set numeric, operațiile trebuie să fie bine definit, prin urmare, este posibil să se efectueze cele patru operații de bază ale numerelor complexe luând în considerare forma algebrică prezentată.
Adăugarea a două numere complexe
Pentru a efectua plus a două numere complexe z1 ez2, vom adăuga partea reală a z1 ez2 și suma părții imaginare, respectiv.
Fi:
z1 = a + beu
z2 = c + deu
z1 +z2 = (a + c) + (b + d)eu
Exemplul 1
Realizarea sumei z1 și z2.
z1 = 2 + 3eu
z2 = 1 + 2eu
z1 +z2= (2 + 1) + (3 + 2)eu
z1 +z2= 3 + 5eu
Exemplul 2
Realizarea sumei z1 și z2.
z1 = 5 – 2eu
z2 = – 3 + 2eu
z1+z2 = (5 + (–3)) + (–2 + 2)eu
z1+z2 = (5 – 3) + 0eu
z1 +z2= 3 + 0eu = 3
Vezi și: Reprezentarea geometrică a sumei numerelor complexe
Scăderea a două numere complexe
Înainte să vorbim despre scădere, trebuie să definim ce este inversul unui număr complex, adică z = a + beu. Inversul lui z, reprezentat de –z, este numărul complex –z = –a –beu.
Pentru a efectua scăderea dintre z1și -z2, precum și în plus, vom face scădere între părți reale și între părți imaginare separat, dar este necesar să înțelegem că -z2 este inversul unui număr complex, ceea ce face necesar să joci jocul de semne.
Exemplul 1
Efectuarea scăderii lui z1 și z2.
z1 = 2 + 3eu
z2 = 1 + 2eu
z1–z2 = (2 – 1) + (3 – 2)eu
z1–z2= 1 + 1eu = 1+ eu
Exemplul 2
Efectuarea scăderii lui z1 și z2.
z1= 5 – 2eu
z2 = – 3 + 2eu
z1–z2= (5 – (–3)) + (–2 – 2)eu
z1–z2= (5 + 3) + (–4)eu
z1 –z2= 8 + (–4)eu
z1 –z2= 8 –4eu
Puteri de unitate imaginare
Înainte de a vorbi despre multiplicare, trebuie să înțelegem puterea unității imaginare. În căutarea unei metode de calcul al puterilor de euNu, este necesar să ne dăm seama că aceste puteri se comportă într-un mod ciclic. Pentru aceasta, să calculăm câteva potențiale în eu.
Se pare că următoarele puteri nu sunt altceva decât repetarea ei, rețineți că:
eu 4 = eu 2 · eu 2 = (–1) (–1) = 1
eu 5 = eu 2 · eu 3 = (–1) (–eu) = eu
Pe măsură ce continuăm să calculăm puterile, răspunsurile vor fi întotdeauna elemente ale mulțimii {1, i, –1, -eu}, apoi pentru a găsi o putere a unității euNu, vom împărți n (exponentul) la 4 și valoarea odihnădin această divizie (r = {0, 1, 2, 3}) va fi noul exponent al eu.
Exemplu1
Calculul i25
Când împărțim 25 la 4, coeficientul va fi 6, iar restul va fi egal cu 1. Deci trebuie să:
eu 25 = eu1 = eu
Exemplul 2
Calculul eu 403
Când împărțim 403 la 4, coeficientul va fi 100, deoarece 100 · 4 = 400, iar restul va fi 3, deci trebuie să:
eu 403 =eu 3 = -i
Înmulțirea numerelor complexe
Pentru a efectua înmulțirea a două numere complexe, să aplicăm proprietate distributivă. Fi:
z1= a + beu
z2= c + deu, apoi produsul:
z1 · z2 = (a + beu) (c + deu), aplicarea proprietății distributive,
z1 · z2 = ac + anunțeu + cbeu + bdeu 2, dar așa cum am văzut, eu ² = -1
z1 · z2 = ac + anunțeu + cbeu - bd
z1 · z2= (ac – bd) + (ad + cb)eu
Folosind această formulă, este posibil să găsiți produsul oricăror două numere complexe, dar într-un În general, nu trebuie decorat, deoarece, pentru calculul în cauză, aplicăm doar proprietatea distributiv.
Exemplu
Calculul produsului de (2 + 3eu) (1 – 4eu):
(2+3eu) (1 – 4eu) = 2 – 8eu + 3eu– 12eu ², amintindu-mi asta i² = -1:
(2 + 3eu) (1 – 4eu) = 2 – 8eu + 3eu+ 12
(2 + 3eu) (1 – 4eu) = (2 + 12) + (– 8 + 3)eu
(2+3eu) (1 – 4eu) = 14 – 5eu
De asemenea, accesați: Adunarea, scăderea și înmulțirea numărului complex
Conjugat număr complex
Înainte de a vorbi despre diviziune, trebuie să înțelegem care este conjugatul unui număr complex. Conceptul este simplu, pentru a găsi conjugatul unui număr complex, doar a schimbamos semnul părții imaginare.
împărțirea a două numere complexe
Pentru a efectua împărțirea a două numere complexe, trebuie să înmulțim fracția cu conjugatul numitorului astfel încât ceea ce este partea reală și ceea ce este partea imaginară să fie bine definite.
Exemplu
Calculul diviziunii lui (6 - 4eu): (4 + 2eu)
Vezi și: Opus, conjugat și egalitatea numerelor complexe
Plan complex sau plan Argand-Gauss
Cunoscut ca plan complex sau Un planrgand-gauss, el permite reprezentare în formă geometrică dintr-un număr complex, acest plan este o adaptare în Avion cartezian pentru a reprezenta numere complexe. Axa orizontală este cunoscută sub numele de axa reală a piesei Re (z), iar axa verticală este cunoscută sub numele de axa părții imaginare Im (z). Deci numărul complex reprezentat de a + beu generează punctele din planul complex format din perechea ordonată (a, b).
Exemplu
Reprezentarea numărului 3 + 2eu în forma geometrică Z (3,2).
Modulo și argument de număr complex
Modulul unui număr complex, geometric, este distanță de punctul (a, b) care reprezintă acest număr în planul complex la origine, adică punctul (0,0).
După cum putem vedea, | z | este ipotenuza de triunghi dreptunghic, prin urmare, poate fi calculat prin aplicarea teorema lui Pitagora, deci trebuie să:
Exemplu:
Calculul modulului z = 1 + 3eu
O argument dintr-un număr complex, geometric, este unghi format din axa orizontală și | z |
Pentru a găsi valoarea unghiului, trebuie să:
Scopul este de a găsi unghiul θ = arg z.
Exemplu:
Găsiți argumentul numărului complex: z = 2 + 2eu:
Deoarece a și b sunt pozitive, știm că acest unghi se află în primul cadran, deci să calculăm | z |.
Cunoscând | z |, este posibil să se calculeze sinusul și cosinusul.
Deoarece, în acest caz, a și b sunt egale cu 2, atunci, atunci când calculăm sinθ, vom găsi aceeași soluție pentru cosinus.
Cunoașterea valorilor sinθ și cosθ, consultând tabelul unghiurilor notabile și știind că θ aparține primului cadran, deci θ poate fi găsit în grade sau radiani, deci concluzionăm ce:
Formă trigonometrică sau polară
Reprezentarea numărului complex în formă trigonometrică este posibil doar după ce înțelegem conceptul de modul și argument. Pe baza acestei reprezentări, sunt dezvoltate concepte importante pentru studiul numerelor complexe la un nivel mai avansat. Pentru a efectua reprezentarea trigonometrică, ne vom aminti forma algebrică z = a + bi, cu toate acestea, atunci când analizăm planul complex, trebuie să:
Înlocuind, în formă algebrică, valorile lui a = | z | cos θ și b = | z | sen θ, trebuie să:
z = a + beu
Cu z = | z | cos θ + | z | senθ eu, punerea | z | în dovadă, ajungem la formula formei trigonometrice:
z = | z | (cos θ + eu · Păcat θ) |
Exemplu: Scrieți, în formă trigonometrică, numărul
Pentru a scrie în formă trigonometrică, avem nevoie de argument și modulul lui z.
Primul pas - Calculul | z |
Cunoscând | z |, este posibil să se găsească valoarea lui θ consultând tabelul unghiurilor notabile.
Acum este posibil să scriem numărul z în forma sa trigonometrică cu unghiul în grade sau cu unghiul măsurat în radiani.
Citește și: Radiația numerelor complexe în formă trigonometrică
exerciții rezolvate
Intrebarea 1 - (UFRGS) Având în vedere numerele complexe z1 = (2, –1) și z2 = (3, x), se știe că produsul între z1 și z2 este un număr real. Deci x este egal cu:
a) -6
b) -3/2
c) 0
d) 3/2
e) 6
Rezoluţie
Alternativa D.
Pentru ca produsul să fie un număr real, atunci partea imaginară este egală cu zero.
Scriind aceste numere în formă algebrică, trebuie să:
z1 = 2 – 1eu și z2 = 3 + xeu
z1 · Z2 = (2 – 1eu) (3 + xeu)
z1 · Z2 = 6 + 2xeu –3eu - Xeu ²
z1 · Z2 = 6 + 2xeu –3i + X
z1 · Z2 = 6+ x + (2x - 3)eu
Deoarece interesul nostru este că partea imaginară este egală cu zero, atunci vom rezolva pentru 2x - 3 = 0
Intrebarea 2 - (UECE) Dacă i este numărul complex al cărui pătrat este egal cu -1, atunci valoarea de 5eu 227 + eu 6 – eu 13 este la fel ca:
) eu + 1
b) 4eu –1
c) -6eu –1
d) -6eu
Rezoluţie
Alternativa C.
Pentru a rezolva această expresie, este necesar să se găsească restul fiecăruia dintre numerele împărțite la 4.
227: 4 are ca rezultat coeficientul 56 și restul 3.
eu 227 = eu 3 = –eu
6: 4 rezultă în coeficientul 1 și restul 2.
eu 6 = eu 2 = –1
13: 4 rezultă în coeficientul 3 și restul 1.
eu 13 = eu1 = eu
Deci trebuie să:
5eu 227 + eu 6 – eu 13
5 (–eu) + (–1) – eu
–5eu –1 – eu
–6eu – 1
De Raul Rodrigues de Oliveira
Profesor de matematică
Sursă: Școala din Brazilia - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/numeros-complexos.htm