Relația lui Euler este o egalitate care raportează numărul de vârfuri, muchii și fețe din poliedre convexe. Se spune că numărul de fețe plus numărul de vârfuri este egal cu numărul de muchii plus două.
Relația Euler este dată de:
Unde,
F este numărul de fețe,
V numărul de vârfuri,
THE numărul de muchii.
Putem folosi relația lui Euler pentru a determina sau confirma valori necunoscute ale lui V, F sau A, ori de câte ori poliedrul este convex.
| Poliedru | F | V | THE | F+V | A + 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| cub | 6 | 8 | 12 | 6 + 8 = 14 | 12 + 2 = 14 |
| piramida triunghiulara | 4 | 4 | 6 | 4 + 4 = 8 | 6 + 2 = 8 |
| Prismă de bază pentagonală | 7 | 10 | 15 | 7 + 10 = 17 | 15 + 2 = 17 |
| octaedru regulat | 8 | 6 | 12 | 8 + 6 = 14 | 12 + 2 = 14 |
Exemplu
Un poliedru convex are 20 de fețe și 12 vârfuri. Determinați numărul de muchii.
Folosind relația lui Euler și izolând A:
Înlocuind valorile lui F și V:
Fețe, vârfuri și muchii
Poliedrele sunt forme geometrice solide, tridimensionale, fără laturi rotunjite. Aceste laturi sunt fețele (F) ale poliedrului.
Întâlnirea fețelor, numim margini (A).
Vârfurile sunt punctele în care trei sau mai multe muchii se întâlnesc.
poliedre convexe
Poliedrele convexe sunt solide geometrice care nu prezintă concavitate, prin urmare, pe niciuna dintre fețele lor nu există unghiuri interne mai mari de 180º.
În acest poliedru, unghiul interior marcat cu albastru are mai mult de 180º, deci nu este un poliedru convex.
Vezi mai multe despre poliedre.
Exerciții despre relația lui Euler
Exercitiul 1
Aflați numărul de fețe dintr-un poliedru cu 9 muchii și 6 vârfuri.
Răspuns corect: 5 fețe.
Folosind relația lui Euler:
F + V = A + 2
F = A + 2 - V
F = 9 + 2 - 6
F = 11 - 6
F = 5
Exercițiul 2
Un dodecaedru este un solid platonic cu 12 fețe. Știind că are 20 de vârfuri, determină-i numărul de muchii.
Raspuns corect:
Folosind relația lui Euler:
F + V = A + 2
F + V - 2 = A
12 + 20 - 2 = A
32 - 2 = A
30 = A
Exercițiul 3
Cum se numește poliedrul cu 4 vârfuri și 6 muchii în raport cu numărul său de fețe, unde fețele sunt triunghiuri?
Răspuns: Tetraedru.
Trebuie să-i determinăm numărul de fețe.
F + V = A + 2
F = A + 2 - V
F = 6 + 2 - 4
F = 8 - 4
F = 4
Un poliedru care are 4 fețe sub formă de triunghiuri se numește tetraedru.
Cine a fost Leonhard Paul Euler?
Leonhard Paul Euler (1707-1783) a fost unul dintre cei mai pricepuți matematicieni și fizicieni din istorie și a contribuit la studiile astronomice. Elvețianul vorbitor de germană, a fost profesor de fizică la Academia de Științe din Sankt Petersburg și mai târziu la Academia din Berlin. A publicat mai multe studii despre matematică.
Învață și:
- Solide geometrice
- Geometrie spațială
- Forme geometrice
- Prismă - Figura geometrică
- Piramidă
- Piatra de pavaj
- cub
