Relația lui Euler: vârfuri, fețe și muchii

protection click fraud

Relația lui Euler este o egalitate care raportează numărul de vârfuri, muchii și fețe din poliedre convexe. Se spune că numărul de fețe plus numărul de vârfuri este egal cu numărul de muchii plus două.

Relația Euler este dată de:

începe stilul matematică dimensiune 18px drept F plus drept V egal drept A plus 2 sfârșit de stil

Unde,
F este numărul de fețe,
V numărul de vârfuri,
THE numărul de muchii.

Putem folosi relația lui Euler pentru a determina sau confirma valori necunoscute ale lui V, F sau A, ori de câte ori poliedrul este convex.

Poliedru F V THE F+V A + 2
cub 6 8 12 6 + 8 = 14 12 + 2 = 14
piramida triunghiulara 4 4 6 4 + 4 = 8 6 + 2 = 8
Prismă de bază pentagonală 7 10 15 7 + 10 = 17 15 + 2 = 17
octaedru regulat 8 6 12 8 + 6 = 14 12 + 2 = 14

Exemplu
Un poliedru convex are 20 de fețe și 12 vârfuri. Determinați numărul de muchii.

Folosind relația lui Euler și izolând A:
drept F plus drept V egal drept A plus 2 drept A este egal drept F plus drept V minus 2

Înlocuind valorile lui F și V:
drept A este egal cu 20 plus 12 minus 2 drept A este egal cu 32 minus 2 drept A este egal cu 30

Fețe, vârfuri și muchii

Poliedrele sunt forme geometrice solide, tridimensionale, fără laturi rotunjite. Aceste laturi sunt fețele (F) ale poliedrului.

cub

Întâlnirea fețelor, numim margini (A).

Cubul și marginile acestuia

Vârfurile sunt punctele în care trei sau mai multe muchii se întâlnesc.

instagram story viewer
Cubul și vârfurile sale.

poliedre convexe

Poliedrele convexe sunt solide geometrice care nu prezintă concavitate, prin urmare, pe niciuna dintre fețele lor nu există unghiuri interne mai mari de 180º.

poliedru convex
Poliedru convex: toate unghiurile interne ale fețelor mai mici de 180º.
Poligon neconvex.
Poliedru neconvex: are cel puțin un unghi interior mai mare de 180°.

În acest poliedru, unghiul interior marcat cu albastru are mai mult de 180º, deci nu este un poliedru convex.

Vezi mai multe despre poliedre.

Exerciții despre relația lui Euler

Exercitiul 1

Aflați numărul de fețe dintr-un poliedru cu 9 muchii și 6 vârfuri.

Răspuns corect: 5 fețe.

Folosind relația lui Euler:

F + V = A + 2
F = A + 2 - V
F = 9 + 2 - 6
F = 11 - 6
F = 5

Exercițiul 2

Un dodecaedru este un solid platonic cu 12 fețe. Știind că are 20 de vârfuri, determină-i numărul de muchii.

Raspuns corect:

Folosind relația lui Euler:

F + V = A + 2
F + V - 2 = A
12 + 20 - 2 = A
32 - 2 = A
30 = A

Exercițiul 3

Cum se numește poliedrul cu 4 vârfuri și 6 muchii în raport cu numărul său de fețe, unde fețele sunt triunghiuri?

Răspuns: Tetraedru.

Trebuie să-i determinăm numărul de fețe.

F + V = A + 2
F = A + 2 - V
F = 6 + 2 - 4
F = 8 - 4
F = 4

Un poliedru care are 4 fețe sub formă de triunghiuri se numește tetraedru.

Cine a fost Leonhard Paul Euler?

Leonhard Paul Euler (1707-1783) a fost unul dintre cei mai pricepuți matematicieni și fizicieni din istorie și a contribuit la studiile astronomice. Elvețianul vorbitor de germană, a fost profesor de fizică la Academia de Științe din Sankt Petersburg și mai târziu la Academia din Berlin. A publicat mai multe studii despre matematică.

Învață și:

  • Solide geometrice
  • Geometrie spațială
  • Forme geometrice
  • Prismă - Figura geometrică
  • Piramidă
  • Piatra de pavaj
  • cub
Teachs.ru
Suprafața trapezului: Calculul suprafeței trapezului

Suprafața trapezului: Calculul suprafeței trapezului

THE zona trapezului măsoară valoarea suprafeței acestei figuri plate formată din patru laturi.Tra...

read more
Calculul suprafeței cubului: formule și exerciții

Calculul suprafeței cubului: formule și exerciții

THE zona cubului corespunde măsurii suprafeței acestei figuri geometrice spațiale.Amintiți-vă că ...

read more
Linii concurente: ce este, exemple și exerciții

Linii concurente: ce este, exemple și exerciții

Două linii distincte care se află în același plan sunt concurente atunci când au un singur punct ...

read more
instagram viewer