Exerciții pe PA și PG

Studiați progresia aritmetică și geometrică cu exerciții rezolvate și comentate pas cu pas.

Exercitiul 1

Într-un AP, a2 = 5 și a7 = 15. Găsiți a4 și adăugați primii cinci termeni ai acestui AP.

vezi raspunsul

Răspuns corect: a4 = 9 și S = 35.

Rezoluţie

Pasul 1: determinați motivul și a4.
Pentru a părăsi a2 și a ajunge la a7, adăugăm 5r, deoarece este „distanța” dintre 7 și 2.

a cu 7 indice este egal cu a cu 2 indice plus 5 r 15 spațiu este egal cu spațiu 5 spațiu plus spațiu 5 r 15 spațiu minus spațiu 5 spațiu este egal cu 5 r 10 spațiu este egal cu spațiu 5 r 10 peste 5 este egal cu r 2 este egal r

Termenul a4 este termenul a2 plus 2r, pentru că pentru a ajunge de la a2 la a4, „avansăm” 2r. Curând,

a cu 4 indice este egal cu a cu 2 indice plus 2 r a cu 4 indice este egal cu 5 spațiu plus spațiu 2.2 a cu 4 indice este egal cu 5 spațiu plus spațiu 4 spațiu este egal cu spațiu 9

Prin urmare, al patrulea termen al AP este 9.

Pasul 2: determinați suma primilor cinci termeni ai acestui AP.

Suma termenilor unui AP este dată de:

$S este egal cu numărător paranteza stângă a cu 1 indice plus a cu n indice paranteză din dreapta. n peste numitorul 2 sfârşitul fracţiei$

a1 = a2 - r (pentru că ne întoarcem cu o poziție în PA, începând de la a2)
a1 = 5 - 2 = 3

a5 = a7 - 2r (pentru că ne întoarcem cu două poziții în PA, începând de la a7).
a5 = 15 - 2,2 = 15 - 4 = 11

$S este egal cu numărătorul paranteza stângă 3 spațiu plus spațiu 11 paranteza dreaptă.5 peste numitor 2 capătul fracției este egal cu numărătorul 14 spațiu. spațiul 5 peste numitorul 2 capătul fracției este egal cu 70 peste 2 este egal cu 35$

Exercițiul 2

(Aeronautica 2021) Un profesor a scris o progresie aritmetică crescătoare de 8 termeni, începând cu numărul 3 și alcătuită doar din numere naturale. El a observat apoi că al doilea, al patrulea și al optulea termen al acestei progresii aritmetice au format, în această ordine, o progresie geometrică. Profesorul a mai observat că suma termenilor acestei progresii geometrice a fost egală cu

instagram story viewer

a) 42
b) 36
c) 18
d) 9

vezi raspunsul

Răspuns: a) 42

După AP, termenii care formează un PG sunt a2, a4 și a8:

a cu 2 indice este egal cu a cu 1 indice plus paranteza stângă n minus 1 paranteză dreaptă r a cu 2 indice este egal cu 3 plus paranteza din stânga 2 minus 1 paranteză din dreapta r a cu 2 indice este egal cu 3 plus r spatiu

a cu 4 indice este egal cu a cu 1 indice plus paranteză din stânga 4 minus 1 paranteză din dreapta r a cu 4 indice este egal cu 3 spațiu plus spațiu 3 r

a cu 8 indice este egal cu 3 plus paranteza din stânga 8 minus 1 paranteză din dreapta r a cu 8 indice este egal cu 3 plus 7 r

Suma celor trei termeni este:

S este egal cu a cu 2 indice plus a cu 4 indice plus a cu 8 indice S este egal cu paranteza stanga 3 plus r paranteza dreapta spatiu plus spatiu paranteza stanga 3 plus 3 paranteza r spatiu dreapta plus spatiu paranteza stanga 3 plus 7 r paranteza dreapta S este egal cu 9 spatiu plus spatiu 11 r spatiu spatiu spatiu paranteza stanga si paranteza Q u a tion spatiu I dreapta

Pentru a determina r, folosim media geometrică:

a cu 4 indice este egal cu rădăcina pătrată a lui a cu 2 indice. a cu 8 indice de capăt al rădăcinii 3 plus 3 r este egal cu rădăcina pătrată a parantezei din stânga 3 plus r parantezei din dreapta. paranteza stângă 3 plus 7 r paranteza dreaptă capăt rădăcină

Pătrat ambele părți

paranteza stanga 3 plus 3 r paranteza dreapta la patrat este egal cu paranteza stanga 3 plus r paranteza dreapta. paranteza stanga 3 plus 7 r paranteza dreapta

Pătratarea primului termen și repartizarea celui de-al doilea termen:

$paranteza stanga 3 plus 3 r paranteza dreapta la patrat este egal cu paranteza stanga 3 plus r paranteza dreapta. paranteză din stânga 3 plus 7 r paranteză din dreapta 9 spațiu plus spațiu 18 r spațiu plus spațiu 9 r pătrat este egal cu 9 spațiu plus spațiu 21 r spațiu plus spațiu 3 r spațiu plus spațiu 7 r pătrat 9 r pătrat minus 7 r pătrat este egal cu 24 r spațiu minus spațiu 18 r spațiu plus spațiu 9 spațiu minus spațiu 9 2 r pătrat este egal cu 6 r r pătrat este egal cu 3 r A. r spațiu este egal cu spațiul 3 r r spațiu este egal cu numărătorul 3 r peste numitor r sfârșitul fracției este egal cu 3$

Inlocuind r in ecuatia I, avem:

S spațiu este egal cu spațiu 9 spațiu plus spațiu 11 r S spațiu este egal cu spațiu 9 spațiu plus spațiu 11.3 S spațiu este egal cu spațiu 9 spațiu plus spațiu 33 S spațiu este egal cu spațiu 42

Prin urmare, suma primilor trei termeni este egală cu 42.

Exercițiul 3

(PM-SP 2019) În 2015, o mare companie petrolieră a început procesul de reutilizare a apei folosite pentru răcirea pieselor care a produs și realizat o proiecție a creșterii treptate, în progresie aritmetică, până în anul 2050, a volumului de apă care va fi refolosită, an de an an.

Tabelul arată volumele de apă reutilizate în primii 3 ani:

Fie An termenul general al progresiei aritmetice care indică volumul de apă reutilizată, în milioane de m³, cu n = 1, reprezentând volumul de apă reutilizat în anul 2016, n = 2, reprezentând volumul de apă reutilizat în anul 2017, etc. rand pe rand.

În aceste condiții, trebuie

a) An = 0,5n – 23,5.
b) An = 23,5 + 0,5n.
c) An = 0,5n + 23.
d) An = 23 – 0,5n.
e) An = 0,5n - 23.

vezi raspunsul

Răspuns corect: c) An = 0,5n + 23.

obiectiv
Determinați An în funcție de n.

Rezoluţie
Raportul progresiei aritmetice este 0,5, deoarece 24 - 23,5 = 0,5.

a1 = 23,5

Termenul general al unui AP este dat de:

A cu n indice este egal cu spațiu a cu 1 spațiu indice plus spațiu paranteză stânga n minus 1 paranteză dreapta r

Inlocuirea valorilor:

A cu n indice este egal cu 23 virgulă 5 spațiu plus spațiu 0 virgulă 5 n spațiu minus spațiu 0 virgulă 5 A cu n indice este egal cu 0 virgulă 5 n plus 23 spațiu

Exercițiul 4

(CEDERJ 2021) Sirul (2x+3, 3x+4, 4x+5, ...) este o progresie aritmetica a raportului 6. Al patrulea termen al acestei progresii este

a) 31.
b) 33.
c) 35.
d) 37.

vezi raspunsul

Răspuns corect: a) 31

Rezoluţie
r spațiu este egal cu spațiu a cu 2 indice minus a cu 1 indice 6 spațiu este egal cu spațiu 3 x plus 4 spațiu minus paranteze stânga 2x plus 3 paranteză dreapta 6 este egal cu 3x plus 4 minus 2x minus 3 6 este egal cu x plus 1x este egal cu 6 minus 1x este egal 5

Al patrulea termen este a3 + r, astfel:

a cu 4 indice este egal cu a cu 3 indice plus r a cu 4 indice este egal cu 4 x spațiu plus spațiu 5 spațiu plus spațiu r

Înlocuirea valorilor găsite:

a cu 4 indice este egal cu 4,5 spațiu plus spațiu 5 spațiu plus spațiu 6 a cu 4 indice este egal cu 20 plus spațiu 5 spațiu plus spațiu 6 a cu 4 indice este egal cu 31

Exercițiul 5

(Enem 2021) În Brazilia, timpul necesar unui student pentru a-și finaliza pregătirea până la absolvirea unui curs superior, avand in vedere 9 ani de scoala primara, 3 ani de liceu si 4 ani de absolvire (durata medie), este de 16 ani. varsta. Cu toate acestea, realitatea brazilienilor arată că timpul mediu de studiu al persoanelor de peste 14 ani este încă foarte mic, așa cum se arată în tabel.
Tabel asociat cu rezolvarea întrebării.

Luați în considerare că creșterea timpului de studiu, la fiecare perioadă, pentru aceste persoane, rămâne constantă până la an 2050, și că se urmărește atingerea nivelului de 70% din timpul necesar obținerii cursului superior dat anterior.
Va fi anul în care timpul mediu de studiu al persoanelor peste 14 ani atinge procentul dorit

a) 2018.
b) 2023.
c) 2031.
d) 2035.
e) 2043.

vezi raspunsul

Răspuns corect: d) 2035.

Prima parte: determinați 70% din 16.

70 la sută semn spațiu 16 spațiu este egal cu spațiu 70 peste 100 semn de înmulțire 16 este egal cu 1120 peste 100 este egal cu 11 punctul 2

Partea a 2-a: stabiliți după câte perioade se vor atinge 11,2 ani de studii.

Secvența de timp de studiu este o progresie aritmetică (AP) cu un raport de 0,6.

r = a2 - a1 = 5,8 - 5,2 = 0,6

a1 = 5,2

Suma de 11,2 ani va fi atinsă în:

$A cu n indice este egal cu a cu 1 indice plus spatiu paranteza stanga n minus 1 paranteza dreapta r 11 virgula 2 este egal cu 5 virgula 2 plus paranteza stanga n minus 1 paranteza dreapta 0 virgula 6 11 virgula 2 este egal cu 5 virgula 2 plus 0 virgula 6 n minus 0 virgula 6 11 virgula 2 minus 5 virgula 2 plus 0 virgula 6 este egal cu 0 virgulă 6 n 6 plus 0 virgulă 6 este egal cu 0 virgulă 6 n 6 virgulă 6 este egal cu 0 virgulă 6 n numărător 6 virgulă 6 peste numitor 0 virgulă 6 sfârşitul fracţiei este egal cu n 11 egal cu n$

Suma de 11,2 va fi atinsă în al 11-lea termen al AP.

Partea a 3-a: stabiliți care este al 11-lea mandat al AP al anilor.

Raportul este a2 - a1 = 1999 - 1995 = 4 ani

A cu 11 indice este egal cu a cu 1 indice plus paranteza din stânga n minus 1 paranteză din dreapta r A cu 11 indice este egal cu 1995 plus paranteza din stânga 11 minus 1 paranteză dreaptă 4 A cu 11 indice este egal cu 1995 plus 10,4 A cu 11 indice este egal cu 1995 spațiu plus spațiu 40 A cu 11 indice este egal 2035

Concluzie
70% din cei 16 ani necesari pentru a finaliza o diplomă de licență vor fi atinși în 2035.

Exercițiul 6

(Departamentul de Pompieri 2021) Un avion și o mașină de pompieri au rezervoare de apă cu capacități de 12.000 și, respectiv, 8.000 de litri de apă. Camionul are o pompă de 2,5 GPM, ceea ce înseamnă că este capabil să pompeze 2,5 galoane pe minut.

Din această situație ipotetică, judecați următorul articol, considerând că 1 galon este egal cu 3,8 litri de apă.

Dacă un rezervor de apă are o capacitate de X mii de litri, astfel încât 8, X și 12 sunt în progresie geometrică, în această ordine, atunci capacitatea rezervorului respectiv este mai mică de 10 mii de litri.

Dreapta

Gresit

vezi raspunsul

Răspuns corect: corect

obiectiv
Verificați dacă X < 10.

Rezoluţie
Într-o progresie geometrică, PG, termenul mijlociu este media geometrică dintre extreme.

X mai mic decât rădăcina pătrată a lui 8,12 capătul rădăcinii X spațiu mai mic decât rădăcina pătrată a lui 96

De fapt, rădăcina pătrată aproximativă a lui 96 este 9,79. Concluzionăm că capacitatea X a rezervorului este mai mică de 10 mii de litri.

Exercițiul 7

(Aeronautica 2021) Fii P.G. (24, 36, 54, ...). Prin adăugarea termenilor 5 și 6 din prezentul G.P. a fost

a) 81/2
b) 405/2
c) 1215/4
d) 1435/4

vezi raspunsul

Răspuns corect: c) 1215/4

obiectiv
Adăugați a5 + a6

Rezoluţie

Pasul 1: Determinați raportul q.

Motivul pentru PG este:

q este egal cu a cu 2 indice peste a cu 1 indice este egal cu 36 peste 24 este egal cu 3 peste 2

Pasul 2: Determinați a5

a4 = a3. q
a5 = a4. q

Înlocuirea a4 în a5:

a cu spațiu de 5 indice este egal cu spațiu a cu spațiu de 3 indice. spatiu q spatiu. spațiu q spațiu este egal cu spațiul a cu spațiu de 3 indice. spațiu q pătrat

Pasul 3: Determinați a6

a6 = a5. q

Înlocuirea a5 în a6:

a cu 6 indice este egal cu a cu 5 spații de indice. spațiu q spațiu este egal cu spațiul a cu spațiu de 3 indice. spatiu q spatiu patrat. spațiu q spațiu este egal cu spațiul a cu spațiu de 3 indice. spațiu q cub

Pasul 4: Adăugați a5 + a6 înlocuind valorile numerice.

a cu 5 indice plus a cu 6 indice este egal cu a cu 3 indice. q spațiu pătrat plus spațiu a cu 3 indice. q cub un cu 5 indice plus un cu 6 indice este egal cu 54 de spațiu. spațiu deschide paranteza 3 peste 2 închide paranteza la pătrat plus spațiu 54 spațiu. spațiu deschide parantezele 3 peste 2 închide parantezele cuburi a cu 5 indice plus a cu 6 indice este egal cu 54 de spațiu. spațiu 9 peste 4 spațiu plus spațiu 54 spațiu. spațiu 27 peste 8

Punerea în evidență a 54:

$a cu 5 indice plus a cu 6 indice este egal cu 54 spațiu deschide paranteze 9 peste 4 spațiu plus spațiu 27 peste 8 închide parantezele a cu 5 indice plus a cu 6 indice este egal cu 54 deschide paranteze numărătorul 9 spaţiu. spațiu 8 peste numitorul 4 spațiu. spaţiu 8 sfârşitul fracţiei plus spaţiu numărător 27 spaţiu. spațiu 4 peste numitorul 4 spațiu. spațiu 8 sfârșitul fracției închide parantezele a cu 5 indice plus a cu 6 indice este egal cu 54 deschide paranteze 72 peste 32 plus 108 peste 32 închide parantezele a cu 5 indice plus a cu 6 indice este egal cu 54 deschide paranteze 180 peste 32 închide paranteze a cu 5 indice plus a cu 6 indice este egal cu 54 spaţiu. spațiu 180 peste 32 este egal cu 9720 peste 32 este egal cu 1215 peste 4$

Exercițiul 8

(UERJ 2019) Triunghiurile A1B1C1, A2B2C2, A3B3C3, ilustrate mai jos, au perimetrele p1, p2, respectiv p3. Vârfurile acestor triunghiuri, începând de la al doilea, sunt punctele mijlocii ale laturilor triunghiului anterior.

Imagine asociată cu rezolvarea problemei.

admit asta stiva A cu 1 indice B cu 1 indice cu bară oblică deasupra stivei B cu 1 indice C cu 1 indice cu bară oblică deasupra este egală cu 7 spații și stiva de spațiu A cu 1 indice C cu 1 indice cu bară oblică deasupra este egală 4 .

Astfel, (p1, p2, p3) definește următoarea progresie:

a) aritmetica raportului = – 8
b) aritmetica raportului = – 6
c) raport geometric = 1/2
d) raport geometric = 1/4

vezi raspunsul

Răspuns corect: c) raport geometric = 1/2

Rezoluţie

Pasul 1: definiți perimetrele p1, p2 și p3.

p cu 1 indice este egal cu stiva de spațiu A cu 1 indice B cu 1 indice cu bară oblică deasupra plus stiva de spațiu B cu 1 indice C cu 1 indice cu bară oblică deasupra plus stiva A cu 1 indice C cu 1 indice cu bară oblică deasupra p cu 1 indice este egal cu 7 spațiu plus spațiu 7 spațiu plus spațiu 4 p cu 1 indice este egal cu 18

Prin paralelism, verificăm că laturile triunghiului interior sunt jumătate din cel imediat exterior.

De exemplu, B2A2 = A1C2

Astfel, p2 este jumătate din p1, la fel cum p3 este jumătate din p2. Noi avem:

p cu 2 indice este egal cu p cu 1 indice împărțit la 2 este egal cu 9 și p cu 3 indice este egal cu p cu 2 indice împărțit la 2 este egal cu 9 spațiu împărțit la 2 este egal cu 4 virgulă 5

Pasul 2: Asamblați progresia și clasificați-o.

p cu 1 subscript spațiu virgulă p cu 2 subscript spațiu virgulă p cu 3 subscript spațiu este egal cu spațiul 18 virgulă spațiu 9 virgulă spațiu 4 virgulă 5

Se pare că pentru a determina p2, 18 este înmulțit cu 1/2.

18 spațiu semn de multiplicare spațiu 1 jumătate este egal cu 9

De asemenea, 9 înmulțit cu 1/2 este 4,5.

9 spațiu semn de multiplicare spațiu 1 jumătate este egal cu 9 peste 2 este egal cu 4 virgulă 5

Concluzie
Verificăm că progresia este geometrică, cu un raport de 1/2.

Exercițiul 9

(Enem 2021) Graficul informează producția înregistrată de o industrie în lunile ianuarie, martie și aprilie.

Din cauza unor probleme logistice, sondajul de producție pentru luna februarie nu a fost efectuat. Cu toate acestea, informațiile pentru celelalte trei luni sugerează că producția în această perioadă de patru luni a crescut exponențial, așa cum arată curba de tendință trasată în grafic.

Presupunând că creșterea în această perioadă a fost exponențială, se poate deduce că producția acestei industrii în luna februarie, în mii de unități, a fost

a) 0.
b) 120.
c) 240.
d) 300.
e) 400.

vezi raspunsul

Răspuns corect: c) 240.

Rezoluţie

Termenul general al unui PG este un exponențial a în funcție de n, unde a1 și q sunt numere constante.