Geometrie analitică: concepte și formule principale

Geometria analitică studiază elementele geometrice dintr-un sistem de coordonate într-un plan sau spațiu. Aceste obiecte geometrice sunt determinate de locația și poziția lor în raport cu punctele și axele acestui sistem de orientare.

Încă din popoarele antice, cum ar fi egiptenii și romanii, ideea de coordonate a apărut deja în istorie. Dar în secolul al XVII-lea, cu lucrările lui René Descartes și Pierre de Fermat, acest domeniu al matematicii a fost sistematizat.

Sistem ortogonal cartezian

Sistemul Cartezian Ortogonal este o bază de referință pentru localizarea coordonatelor. Este constituit, în plan, din două axe perpendiculare una pe cealaltă.

Originea O(0,0) a acestui sistem este intersecția acestor axe.
Axa x este abscisa.
Axa y este ordonata.
Cele patru cadrane sunt orientate în sens invers acelor de ceasornic.

pereche comandată

Orice punct din plan are coordonatele P(x, y).

x este abscisa punctului P și constituie distanța de la proiecția sa ortogonală pe axa x până la origine.
y este ordonata punctului P și este distanța de la proiecția sa ortogonală pe axa y până la origine.

instagram story viewer

distanța dintre două puncte

Distanța dintre două puncte din planul cartezian este lungimea segmentului care unește aceste două puncte.

Formula distanței dintre două puncte drept O paranteză din stânga drept x cu drept Un indice virgulă drept spațiu y cu drept Un indice paranteză dreapta și drept B deschide paranteze drept x cu indice drept B virgulă spațiu drept y cu indice B drept spațiu închide paranteze orice.

stilul de început matematică dimensiune 22px drept d cu indice AB este egal cu rădăcina pătrată a parantezei din stânga drept x cu indice drept B minus x drept cu indice A drept paranteză dreptă pătrată plus paranteza stângă drept y cu indice drept B minus drept y cu indice drept A paranteză pătrat drept capătul rădăcinii capăt stil

Coordonatele punctului de mijloc

Punctul de mijloc este punctul care împarte un segment în două părți egale.

Fiind M deschide parantezele x cu M indicele spațiu virgulă y cu M indicele închide parantezele punctul de mijloc al unui segment stiva A B cu bara deasupra , coordonatele sale sunt mijloacele aritmetice ale abscisei și ordonatei.

$stilul de început matematică dimensiune 22px x cu indice M drept egal cu numărătorul drept x cu indice drept B plus x drept cu indice drept A peste numitor 2 sfârșitul fracției sfârșitul stilului$ și $începe stilul matematică dimensiune 22px drept y cu drept M indice egal cu numărătorul drept y cu drept B indice plus drept y cu drept A indice peste numitor 2 sfârșitul fracției sfârșitul stilului$

Condiție de aliniere în trei puncte

Având în vedere punctele: .

Aceste trei puncte vor fi aliniate dacă determinantul următoarei matrice este egal cu zero.

stilul de început matematică dimensiune 22px det space paranteze pătrate deschise rând de tabel cu celulă cu x drept cu drept A indice Sfârșitul celulei cu y drept cu drept A sfârşitul celulei indice 1 rând cu celulă cu x drept cu indice B drept capătul celulei cu y drept cu indice B drept capătul celulei 1 rând cu celulă cu drept x cu indice drept C sfârșitul celulei cu y drept cu indice drept C sfârșitul celulei 1 capătul tabelului închide parantezele pătrate spațiu egal cu spațiul 0 sfârșitul stilului

Exemplu

Coeficientul unghiular al unei linii

panta drept m a unei drepte este tangenta pantei acesteia alfa în raport cu axa x.

începe stilul matematică dimensiune 22px drept m spațiu egal cu spațiul tg drept spațiu alfa sfârșitul stilului

Pentru a obține panta din două puncte:

$stilul de început matematică dimensiune 22px drept m egal cu numărătorul drept y cu drept B indice minus drept y cu drept A indice peste numitor drept x cu drept B indice minus drept x cu drept A indice sfârşitul fracţiei sfârşitul lui stil$

Dacă m > 0, linia este ascendentă, în caz contrar, dacă m < 0, linia este descendentă.

ecuația generală a dreptei

Unde Cel,B și ç sunt numere reale constante și, The și B nu sunt simultan nule.

Exemplu

Ecuația dreaptă cunoscând un punct și panta

dat un punct drept A deschide paranteze drept x cu 0 indice virgulă drept spațiu y cu 0 indice închide paranteze iar panta drept m .

Ecuația dreptei va fi:

stilul de început matematică dimensiune 22px drept y minus drept y cu 0 indice egal drept m paranteză stânga drept x minus drept x cu 0 indice paranteza dreaptă sfârșitul stilului

Exemplu

Forma redusă a ecuației drepte

Stil de început matematică dimensiune 22px drept y este egal cu mx drept n sfârşitul stilului

Unde:
m este panta;
n este coeficientul liniar.

Nu este ordonat acolo unde linia intersectează axa y.

Exemplu

Uite Ecuația liniilor.

Poziția relativă între două drepte paralele într-un plan

Două drepte distincte sunt paralele când panta lor este egală.

dacă o chintă r are pantă m drept cu indice r drept , și o chintă s are pantă m drept cu indice drept s , acestea sunt paralele atunci când:

stilul de început matematică dimensiune 22px m drept cu indice r drept este egal cu m drept cu indice s drept sfârșitul stilului

Pentru aceasta, înclinațiile tale trebuie să fie egale.

m cu s indice egal cu t g spațiu alfa cu s spațiu indice sfârșitul indicelui m cu r indice egal cu t g spațiu alfa cu r spațiu indice sfârșitul indicelui

Tangentele sunt egale când unghiurile sunt egale.

Poziția relativă între două drepte concurente într-un plan

Două linii sunt concurente atunci când panta lor este diferită.

Eroare la conversia din MathML în text accesibil.

La rândul lor, pantele diferă atunci când unghiurile lor de înclinare față de axa x sunt diferite.

alfa cu indicele r nu este egal cu indicele alfa cu indicele s

linii perpendiculare

Două resturi sunt perpendiculare când produsul pantelor lor este egal cu -1.

două drepte r și s, distincte, cu pante m cu indicele r și m cu s abonat , sunt perpendiculare dacă și numai dacă:

începe stilul matematică dimensiune 22px m drept cu indice r drept. m drept cu indicele s este egal cu minus 1 capăt de stil

Stil de început matematică dimensiune 22px m drept cu indice r drept este egal cu minus 1 peste m drept cu indice drept s sfârșit de stil

O altă modalitate de a ști dacă două drepte sunt perpendiculare este din ecuațiile lor în formă generală.

Ecuațiile dreptelor r și s fiind:

r două puncte un spațiu cu r indice x plus b cu r indice y plus spațiu c cu r indice spațiu s două puncte un spațiu cu indice s x plus b cu indice s y plus c cu indice s

Două linii perpendiculare pe acesta când:

începe stilul matematică dimensiune 22px drept a cu indice drept r. drept a cu indice drept s plus b drept cu indice r drept. b drept cu indice s drept egal cu 0 sfârșit de stil

Uite Linii perpendiculare.

Circumferinţă

Circumferința este locul de pe planul în care toate punctele P(x, y) sunt la aceeași distanță r din centrul său C(a, b), unde r este măsura razei.

Ecuația circumferinței în formă redusă

începe stilul matematică dimensiune 22px paranteze pătrate deschise x minus drepte și paranteze pătrate închise plus paranteza deschisă y minus dreapta b închide paranteza pătrată egală cu dreapta r pătrat capătul stil

Unde:
r este raza, distanța dintre orice punct de pe arcul tău și centru. Ç.
The și B sunt coordonatele centrului Ç.

ecuația generală a cercului

Stil de început matematică dimensiune 22px drept x pătrat plus drept y pătrat minus 2 ax minus 2 cu plus deschis paranteze drept a pătrat plus drept b pătrat minus drept r pătrat închide parantezele egale cu 0 sfârşitul lui stil

Se obține prin dezvoltarea termenilor pătrați ai ecuației reduse a circumferinței.

Este foarte comun să se arate forma generală a ecuației circumferinței în exerciții, cunoscută și sub denumirea de formă normală.

conic

Cuvântul conic provine dintr-un con și se referă la curbele obținute prin secţionarea acestuia. Elipsa, hiperbola și parabola sunt curbe numite conice.

Elipsă

Elipsa este o curbă închisă obținută prin secționarea unui con circular drept printr-un plan oblic pe axă, care nu trece prin vârf și nu este paralel cu generatricele sale.

Într-un plan, mulțimea tuturor punctelor a căror sumă a distanțelor la două puncte fixe interne este constantă.

Elemente elipse:

F1 și F2 sunt focarele elipsei;
2c este distanța focală a elipsei. Este distanța dintre F1 și F2;
Ideea O este centrul elipsei. Este punctul de mijloc dintre F1 și F2;
A1 și A2 sunt vârfurile elipsei;
segmentul axa majoră și egală cu 2a.
segmentul axa minoră este egală cu 2b.
Excentricitate unde 0 < și < 1.

Ecuația elipsei reduse

Considerăm un punct P(x, y) conținut în elipsă unde x este abscisa și y este ordonata acestui punct.

Centrul elipsei la originea sistemului de coordonate și axa majoră (AA) pe axa x.

Stil de început matematică dimensiune 22px drept x pătrat peste drept un pătrat plus drept y pătrat peste drept b pătrat este egal cu 1 sfârșit de stil

Centrul elipsei la originea sistemului de coordonate și axa majoră (AA) pe axa y.

Stil de început matematică dimensiune 22px drept x pătrat peste drept b pătrat plus drept y pătrat peste drept un pătrat este egal cu 1 sfârșit de stil

Ecuație redusă a elipsei cu axe paralele cu axele de coordonate

luând în considerare un punct drept Paranteză stânga drept x cu 0 indice virgulă spațiu drept y cu 0 indice paranteză dreapta ca origine a sistemului cartezian și, un punct drept C paranteză stânga drept x cu 0 indice virgulă spațiu drept y cu 0 indice paranteză dreapta ca centru al elipsei.

Axa majoră AA, paralelă cu axa x.

stilul de început matematică dimensiune 22px paranteză stângă drept x minus drept x cu 0 indice paranteza dreaptă pătrat peste drept a ao pătrat plus paranteza stângă drept y minus drept y cu 0 indice paranteza dreaptă la pătrat peste drept b pătrat egal cu 1 capăt al stil

Axa majoră AA, paralelă cu axa y.

Hiperbolă

Hiperbola este un set de puncte dintr-un plan în care diferența dintre două puncte fixe F1 și F2 are ca rezultat o valoare constantă, pozitivă.

Elemente de hiperbolă:

F1 și F2 sunt focarele hiperbolei.
2c = este distanța focală.
Centrul hiperbolei este punctul O, Media segmentului F1F2.
A1 și A2 sunt vârfurile.
2a = A1A2 este axa reală sau transversală.
2b = B1B2 este axa imaginară sau conjugată.
este excentricitatea.

Prin triunghiul B1OA2

drept c pătrat este egal drept a pătrat plus drept b pătrat

Ecuație redusă de hiperbolă

Cu axa reală în jurul axei x și centrul la origine.
Stil de început matematică dimensiune 22px drept x pătrat peste drept a pătrat minus drept y pătrat peste drept b pătrat este egal cu 1 sfârșit de stil

Cu axa reală pe axa y și centrul la origine.

Ecuație hiperbolă cu axe paralele cu axele coordonate

AA reală axa paralelă cu axa x și centru drept C paranteză stânga drept x cu 0 indice virgulă dreaptă y cu 0 indice paranteză dreapta .

Axa reală AA paralelă cu axa y și centru drept C paranteză stânga drept x cu 0 indice virgulă dreaptă y cu 0 indice paranteză dreapta .

stil de început matematică dimensiune 22px paranteză stângă drept y minus drept y cu 0 indice paranteza dreaptă pătrat peste drept a ao pătrat minus paranteza stângă drept x minus drept x cu 0 indice paranteza dreaptă la pătrat peste drept b pătrat egal cu 1 capăt de stil

Parabolă

Parabola este locul unde mulțimea punctelor P(x, y) se află la aceeași distanță de un punct fix F și o dreaptă d.

Elemente ale parabolei:

F este punctul central al pildei;
d este linia de ghidare dreaptă;
Axa de simetrie este linia dreaptă prin focarul F și perpendiculară pe linia de ghidare.
V este vârful parabolei.
p este segmentul de aceeași lungime dintre focarul F și vârful V e, între vârful și directiva d.