THE Legea cosinusului este folosit pentru a calcula măsura unei laturi sau a unui unghi necunoscut al oricărui triunghi, cunoscând celelalte măsuri ale acestuia.
Enunț și formule
Teorema cosinusului afirmă că:
"În orice triunghi, pătratul de pe o parte este suma pătratelor de pe celelalte două laturi, minus de două ori produsul celor două laturi de cosinusul unghiului dintre ele.."
Astfel, prin legea cosinusurilor avem următoarele relații între laturile și unghiurile unui triunghi:
Exemple
1. Două laturi ale unui triunghi măsoară 20 cm și 12 cm și formează un unghi de 120 ° între ele. Calculați măsurarea celei de-a treia părți.
Soluţie
Pentru a calcula măsura celei de-a treia părți vom folosi legea cosinusului. Pentru aceasta, să luăm în considerare:
b = 20 cm
c = 12 cm
cos α = cos 120º = - 0,5 (valoare găsită în tabelele trigonometrice).
Înlocuirea acestor valori în formula:
2 = 202 + 122 - 2. 20. 12. (- 0,5)
2 = 400 + 144 + 240
2 = 784
a = √784
a = 28 cm
Deci, a treia parte măsoară 28 cm.
2. Determinați măsura laturii AC și măsura unghiului cu vârf la A din următoarea figură:
Mai întâi, să determinăm AC = b:
B2 = 82 + 102 – 2. 8. 10. pentru a 50-a
B2 = 164 – 160. pentru a 50-a
B2 = 164 – 160. 0,64279
b ≈ 7,82
Acum, să determinăm măsura unghiului după legea cosinusului:
82 = 102 + 7,822 – 2. 10. 7,82. cos
64 = 161.1524 - 156,4 cos Â
cos  = 0,62
 = 52º
Notă: Pentru a găsi valorile unghiurilor cosinusului folosim Tabel trigonometric. În el, avem valorile unghiurilor de la 1º la 90º pentru fiecare funcție trigonometrică (sinus, cosinus și tangentă).
Cerere
Legea cosinusului poate fi aplicată oricărui triunghi. Fie un unghi acut (unghiuri interioare mai mici de 90 °), unghi obtus (cu un unghi interior mai mare de 90 °) sau dreptunghi (cu un unghi interior egal cu 90 °).
Dar triunghiurile dreptunghiulare?
Să aplicăm legea cosinusului pe partea opusă unghiului de 90 °, așa cum se indică mai jos:
2 = b2 + c2 - 2. B. ç. pentru 90º
Ca cos 90º = 0, expresia de mai sus devine:
2 = b2 + c2
Care este la fel ca expresia lui teorema lui Pitagora. Astfel, putem spune că această teoremă este un caz particular al legii cosinusului.
Legea cosinusului este potrivită pentru problemele în care cunoaștem două laturi și unghiul dintre ele și vrem să găsim a treia parte.
Îl putem folosi în continuare atunci când cunoaștem cele trei laturi ale triunghiului și dorim să îi cunoaștem unul dintre unghiurile.
Pentru situațiile în care cunoaștem două unghiuri și doar o parte și dorim să determinăm o altă latură, este mai convenabil să folosim legea păcatelor.
Definiția Cosine and Sine
Cosinusul și sinusul unui unghi sunt definite ca raporturi trigonometrice într-un triunghi dreptunghiular. Partea opusă unghiului drept (90º) se numește hipotenuză, iar celelalte două laturi sunt numite picioare, așa cum se arată în figura de mai jos:
Cosinusul este apoi definit ca raportul dintre măsurarea laturii adiacente și hipotenuză:
Sinusul, pe de altă parte, este raportul dintre măsurarea piciorului opus și hipotenuză.
Exerciții de examen de admitere
1. (UFSCar) Dacă laturile unui triunghi măsoară x, x + 1 și x +2, atunci pentru oricare X real și mai mare de 1, cosinusul celui mai mare unghi interior al acestui triunghi este egal cu:
a) x / x + 1
b) x / x + 2
c) x + 1 / x + 2
d) x - 2 / 3x
e) x - 3 / 2x
Alternativă e) x - 3 / 2x
2. (UFRS) În triunghiul reprezentat în figura de mai jos, AB și AC au aceeași măsură, iar înălțimea relativă la latura BC este egală cu 2/3 din măsura BC.
Pe baza acestor date, cosinusul unghiului CÂB este:
a) 25/7
b) 7/20
c) 4/5
d) 5/7
e) 5/6
Alternativa a) 7/25
3. (UF-Juiz de Fora) Două laturi ale unui triunghi măsoară 8 m și 10 m și formează un unghi de 60 °. A treia parte a acestui triunghi măsoară:
a) 2√21 m
b) 2√31 m
c) 2√41 m
d) 2√51 m
e) 2√61 m
Alternativa a) 2√21 m
Citiți mai multe despre subiect:
- Trigonometrie
- Trigonometria în triunghiul dreptunghiular
- Exerciții de trigonometrie în triunghiul dreptunghiular
- Relații trigonometrice
- Cerc trigonometric
- Funcții trigonometrice
