Două linii distincte care se află în același plan sunt concurente atunci când au un singur punct în comun.
Liniile concurente formează 4 unghiuri între ele și, în funcție de măsurătorile acestor unghiuri, pot fi perpendiculare sau oblice.
Când cele 4 unghiuri formate de ele sunt egale cu 90º, ele se numesc perpendiculare.
În figura de sub linii r și s sunt perpendiculare.
Dacă unghiurile formate sunt diferite de 90º, ele sunt numite concurente oblice. În figura de mai jos reprezentăm liniile tu și v oblicuri.
Linii concurente, coincidente și paralele
Două linii care aparțin aceluiași plan pot fi concurente, coincidente sau paralele.
În timp ce liniile concurente au un singur punct de intersecție, liniile coincidente au cel puțin două puncte în comun și linii paralele nu au puncte comune.
Poziția relativă a două drepte
Cunoscând ecuațiile a două linii putem verifica pozițiile lor relative. Pentru aceasta trebuie să rezolvăm sistemul format din ecuațiile celor două linii. Deci avem:
- Linii concurente: sistemul este posibil și determinat (un singur punct în comun).
- Linii coincidente: sistemul este posibil și determinat (punct infinit în comun).
- Linii paralele: sistemul este imposibil (nu există puncte comune).
Exemplu:
Determinați poziția relativă dintre linia r: x - 2y - 5 = 0 și linia s: 2x - 4y - 2 = 0.
Soluţie:
Pentru a găsi poziția relativă dintre liniile date, trebuie să calculăm sistemul de ecuații format din liniile lor, deci avem:
Când rezolvăm sistemul prin adăugare, găsim următoarea ecuație 0y = - 8, deoarece nu există nicio soluție pentru această ecuație, este imposibil. În acest fel, cele două linii sunt paralele.
Unghiuri opuse de Vertex
Două linii concurente formează două perechi de unghiuri. Aceste unghiuri au un punct comun care se numește vârf.
Perechile de unghiuri opuse de vârf sunt congruente, adică au aceeași măsurare.
În figura de mai jos, reprezentăm unghiurile AÔB și CÔD care sunt opuse de vârf, precum și unghiurile AÔC și BÔD.
Punct de intersecție între două linii drepte concurente
Punctul de intersecție dintre două linii concurente aparține ecuațiilor celor două linii. În acest fel, putem găsi coordonatele acestui punct în comun, rezolvând sistemul format din ecuațiile acestor linii.
Exemplu:
Determinați coordonatele unui punct P comun liniilor r și s, ale căror ecuații sunt x + 3y + 4 = 0 și respectiv 2x - 5y - 2 = 0.
Soluţie:
Pentru a găsi coordonatele punctului, trebuie să rezolvăm sistemul cu ecuațiile date. Deci avem:
Rezolvând sistemul, avem:
Înlocuind această valoare în prima ecuație găsim:
Prin urmare, coordonatele punctului de intersecție sunt , adică
.
Aflați mai multe citind și:
- Linii perpendiculare
- Drept
- Conic
Exerciții rezolvate
1) Într-un sistem de axe ortogonale, - 2x + y + 5 = 0 și 2x + 5y - 11 = 0 sunt, respectiv, ecuațiile liniilor r și s. Găsiți coordonatele punctului de intersecție al lui r și s.
P (3, 1)
2) Care sunt coordonatele vârfurilor unui triunghi, știind că ecuațiile liniilor de susținere ale laturilor sale sunt - x + 4y - 3 = 0, - 2x + y + 8 = 0 și 3x + 2y - 5 = 0 ?
A (3, - 2)
B (1, 1)
C (5, 2)
3) Determinați poziția relativă a liniilor r: 3x - y -10 = 0 și 2x + 5y - 1 = 0.
Liniile drepte sunt concurente, fiind punctul de intersecție (3, - 1).
