Bisectoare: ce este, bisectoarea unui segment și a unui triunghi

Bisectoarea este o linie dreaptă perpendiculară pe un segment de linie și care trece prin punctul de mijloc al acestui segment.

Toate punctele aparținând bisectoarei sunt echidistante de capetele acestui segment.

Amintindu-ne că, spre deosebire de linie, care este infinită, segmentul de linie este limitat de două puncte pe o linie. Adică este considerat o parte a liniei.

Diferența dintre linie și segment de linie

Cum se construiește bisectoarea?

Putem construi bisectoarea unei linii drepte stiva A B cu bara deasupra folosind rigla și busola. Pentru a face acest lucru, urmați acești pași:

Desenați un segment de linie și marcați la capetele sale punctul A și punctul B.
Luați o măsură și faceți o deschidere puțin mai mare decât jumătate din lungimea segmentului.
Cu această deschidere, așezați capătul uscat al busolei în punctul A și trageți un semicerc. Stând cu aceeași deschidere în bar, faceți același lucru la punctul B.
Semicercurile trasate s-au intersectat în două puncte, unul deasupra segmentului de linie și unul dedesubt. Cu rigla, uniți aceste două puncte, această linie trasată este bisectoarea segmentului AB.

instagram story viewer

Bisectoarea unui triunghi

Bisectoarele unui triunghi sunt linii perpendiculare trasate prin mijlocul fiecăreia dintre laturile sale. Astfel, un triunghi are 3 bisectoare.

Punctul de întâlnire al acestor trei bisectoare se numește circumcentr. Acest punct, care este la aceeași distanță de fiecare dintre vârfurile sale, este centrul cercului circumscris din triunghi.

Bisectoare ale unui triunghi și ale circumcentrului

Mediană, bisectoare și înălțimea unui triunghi

Într-un triunghi, pe lângă bisectoare, putem construi mediane, care sunt segmente de linii drepte care trec și prin punctul de mijloc al laturilor.

Diferența este că în timp ce bisectoarea formează a unghi 90º cu latura, mediana unește vârful cu punctul mediu al laturilor opuse, formând un unghi care poate sau nu să fie de 90º.

Încă mai putem complota înălțimi și bisectoare. Înălțimea este, de asemenea, perpendiculară pe laturile triunghiului, dar o parte a vârfului său. Spre deosebire de bisectoare, înălțimea nu trece neapărat prin punctul de mijloc al părții laterale.

Pornind de la vârf, putem urmări bisectoarele interne, care sunt segmente de drepte care împart unghiurile triunghiului în alte două unghiuri de aceeași măsură.

Într-un triunghi, putem desena trei mediane și se întâlnesc într-un punct numit baricentru. Acest punct se numește centrul de greutate al unui triunghi.

Baricentrul împarte medianele în două părți, deoarece distanța de la punct la vârf este de două ori distanța de la punctul la lateral.

În timp ce se numește punctul de întâlnire al înălțimilor (sau extensiile acestora) ortocentru, este convocată întâlnirea bisectoarelor interne centru.

exerciții rezolvate

1) Epcar - 2016

Un teren în formă de triunghi dreptunghiular va fi împărțit în două loturi de un gard realizat pe bisectoarea hipotenuzei, așa cum se arată în figură.

Se știe că laturile AB și BC ale acestui teren măsoară, respectiv, 80 m și 100 m. Astfel, raportul dintre perimetrul lotului I și perimetrul lotului II, în această ordine, este

un spațiu paranteză dreaptă 5 peste 3 b paranteză dreaptă 10 peste 11 c paranteză dreaptă 3 peste 5 d paranteză dreaptă 11 peste 10

Vezi Răspuns

Pentru a găsi raportul dintre perimetre, este necesar să se cunoască măsurarea tuturor laturilor lotului I și lotului II.

Cu toate acestea, nu cunoaștem măsurătorile laturilor Un C în cadrul superior închide cadrul , Un P în cadrul superior închide cadrul și M P în cadrul superior închide cadrul din lotul I, nici măsura lui BP în cadrul superior închide cadrul a lotului II.

Pentru început, putem găsi valoarea măsurată pe lateral Un C în cadrul superior închide cadrul , aplicând teorema lui Pitagora, adică:

100 pătrat este egal cu 80 pătrat plus AC în cadrul superior închide cadru pătrat 10000 este egal cu 6400 plus A C în cadrul superior închide cadru pătrat A C în cadrul superior se închide cadru pătrat egal cu 10000 minus 6400 A C în cadrul superior închide spațiul cadru pătrat egal cu 3600 A C în cadrul superior închide cadrul egal cu rădăcina pătrată de 3600 egal cu 60 spațiu m

De asemenea, am putea găsi această valoare observând că avem un multiplu al triunghiului pitagoric 3, 4 și 5.

Astfel, dacă o parte măsoară 80 m (4. 20), celălalt măsoară 100 m (5. 20), deci a treia latură poate măsura doar 60 m (3. 20).

Știm că gardul este bisectoarea hipotenuzei, deci împarte această latură în două părți egale, formând un unghi de 90 ° cu latura. În acest fel, triunghiul PMB este un dreptunghi.

Rețineți că triunghiurile PMB și ACB sunt similare, deoarece au unghiuri cu aceeași măsurare. chemând partea Un spațiu P în cadrul superior închide cadrul din x, avem acea parte P B în cadrul superior închide cadrul va fi egal cu 80-x.

Prin urmare, putem scrie următoarele proporții:

$numărător 100 peste numitor 80 minus x sfârșitul fracției egal cu 80 peste 50 80 minus x egal cu numărător 50.100 peste numitor 80 sfârșitul fracției 80 minus x egal cu 125 peste 2 x egal cu 80 minus 125 peste 2 x egal cu numărător 160 minus 125 peste numitor 2 sfârșitul fracției x egal cu 35 peste 2$

Încă trebuie să găsim măsura pe lateral PM în cadrul superior închide cadrul . Pentru a găsi această valoare, să numim această latură y. Prin asemănarea triunghiurilor, găsim următoarea proporție:

$50 peste y egal cu 80 peste 60 y egal cu numărătorul 60,50 peste numitor 80 sfârșitul fracției y egal cu 3000 peste 80 y egal cu 75 peste 2$

Acum, că știm măsurarea din toate părțile, putem calcula perimetrele loturilor:

$p cu I indice egal cu 60 plus 50 plus 35 peste 2 plus 75 peste 2 p cu I indice egal cu numărătorul 120 plus 100 plus 35 plus 75 peste numitorul 2 capătul fracției p cu indicele I egal cu 330 peste 2 egal cu 165 m spațiu$

Înainte de a calcula perimetrul lotului II, realizați că măsurarea P B în cadrul superior închide cadrul va fi egal cu 80 minus 35 peste 2 , adică 125 peste 2 . În acest fel, perimetrul va fi:

$p cu I I subscript sfârșitul subscript egal cu 50 plus 75 peste 2 plus 125 peste 2 p cu I I subscript final de subscript egal cu numărător 100 plus 75 plus 125 peste numitorul 2 sfârșitul fracției p cu I I indicele sfârșitul indicelui egal cu 300 peste 2 egal cu 150 m spațiu$

Astfel, raportul dintre perimetre va fi egal cu:

p cu I subscript peste p cu I I subscript sfârșitul subscriptului egal cu 165 peste 150 egal cu 11 peste 10

Alternativă: d) 11 peste 10

2) Enem - 2013

În ultimii ani, televiziunea a suferit o adevărată revoluție, în ceea ce privește calitatea imaginii, sunetul și interactivitatea cu privitorul. Această transformare se datorează conversiei semnalului analogic în semnalul digital. Cu toate acestea, multe orașe încă nu au această nouă tehnologie. Căutând să aducă aceste beneficii în trei orașe, un post de televiziune intenționează să construiască un nou turn de transmisie, care trimite un semnal către antenele A, B și C, care există deja în aceste orașe. Locațiile antenelor sunt reprezentate în plan cartezian:

Turnul trebuie să fie amplasat într-o locație echidistantă față de cele trei antene. Locul potrivit pentru construirea acestui turn corespunde punctului de coordonate

a) (65; 35).
b) (53; 30).
c) (45; 35).
d) (50; 20).
e) (50; 30).

Vezi Răspuns

Deoarece dorim ca turnul să fie construit într-o locație echidistantă de la cele trei antene, acesta trebuie situat într-un anumit punct aparținând bisectoarei liniei AB, așa cum este reprezentat în imaginea de mai jos:

Din imagine, concluzionăm că abscisa punctului va fi egală cu 50. Acum trebuie să găsim valoarea ordonată. Pentru aceasta, să considerăm că distanța dintre punctele AT și AC este egală: