THE legea păcatelor determină că, în orice triunghi, relația sinusoidală a unui unghi este întotdeauna proporțională cu măsura laturii opuse acelui unghi.
Această teoremă demonstrează că, în același triunghi, raportul dintre valoarea unei laturi și sinusul unghiului său opus va fi întotdeauna constant.
Astfel, pentru un triunghi ABC cu laturile a, b, c, Legea păcatelor admite următoarele relații:
![legea păcatelor](/f/9e3f8f746b82320f7e550e4d16c1c3a5.jpg)
Reprezentarea legilor păcatelor în triunghi
Exemplu
Pentru o mai bună înțelegere, să calculăm măsura laturilor AB și BC ale acestui triunghi, în funcție de măsura b a laturii AC.
![exemplu al legii sinelor](/f/88c1e7bb9f38e6c784cd135c3035aa8a.jpg)
Conform legii sinelor, putem stabili următoarea relație:
![exemplul 1](/f/e3ab75889aee4b7269996b90e1f8199f.jpg)
![exemplul 2](/f/7ccdeb3bae790bd733e10abd9aea6482.jpg)
![exemplul 3](/f/e181502da17570d441c5fb759f121411.jpg)
Prin urmare, AB = 0,816b și BC = 1,115b.
Notă: Valorile sinelor au fost consultate în tabel al raporturilor trigonometrice. În el, putem găsi valorile unghiurilor de la 1º la 90º din fiecare funcție trigonometrică (sinus, cosinus și tangentă).
Unghiurile de 30º, 45º și 60º sunt cele mai utilizate în calculele trigonometrice. Prin urmare, acestea sunt numite unghiuri remarcabile. Consultați un tabel cu valorile de mai jos:
Relații trigonometrice | 30° | 45° | 60° |
---|---|---|---|
Sinus | 1/2 | √2/2 | √3/2 |
cosinus | √3/2 | √2/2 | 1/2 |
Tangentă | √3/3 | 1 | √3 |
Aplicarea legii păcatelor
Folosim legea sinusoidală în triunghiuri acute, unde unghiurile interne sunt mai mici de 90º (acute); sau în triunghiuri obtuze, care au unghiuri interne mai mari de 90º (obtuz). În aceste cazuri, puteți utiliza și fișierul Legea cosinusului.
Obiectivul principal al utilizării Legii păcatelor sau cosinusului este de a descoperi măsurătorile laturilor unui triunghi și, de asemenea, unghiurile acestuia.
![triunghiuri și unghiuri](/f/c1afe0f5f434f3008c1cc57c13bb477e.jpg)
Reprezentarea triunghiurilor în funcție de unghiurile lor interne
Și Legea păcatelor din triunghiul dreptunghiular?
După cum sa menționat mai sus, Legea păcatelor este utilizată atât în triunghiurile acute, cât și în cele obtuze.
În triunghiurile dreptunghiulare, formate dintr-un unghi intern de 90º (drept), am folosit teorema lui Pitagora și relațiile dintre laturile sale: latura opusă, adiacentă și hipotenuză.
![triunghi dreptunghiular](/f/4a378c65d3e493e2fdc05044cee73327.jpg)
Reprezentarea triunghiului dreptunghiular și a laturilor sale
Această teoremă are următoarea afirmație: "suma pătratelor picioarelor tale corespunde pătratului hipotenuzei tale". Formula sa este exprimată:
H2 = ca2 + co2
Astfel, când avem un triunghi dreptunghic, sinusul va fi raportul dintre lungimea piciorului opus și lungimea hipotenuzei:
![sinus](/f/0fc5fc9b73e1ec54ec7df054860ce1d0.jpg)
Se citește opus pe ipotenuză.
Cosinusul corespunde proporției dintre lungimea piciorului adiacent și lungimea hipotenuzei, reprezentată de expresia:
![cosinus](/f/7b4ddb3de63ecef01481ce47d685ac4d.jpg)
Se citește adiacent hipotenuzei.
Exerciții de examen de admitere
1.(UFPB) Primăria unui anumit oraș va construi, peste un râu care traversează acel oraș, un pod care trebuie să fie drept și să conecteze două puncte, A și B, situate pe malurile opuse ale râului. Pentru a măsura distanța dintre aceste puncte, un topograf a localizat un al treilea punct, C, la 200 m distanță de punctul A și pe același mal al râului ca punctul A. Folosind un teodolit (instrument de precizie pentru măsurarea unghiurilor orizontale și unghiurilor verticale, adesea utilizat în lucrările topografice), topograful a observat că unghiurile măsurate, respectiv, 30º și 105º, așa cum este ilustrat în figura următoare.
![](/f/e98de53fde3af9a103877ba3ee002204.jpg)
Pe baza acestor informații, este corect să se afirme că distanța, în metri, de la punctul A la punctul B este:
obiectiv: Determinați măsura AB.
Ideea 1 - Legea păcatelor pentru determinarea AB
Figura formează triunghiul ABC, unde latura AC măsoară 200 m și avem două unghiuri determinate.
fiind unghiul opus laturii AC de 200 m și unghiului C opus laturii AB, putem determina AB prin legea păcatelor.
THE legea păcatelor determină că raporturile dintre măsurătorile laturilor și sinelor unghiurilor opuse, respectiv acestor laturi, sunt egale în același triunghi.
Ideea 2 - determinați unghiul
Suma unghiurilor interioare ale unui triunghi este de 180 °, deci putem determina unghiul B.
B + 105 ° + 30 ° = 180 °
B = 180 ° - 105 ° - 30 °
B = 45 °
Înlocuind valoarea în legea sinelor și efectuarea calculelor.
Rețineți că există o rădăcină pătrată într-un numitor. Să luăm această rădăcină făcând raționalizarea, care este înmulțirea atât a numitorului, cât și a numărătorului fracției cu rădăcina în sine.
Înlocuind valoarea AC, avem:
Prin urmare, distanța dintre punctele A și B este .
2. (Mackenzie - SP) Trei insule A, B și C apar pe o hartă la scara 1: 10000, așa cum se arată în figură. Dintre alternative, cea care aproximează cel mai bine distanța dintre insulele A și B este:
![](/f/c364cedac47df81e3b012fc4fef8d61c.jpg)
a) 2,3 km
b) 2,1 km
c) 1,9 km
d) 1,4 km
e) 1,7 km
Răspuns corect: e) 1,7 km
Scop: Determinarea măsurii segmentului AB.
Ideea 1: Folosiți legea sinusurilor pentru a găsi măsura AB
Legea păcatelor: măsurătorile laturilor unui triunghi sunt proporționale cu sinele unghiurilor opuse ale acestora.
Ideea 2: determinați unghiul
Suma unghiurilor interioare ale unui triunghi este egală cu 180º.
30 + 105 + C = 180
135 + C = 180
C = 180 - 135
C = 45
Ideea 3: Aplicați valoarea lui C în legea sinelor
Ideea 4: aproximați valoarea rădăcinii pătrate și utilizați scara
Făcând
12. 1,4 = 16,8
Scara spune 1: 10000, înmulțind:
16,8. 10000 = 168 000 cm
Ideea 5: trecerea de la cm la km
168 000 cm / 100 000 = 1,68 km
Concluzie: Deoarece distanța calculată este de 1,68 km, cea mai apropiată alternativă este litera e.
Notă: Pentru a merge de la cm la km, împărțim la 100 000 deoarece, la următoarea scară, de la centimetri la km, numărăm 5 locuri la stânga.
km -5- hm -4- dam -3- m -2- dm -1- cm mm
3. (Unifor-CE) Se știe că în fiecare triunghi măsura fiecărei laturi este direct proporțională cu sinusul unghiului opus laturii. Folosind aceste informații, se concluzionează că măsura laturii AB a triunghiului prezentat mai jos este:
![](/f/5cd66ebc202f1f22c654e3af5a303996.jpg)
Declarația prevede legea sinelor.
Din trigonometrie, avem că: sin 120 = sin 60.
Înlocuirea valorilor din formulă:
Pentru a nu lăsa o rădăcină în numitor, folosim raționalizarea, înmulțind numitorul și numărătorul cu rădăcina lui 3.
Prin urmare, măsura din partea AB este .
Citiți mai multe despre subiect:
- Sinus, cosinus și tangent
- Trigonometrie
- Relații trigonometrice
- Cerc trigonometric
- Funcții trigonometrice
- Rapoarte trigonometrice