Legea păcatelor: aplicare, exemplu și exerciții

THE legea păcatelor determină că, în orice triunghi, relația sinusoidală a unui unghi este întotdeauna proporțională cu măsura laturii opuse acelui unghi.

Această teoremă demonstrează că, în același triunghi, raportul dintre valoarea unei laturi și sinusul unghiului său opus va fi întotdeauna constant.

Astfel, pentru un triunghi ABC cu laturile a, b, c, Legea păcatelor admite următoarele relații:

Reprezentarea legilor păcatelor în triunghi

Exemplu

Pentru o mai bună înțelegere, să calculăm măsura laturilor AB și BC ale acestui triunghi, în funcție de măsura b a laturii AC.

Conform legii sinelor, putem stabili următoarea relație:

Prin urmare, AB = 0,816b și BC = 1,115b.

Notă: Valorile sinelor au fost consultate în tabel al raporturilor trigonometrice. În el, putem găsi valorile unghiurilor de la 1º la 90º din fiecare funcție trigonometrică (sinus, cosinus și tangentă).

Unghiurile de 30º, 45º și 60º sunt cele mai utilizate în calculele trigonometrice. Prin urmare, acestea sunt numite unghiuri remarcabile. Consultați un tabel cu valorile de mai jos:

instagram story viewer

Relații trigonometrice	30°	45°	60°
Sinus	1/2	√2/2	√3/2
cosinus	√3/2	√2/2	1/2
Tangentă	√3/3	1	√3

Aplicarea legii păcatelor

Folosim legea sinusoidală în triunghiuri acute, unde unghiurile interne sunt mai mici de 90º (acute); sau în triunghiuri obtuze, care au unghiuri interne mai mari de 90º (obtuz). În aceste cazuri, puteți utiliza și fișierul Legea cosinusului.

Obiectivul principal al utilizării Legii păcatelor sau cosinusului este de a descoperi măsurătorile laturilor unui triunghi și, de asemenea, unghiurile acestuia.

Reprezentarea triunghiurilor în funcție de unghiurile lor interne

Și Legea păcatelor din triunghiul dreptunghiular?

După cum sa menționat mai sus, Legea păcatelor este utilizată atât în triunghiurile acute, cât și în cele obtuze.

În triunghiurile dreptunghiulare, formate dintr-un unghi intern de 90º (drept), am folosit teorema lui Pitagora și relațiile dintre laturile sale: latura opusă, adiacentă și hipotenuză.

Reprezentarea triunghiului dreptunghiular și a laturilor sale

Această teoremă are următoarea afirmație: "suma pătratelor picioarelor tale corespunde pătratului hipotenuzei tale". Formula sa este exprimată:

H² = ca²+ co²

Astfel, când avem un triunghi dreptunghic, sinusul va fi raportul dintre lungimea piciorului opus și lungimea hipotenuzei:

Se citește opus pe ipotenuză.

Cosinusul corespunde proporției dintre lungimea piciorului adiacent și lungimea hipotenuzei, reprezentată de expresia:

Se citește adiacent hipotenuzei.

Exerciții de examen de admitere

1.(UFPB) Primăria unui anumit oraș va construi, peste un râu care traversează acel oraș, un pod care trebuie să fie drept și să conecteze două puncte, A și B, situate pe malurile opuse ale râului. Pentru a măsura distanța dintre aceste puncte, un topograf a localizat un al treilea punct, C, la 200 m distanță de punctul A și pe același mal al râului ca punctul A. Folosind un teodolit (instrument de precizie pentru măsurarea unghiurilor orizontale și unghiurilor verticale, adesea utilizat în lucrările topografice), topograful a observat că unghiurile B C cu conjuncție logică supercript A spațiu și spațiu C A cu conjuncție logică supercript B măsurate, respectiv, 30º și 105º, așa cum este ilustrat în figura următoare.

Pe baza acestor informații, este corect să se afirme că distanța, în metri, de la punctul A la punctul B este:

un spațiu paranteză dreaptă 200 rădăcină pătrată a 2 spațiu final al rădăcinii b spațiu paranteză dreapta 180 rădăcină pătrată a 2 spațiu final al rădăcinii c paranteză spațiu drept 150 rădăcină pătrată a 2 spațiu d paranteză dreaptă spațiu 100 rădăcină pătrată a 2 spațiu și paranteză dreapta spațiu 50 rădăcină pătrată a 2

Vezi Răspuns

R e s p o st un spațiu c o r r e t un spațiu de colon d paranteză dreaptă spațiu 100 rădăcină pătrată a 2

obiectiv: Determinați măsura AB.

Ideea 1 - Legea păcatelor pentru determinarea AB

Figura formează triunghiul ABC, unde latura AC măsoară 200 m și avem două unghiuri determinate.

fiind unghiul B cu conjuncție logică supercript opus laturii AC de 200 m și unghiului C opus laturii AB, putem determina AB prin legea păcatelor.

$numărătorul A B peste numitorul s și n spațiu semn de 30 de grade sfârșitul spațiului fracției egal cu spațiul numărătorului A C despre numitorul s și n spațiu începutul stilului arată B cu conjuncție logică superscript stil final sfârșit de fracțiune$

THE legea păcatelor determină că raporturile dintre măsurătorile laturilor și sinelor unghiurilor opuse, respectiv acestor laturi, sunt egale în același triunghi.

Ideea 2 - determinați unghiul

Suma unghiurilor interioare ale unui triunghi este de 180 °, deci putem determina unghiul B.

B + 105 ° + 30 ° = 180 °
B = 180 ° - 105 ° - 30 °
B = 45 °

Înlocuind valoarea B cu conjuncție logică supercript în legea sinelor și efectuarea calculelor.

$numărătorul A B spațiu peste numitorul s și spațiul n 30 grade semn sfârșitul spațiului fracției egal cu spațiul numărătorului A C peste spațiul numitorului și n spațiul B sfârșitul numărătorului fracției A B spațiu peste numitorul s și n spațiu semn de 30 de grade sfârșitul spațiului fracției egal cu spațiul numărătorului A C peste spațiul numitorului s e n spațiu semn de 45 de grade sfârșitul numărătorului fracției A B spațiu peste numitorul stilul de început arată 1 jumătate de capăt al stilului sfârșitul spațiului fracției egal cu spațiul numărătorului A C peste spațiul numitorului stilul de început arată numeratorul rădăcină pătrată a lui 2 peste numitorul 2 sfârșitul fracției sfârșitul stilului sfârșitul fracției 2 A B spațiu egal cu numărătorul 2 A C peste numitor rădăcină pătrată a 2 capătul fracției A B spațiu egal cu numărător A C peste numitor rădăcină pătrată a 2 sfârșitul fracției$

Rețineți că există o rădăcină pătrată într-un numitor. Să luăm această rădăcină făcând raționalizarea, care este înmulțirea atât a numitorului, cât și a numărătorului fracției cu rădăcina în sine.

$Un spațiu B egal cu numărătorul A C peste numitorul rădăcină pătrată a 2 capătul spațiului fracției egal cu numărătorul spațiului A spațiu C. spațiu rădăcină pătrată de 2 peste numitor rădăcină pătrată de 2 spațiu. spațiu rădăcină pătrată de 2 capătul spațiului fracției egal cu spațiul numărătorului A spațiu C. spațiu rădăcină pătrată a 2 peste numitor rădăcină pătrată a 4 capătul fracției spațiu egal cu spațiul numărătorului A spațiu C. spațiu rădăcină pătrată de 2 peste numitorul 2 capătul fracției$

Înlocuind valoarea AC, avem:

$Un spațiu B egal cu numărul de spațiu 200 spațiu. spațiu rădăcină pătrată de 2 peste numitorul 2 sfârșitul fracției spațiu egal cu spațiul 100 rădăcină pătrată a lui 2$

Prin urmare, distanța dintre punctele A și B este 100 rădăcină pătrată de 2 m spațiu .

2. (Mackenzie - SP) Trei insule A, B și C apar pe o hartă la scara 1: 10000, așa cum se arată în figură. Dintre alternative, cea care aproximează cel mai bine distanța dintre insulele A și B este:

a) 2,3 km
b) 2,1 km
c) 1,9 km
d) 1,4 km
e) 1,7 km

Vezi Răspuns

Răspuns corect: e) 1,7 km

Scop: Determinarea măsurii segmentului AB.

Ideea 1: Folosiți legea sinusurilor pentru a găsi măsura AB

Legea păcatelor: măsurătorile laturilor unui triunghi sunt proporționale cu sinele unghiurilor opuse ale acestora.

$numărătorul 12 peste numitorul s și n spațiul 30 sfârșitul spațiului fracției egal cu spațiul numărătorului A B peste spațiul numitorului s și n spațiul de început stil arată C cu conjuncție logică superscript stil final sfârșit de fracțiunea spațială$

Ideea 2: determinați unghiul

Suma unghiurilor interioare ale unui triunghi este egală cu 180º.

30 + 105 + C = 180
135 + C = 180
C = 180 - 135
C = 45

Ideea 3: Aplicați valoarea lui C în legea sinelor

$numărătorul 12 peste numitorul s și n spațiul 30 sfârșitul spațiului fracției egal cu spațiul numărătorului A B peste spațiul numitor s și n spațiu stilul de început arată 45 sfârșitul stilului sfârșitul fracției spațiul 12 spațiul. spațiu s și n spațiu 45 spațiu egal cu spațiul A B spațiu. spațiu s și n spațiu 30 12 spațiu. numărător spațiu rădăcină pătrată a 2 peste numitorul 2 sfârșitul spațiului fracției egal cu spațiul A B spațiu. spațiu 1 mijloc 6 rădăcină pătrată a 2 spațiu egal cu numărătorul A B peste numitorul 2 capătul fracției 12 rădăcină pătrată a 2 spațiu egal cu spațiul A B$

Ideea 4: aproximați valoarea rădăcinii pătrate și utilizați scara

Făcând rădăcină pătrată de 4 spațiu aproximativ egal 1 virgulă 4

12. 1,4 = 16,8

Scara spune 1: 10000, înmulțind:

16,8. 10000 = 168 000 cm

Ideea 5: trecerea de la cm la km

168 000 cm / 100 000 = 1,68 km

Concluzie: Deoarece distanța calculată este de 1,68 km, cea mai apropiată alternativă este litera e.

Notă: Pentru a merge de la cm la km, împărțim la 100 000 deoarece, la următoarea scară, de la centimetri la km, numărăm 5 locuri la stânga.

km -5- hm -4- dam -3- m -2- dm -1- cm mm

3. (Unifor-CE) Se știe că în fiecare triunghi măsura fiecărei laturi este direct proporțională cu sinusul unghiului opus laturii. Folosind aceste informații, se concluzionează că măsura laturii AB a triunghiului prezentat mai jos este:

un spațiu paranteză dreaptă 12 rădăcină pătrată a 6 spațiu m b spațiu paranteză dreaptă 12 rădăcină pătrată a 3 spațiu m c spațiu paranteză dreaptă 8 rădăcină pătrată de 6 m spațiu d spațiu paranteză dreaptă 8 rădăcină pătrată de 3 m spațiu și spațiu paranteză dreaptă 4 rădăcină pătrată de 6 m spațiu

Vezi Răspuns

R e s p o st un spațiu c o r r e t un spațiu de colon și spațiu paranteză dreaptă 4 rădăcină pătrată de 6 spațiu m.

Declarația prevede legea sinelor.

$numărătorul 12 peste numitorul s și n spațiul 120 sfârșitul spațiului fracției egal cu numărătorul spațiului A B peste numitorul s și spațiul n 45 sfârșitul fracției$

Din trigonometrie, avem că: sin 120 = sin 60.

Înlocuirea valorilor din formulă:

$numărătorul 12 peste numitorul s și n spațiul 120 sfârșitul spațiului fracției egal cu numărătorul spațiului A B peste numitorul s și spațiul n 45 sfârșitul fracției numărător 12 peste numitor începutul stilului arată numeratorul rădăcină pătrată a 3 peste numitorul 2 sfârșitul fracției sfârșitul stilului sfârșitul spațiului fracției egal cu numeratorul A B peste numitorul stilul de început arată numeratorul rădăcină pătrată a lui 2 peste numitorul 2 sfârșitul fracției sfârșitul stilului sfârșitul fracției 12 spațiu. numărător spațiu rădăcină pătrată a 2 peste numitorul 2 sfârșitul spațiului fracției egal cu spațiul A B spațiu. numărător spațiu rădăcină pătrată a 3 peste numitorul 2 capătul fracției 12 rădăcină pătrată a 2 spațiu egal cu spațiul A B rădăcină pătrată de 3 A B spațiu egal cu spațiul 12 numărător rădăcină pătrată a 2 peste numitor rădăcină pătrată a 3 capătul lui fracțiune$

Pentru a nu lăsa o rădăcină în numitor, folosim raționalizarea, înmulțind numitorul și numărătorul cu rădăcina lui 3.

$Un spațiu B egal cu spațiul 12 numărător rădăcină pătrată a 2 peste numitor rădăcină pătrată a 3 capătul spațiului fracției. numărător spațiu rădăcină pătrată a 3 peste numitor rădăcină pătrată a 3 capătul fracției spațiu egal cu spațiul 12 numărător rădăcină pătrată a lui 6 peste numitor rădăcină pătrată a 9 capătul spațiului fracției egal cu spațiul 12 numărător rădăcina pătrată a 3 peste numitorul 3 capătul spațiului fracției egal cu spațiul 4 rădăcină pătrată a 3$

Prin urmare, măsura din partea AB este 4 rădăcină pătrată de 6 m spațiu .

Citiți mai multe despre subiect:

Sinus, cosinus și tangent
Trigonometrie
Relații trigonometrice
Cerc trigonometric
Funcții trigonometrice
Rapoarte trigonometrice

Legea păcatelor: aplicare, exemplu și exerciții

Exemplu

Aplicarea legii păcatelor

Și Legea păcatelor din triunghiul dreptunghiular?

Exerciții de examen de admitere

Suma unghiurilor interioare ale unui poligon

Relația lui Euler: vârfuri, fețe și muchii

Poligoane regulate: ce sunt, proprietăți și exemple