Distanța dintre două puncte

Distanța dintre două puncte este măsura segmentului de linie care le unește.

Putem calcula această măsură folosind Geometria Analitică.

Distanța dintre două puncte din avion

În plan, un punct este determinat pe deplin prin cunoașterea unei perechi ordonate (x, y) asociate acestuia.

Pentru a cunoaște distanța dintre două puncte, le vom reprezenta inițial în plan cartezian și apoi vom calcula această distanță.

Exemple:

1) Care este distanța dintre punctul A (1.1) și punctul B (3.1)?

d (A, B) = 3 - 1 = 2

2) Care este distanța dintre punctul A (4.1) și punctul B (1,3)?

Rețineți că distanța dintre punctul A și punctul B este egală cu ipotenuza triunghiului dreptunghiular cu picioarele 2 și 3.

Deci, vom folosi teorema lui Pitagora pentru a calcula distanța dintre punctele date.

[d (A, B)]² = 3² + 2² = √13

Formula distanței dintre două puncte din avion

Pentru a găsi formula distanței, putem generaliza calculul făcut în exemplul 2.

Pentru orice două puncte, cum ar fi A (x₁yy₁) și B (x₂y₂), avem:

Pentru a afla mai multe, citiți și:

• geometrie plană
• Planul cartezian
• Drept

Distanța dintre două puncte din spațiu

Folosim un sistem tridimensional de coordonate pentru a reprezenta punctele din spațiu.

Un punct este complet determinat în spațiu atunci când este asociat un triplu ordonat (x, y, z).

Pentru a găsi distanța dintre două puncte din spațiu, inițial le putem reprezenta în sistemul de coordonate și de acolo, efectuăm calculele.

Exemplu:

Care este distanța dintre punctul A (3,1,0) și punctul B (1,2,0)?

În acest exemplu, vedem că punctul A și B aparțin planului xy.

Distanța va fi dată de:

[d (A, B)]² = 1² + 2² = √5

Formula distanței dintre două puncte din spațiu

Pentru a afla mai multe, citiți și:

• Geometrie spațială
• Ecuația de linie
• Formule matematice

Exerciții rezolvate

1) Un punct A aparține axei abscisei (axa x) și este echidistant de punctele B (3.2) și C (-3.4). Care sunt coordonatele punctului A?

Vezi Răspuns

Deoarece punctul A aparține axei abscisei, atunci coordonata sa este (a, 0). Deci, trebuie să găsim valoarea unui.

(0 - 3)² + (până la - 2)² = (0 + 3)² + (până la -4)²
9 + la² - 4a +4 = 9 + a² - 8 + 16
4 = 12
a = 3
(3.0) sunt coordonatele punctului A.

2) Distanța de la punctul A (3, a) la punctul B (0,2) este egală cu 3. Calculați valoarea ordonată a.

Vezi Răspuns

3² = (0 - 3)² + (2 - a)²
9 = 9 + 4 - 4a + a^2
2 - al 4-lea +4 = 0
a = 2

3) ENEM - 2013

În ultimii ani, televiziunea a suferit o adevărată revoluție, în ceea ce privește calitatea imaginii, sunetul și interactivitatea cu privitorul. Această transformare se datorează conversiei semnalului analogic în semnalul digital. Cu toate acestea, multe orașe încă nu au această nouă tehnologie. Căutând să aducă aceste beneficii în trei orașe, un post de televiziune intenționează să construiască un nou turn de transmisie, care trimite un semnal către antenele A, B și C, care există deja în aceste orașe. Locațiile antenelor sunt reprezentate în plan cartezian:

Turnul trebuie să fie situat într-o locație echidistantă față de cele trei antene. Locul potrivit pentru construcția acestui turn corespunde punctului de coordonate

a) (65; 35)
b) (53; 30)
c) (45; 35)
d) (50; 20)
e) (50; 30)

Vezi Răspuns

Alternativă corectă e: (50; 30)

Vezi și: distanța dintre exercițiile din două puncte

4) ENEM - 2011

Un cartier al unui oraș a fost planificat într-o regiune plată, cu străzi paralele și perpendiculare, delimitând blocuri de aceeași dimensiune. În următorul plan de coordonate carteziene, acest cartier este situat în al doilea cadran, iar distanțele în
axele sunt date în kilometri.

Linia dreaptă a ecuației y = x + 4 reprezintă planificarea traseului liniei de metrou subteran care va traversa cartierul și alte regiuni ale orașului.
În punctul P = (-5,5), se află un spital public. Comunitatea a cerut comitetului de planificare să planifice o stație de metrou, astfel încât distanța sa până la spital, măsurată în linie dreaptă, să nu fie mai mare de 5 km.
Ca răspuns la solicitarea comunității, comitetul a susținut în mod corect că acest lucru va fi satisfăcut automat, deoarece construcția unei stații la punctul respectiv era deja prevăzută.

a) (-5,0)
b) (-3,1)
c) (-2,1)
d) (0,4)
e) (2.6)

Vezi Răspuns

Alternativa corectă b: (-3.1).

Vezi și: exerciții de geometrie analitică