Ecuația liniei poate fi determinată prin reprezentarea ei pe plan cartezian (x, y). Cunoscând coordonatele a două puncte distincte aparținând liniei putem determina ecuația acesteia.
De asemenea, este posibil să se definească o ecuație a liniei drepte pe baza înclinației sale și a coordonatelor unui punct care îi aparține.
ecuația generală a liniei
Două puncte definesc o linie. În acest fel, putem găsi ecuația generală a liniei prin alinierea a două puncte cu un punct generic (x, y) pe linie.
Fie punctele A (xyy) și B (xByyB), neincident și aparținând planului cartezian.
Trei puncte sunt aliniate când determinantul matricei asociat cu aceste puncte este egal cu zero. Deci, trebuie să calculăm determinantul următoarei matrice:
Dezvoltând determinantul găsim următoarea ecuație:
(y - daB) x + (xB - X) y + xyB - XBy = 0
Hai sa sunăm:
a = (y - daB)
b = (xB - X)
c = xyB - XBy
Ecuația generală a liniei drepte este definită ca:
ax + cu + c = 0
Unde , B și ç sunt constante și și B nu pot fi simultan nul.
Exemplu
Găsiți o ecuație generală a liniei care trece prin punctele A (-1, 8) și B (-5, -1).
Mai întâi trebuie să scriem condiția de aliniere în trei puncte, definind matricea asociată cu punctele date și un punct generic P (x, y) aparținând liniei.
Dezvoltând determinantul, găsim:
(8 + 1) x + (1-5) y + 40 + 1 = 0
Ecuația generală a liniei care trece prin punctele A (-1,8) și B (-5, -1) este:
9x - 4y + 41 = 0
Pentru a afla mai multe, citiți și:
- Sediu
- determinant
- Teorema lui Laplace
Ecuație de linie redusă
Coeficient unghiular
Putem găsi o ecuație a liniei r cunoscându-i înclinația (direcția), adică valoarea unghiului θ pe care îl prezintă linia în raport cu axa x.
Pentru aceasta asociem un număr m, care se numește panta liniei, astfel încât:
m = tg θ
panta m poate fi găsit și prin cunoașterea a două puncte aparținând liniei drepte.
Ca m = tg θ, atunci:
Exemplu
Determinați panta liniei r, care trece prin punctele A (1,4) și B (2,3).
Fiind,
X1 = 1 și y1 = 4
X2 = 2 și y2 = 3
Cunoașterea coeficientului unghiular al liniei m și un punct P0(X0yy0) aparținând acesteia, îi putem defini ecuația.
Pentru aceasta, vom înlocui punctul cunoscut P în formula pantei.0 și un punct generic P (x, y), care aparține de asemenea liniei:
Exemplu
Determinați o ecuație a liniei care trece prin punctul A (2,4) și are panta 3.
Pentru a găsi ecuația liniei, înlocuiți doar valorile date:
y - 4 = 3 (x - 2)
y - 4 = 3x - 6
-3x + y + 2 = 0
coeficient liniar
coeficientul liniar Nu Drept r este definit ca punctul în care linia intersectează axa y, adică punctul coordonatelor P (0, n).
Folosind acest punct, avem:
y - n = m (x - 0)
y = mx + n (ecuație de linie redusă).
Exemplu
Știind că ecuația liniei r este dată de y = x + 5, identificați-i panta, panta și punctul în care linia intersectează axa y.
Deoarece avem ecuația redusă a liniei, atunci:
m = 1
Unde m = tg θ ⇒ tg θ = 1 ⇒ θ = 45º
Punctul de intersecție a liniei cu axa y este punctul P (0, n), unde n = 5, atunci punctul va fi P (0,5)
Citește și tu Calculul pantei
Ecuația segmentului de linie
Putem calcula panta folosind punctul A (a, 0) pe care linia intersectează axa x și punctul B (0, b) care intersectează axa y:
Având în vedere n = b și substituind în formă redusă, avem:
Împărțind toți membrii după ab, găsim ecuația segmentară a liniei:
Exemplu
Scrieți, în formă segmentară, ecuația dreptei care trece prin punctul A (5.0) și are panta 2.
Mai întâi să găsim punctul B (0, b), înlocuind în expresia pantei:
Înlocuind valorile din ecuație, avem ecuația segmentară a liniei:
Citește și despre:
- Planul cartezian
- Distanța dintre două puncte
- Conic
- Drept
- Linii paralele
- Linii perpendiculare
- Segment de linie
- Funcție liniară
- Funcția afină
- Exerciții de funcții conexe
Exerciții rezolvate
1) Având în vedere linia care are ecuația 2x + 4y = 9, determinați panta acesteia.
4y = - 2x + 9
y = - 2/4 x + 9/4
y = - 1/2 x + 9/4
Prin urmare m = - 1/2
2) Scrieți ecuația liniei 3x + 9y - 36 = 0 în formă redusă.
y = -1/3 x + 4
3) ENEM - 2016
Pentru un târg științific, două proiectile de rachete, A și B, sunt construite pentru a fi lansate. Planul este ca acestea să fie lansate împreună, cu scopul ca proiectilul B să intercepteze A atunci când atinge înălțimea maximă. Pentru ca acest lucru să se întâmple, unul dintre proiectile va descrie o traiectorie parabolică, în timp ce celălalt va descrie o traiectorie presupusă dreaptă. Graficul prezintă înălțimile atinse de aceste proiectile în funcție de timp, în simulările efectuate.
Pe baza acestor simulări, s-a observat că traiectoria proiectilului B ar trebui modificată astfel încât
obiectivul a fost atins.
Pentru a atinge obiectivul, trebuie să fie coeficientul unghiular al liniei care reprezintă traiectoria lui B
a) scade cu 2 unități.
b) scade cu 4 unități.
c) crește cu 2 unități.
d) crește cu 4 unități.
e) crește cu 8 unități.
Mai întâi trebuie să găsim valoarea inițială a pantei liniei B.
Amintindu-ne că m = tg Ɵ, avem:
m1 = 12/6 = 2
Pentru a trece prin înălțimea maximă a traiectoriei lui A, panta liniei B trebuie să aibă următoarea valoare:
m2 = 16/4 = 4
Astfel, panta liniei B va trebui să se schimbe de la 2 la 4, apoi va crește cu 2 unități.
Alternativa c: creșteți 2 unități
Vezi și tu: Exerciții de geometrie analitică
