Teorema lui Pitagora: formulă și exerciții

O teorema lui Pitagora listează lungimea laturilor triunghiului dreptunghiular. Această figură geometrică este formată dintr-un unghi intern de 90 °, numit unghi drept.

Afirmația acestei teoreme este:

"Suma pătratelor picioarelor tale corespunde pătratului hipotenuzei tale."

Formula teoremei lui Pitagora

Conform afirmației teoremei pitagoreice, formula este reprezentată după cum urmează:

² = b² + c²

Fiind,

: hipotenuză
B: cateto
ç: cateto

THE ipotenuză este cea mai lungă latură a unui triunghi dreptunghiular și latura opusă unghiului drept. Celelalte două părți sunt picioarele. Unghiul format de aceste două laturi are o măsură egală cu 90º (unghi drept).

Am identificat și picioarele, conform unui unghi de referință. Adică, latura poate fi numită latură adiacentă sau latură opusă.

Când piciorul este aproape de unghiul de referință, se numește a adiacent, pe de altă parte, dacă este împotriva acestui unghi, se numește opus.

Mai jos sunt trei exemple de aplicații ale teoremei lui Pitagora la relațiile metrice ale unui triunghi dreptunghiular.

instagram story viewer

Exemplul 1: calculați măsura hipotenuzei

Dacă un triunghi dreptunghi are 3 cm și 4 cm ca măsuri ale picioarelor, care este ipotenuza acestui triunghi?

drept un spațiu pătrat este egal cu spațiul drept b spațiu pătrat plus drept c pătrat drept un spațiu pătrat este egal cu spațiul 4 spațiu pătrat plus spațiu 3 à drept pătrat un spațiu pătrat egal cu 16 spațiu plus spațiu 9 drept un spațiu pătrat egal cu 25 drept la spațiu egal cu spațiu rădăcină pătrată de 25 drept la spațiu egal cu spațiul 5

Prin urmare, laturile triunghiului dreptunghiular sunt de 3 cm, 4 cm și 5 cm.

Exemplul 2: calculați măsura unuia dintre picioare

Determinați măsura unui picior care face parte dintr-un triunghi dreptunghiular, a cărui hipotenuză este de 20 cm, iar celălalt picior măsoară 16 cm.

drept un spațiu pătrat egal cu spațiul drept b pătrat mai mult spațiu drept c spațiu pătrat săgeată dreaptă dreaptă dreaptă b spațiu pătrat egal cu spațiul drept un spațiu pătrat minus spațiu drept c pătrat drept b spațiu pătrat este egal cu spațiul 20 spațiu pătrat minus spațiu 16 pătrat drept b pătrat spațiu egal cu spațiu 400 spațiu minus spațiu 256 drept b spațiu pătrat egal cu 144 drept b spațiu egal cu spațiu rădăcină pătrată a 144 drept b spațiu egal cu spațiul 12

Prin urmare, măsurătorile laturilor triunghiului dreptunghiular sunt de 12 cm, 16 cm și 20 cm.

Exemplul 3: verificați dacă un triunghi este un dreptunghi

Un triunghi are laturile care măsoară 5 cm, 12 cm și 13 cm. De unde știi dacă este un triunghi dreptunghiular?

Pentru a demonstra că un triunghi dreptunghiular este adevărat, măsurătorile laturilor sale trebuie să respecte Teorema lui Pitagora.

drept un spațiu pătrat este egal cu spațiul drept b spațiu pătrat plus spațiu drept c pătrat 13 spațiu pătrat este egal spațiu 12 spațiu pătrat plus spațiu 5 pătrat 169 spațiu egal spațiu 144 spațiu plus spațiu 25 169 spațiu egal 169

Deoarece măsurile date îndeplinesc teorema lui Pitagora, adică pătratul hipotenuzei este egal cu suma pătratului picioarelor, atunci putem spune că triunghiul este un dreptunghi.

Citește și: Relațiile metrice în triunghiul dreptunghiului

Triunghiul pitagoric

Când măsoară laturile unui triunghi dreptunghic sunt numere întregi pozitive, triunghiul se numește triunghi pitagoric.

În acest caz, picioarele și hipotenuza sunt numite „costum pitagoric” sau „trio pitagoric”. Pentru a verifica dacă trei numere formează un trio pitagoric, folosim relația cu²= b² + c².

Cel mai cunoscut trio pitagoric este reprezentat de numerele: 3, 4, 5. Hipotenuza fiind egală cu 5, piciorul mai mare egal cu 4 și piciorul mai mic egal cu 3.

Rețineți că aria pătratelor desenate pe fiecare parte a triunghiului sunt legate la fel ca Teorema lui Pitagora: aria pătratului de pe latura lungă corespunde cu suma ariilor celorlalte două pătrat.

Interesant este că multiplele acestor numere formează și un costum pitagoric. De exemplu, dacă înmulțim trio-ul 3, 4 și 5 cu 3, obținem numerele 9, 12 și 15 care formează și un costum pitagoric.

În plus față de costumul 3, 4 și 5, există o multitudine de alte costume. Ca exemplu, putem menționa:

5, 12 și 13
7, 24, 25
20, 21 și 29
12, 35 și 37

Citește și: Trigonometria în triunghiul dreptunghiular

Cine a fost Pitagora?

conform istoriei Pitagora din Samos (570 a. Ç. - 495 a. C.) a fost un filozof și matematician grec care a fondat Școala Pitagorică, situată în sudul Italiei. Numită și Societatea Pitagorică, a inclus studii în matematică, astronomie și muzică.

Deși relațiile metrice ale triunghiului dreptunghiular erau deja cunoscute de babilonieni, care au trăit cu mult înainte de Pitagora, prima dovadă că această teoremă aplicată oricărui triunghi dreptunghiular se crede că a fost făcută de Pitagora.

Teorema lui Pitagora este una dintre cele mai cunoscute, mai importante și utilizate teoreme în matematică. Este esențial în rezolvarea problemelor de geometrie analitică, geometrie plană, geometrie spațială și trigonometrie.

În plus față de teoremă, alte contribuții importante ale Societății Pitagorice pentru Matematică au fost:

Descoperirea numerelor iraționale;
Proprietăți întregi;
MMC și MDC.

Citește și: Formule matematice

Dovezi ale teoremei lui Pitagora

Există mai multe moduri de a demonstra teorema lui Pitagora. De exemplu, cartea Propoziția pitagorică, publicată în 1927, a prezentat 230 de modalități de a o demonstra, iar o altă ediție, lansată în 1940, a crescut la 370 de demonstrații.

Urmăriți videoclipul de mai jos și verificați câteva demonstrații ale teoremei lui Pitagora.

Câte modalități există pentru a demonstra teorema lui Pitagora? - Betty Fei

Exerciții comentate asupra teoremei lui Pitagora

intrebarea 1

(PUC) Suma pătratelor celor trei laturi ale unui triunghi dreptunghi este egal cu 32. Cât timp este hipotenuza triunghiului?

a) 3
b) 4
c) 5
d) 6

Vezi Răspuns

Alternativă corectă: b) 4.

Din informațiile din declarație, știm că² + b² + c² = 32. Pe de altă parte, prin teorema lui Pitagora trebuie să o facem² = b² + c² .

Înlocuirea valorii lui b²+ c²langa² în prima expresie, găsim:

² +² =32 ⇒ 2.² = 32 ⇒ la² = 32/2 ⇒ la² = 16 ⇒ a = √ 16
a = 4

Pentru mai multe întrebări, consultați: Teorema lui Pitagora - Exerciții

intrebarea 2

(Si nici)

În figura de mai sus, care reprezintă designul unei scări cu 5 trepte de aceeași înălțime, lungimea totală a balustradei este egală cu:

a) 1,9m
b) 2,1 m
c) 2,0m
d) 1,8m
e) 2,2 m

Vezi Răspuns

Alternativă corectă: b) 2.1m.

Lungimea totală a balustradei va fi egală cu suma celor două secțiuni de lungime egală cu 30 cm cu secțiunea pentru care nu știm măsura.

Putem observa din figură că secțiunea necunoscută reprezintă ipotenuza unui triunghi dreptunghi, a cărui măsură a uneia dintre picioare este egală cu 90 cm.

Pentru a găsi măsura celuilalt picior, trebuie să adăugăm lungimea celor 5 pași. Prin urmare, avem b = 5. 24 = 120 cm.

Pentru a calcula hipotenuza, să aplicăm teorema lui Pitagora acestui triunghi.

² = 90² + 120² la² = 8100 + 14 400 ⇒ la² = 22 500 ⇒ a = √ 22 500 = 150 cm

Rețineți că am fi putut folosi ideea costumelor pitagorice pentru a calcula hipotenuza, deoarece picioarele (90 și 120) sunt multipli ai costumului 3, 4 și 5 (înmulțind toți termenii cu 30).

În acest fel, măsura totală a balustradei va fi:

30 + 30 + 150 = 210 cm = 2,1 m

Testați-vă cunoștințele cu Exerciții de trigonometrie

întrebarea 3

(UERJ) Millôr Fernandes, într-un frumos omagiu adus Matematicii, a scris o poezie din care extragem fragmentul de mai jos:

La atâtea foi de carte de matematică,
un Cotient s-a îndrăgostit într-o zi sălbatic
de un necunoscut.
O privi cu nenumărata lui privire
și a văzut-o de la vârf la bază: o figură ciudată;
ochi romboizi, gură trapezoidală,
corp dreptunghiular, sani sferoidali.
Ți-a făcut viața paralelă cu a ei,
până când s-au întâlnit în Infinit.
"Cine ești tu?" - a întrebat el cu anxietate radicală.
„Eu sunt suma pătratelor picioarelor.
Dar poți să-mi spui ipotenuză.”

(Millôr Fernandes. Treizeci de ani de mine.)

Incognita a greșit spunând cine este. Pentru a îndeplini teorema lui Pitagora, ar trebui să se facă următoarele

a) „Eu sunt pătratul sumei picioarelor. Dar spune-mi pătratul hipotenuzei. ”
b) „Eu sunt suma picioarelor. Dar poți să-mi spui ipotenuză. ”
c) „Eu sunt pătratul sumei picioarelor. Dar poți să-mi spui ipotenuză. ”
d) „Eu sunt suma pătratelor picioarelor. Dar spune-mi pătratul hipotenuzei. ”

Vezi Răspuns

Alternativa d) „Eu sunt suma pătratelor picioarelor. Dar spune-mi pătratul hipotenuzei. ”

Aflați mai multe despre subiect: