THE progresie aritmetică - PA este o secvență de valori care are o diferență constantă între numere consecutive.
THE progresie geometrică - PG prezintă numere cu același coeficient la împărțirea a doi termeni consecutivi.
În timp ce în progresia aritmetică termenii sunt obținuți prin adăugarea diferenței comune predecesorului, termenii a progresiile geometrice se găsesc prin înmulțirea raportului cu ultimul număr din secvență, obținându-se astfel termenul succesor.
Mai jos este un rezumat al celor două tipuri de progresii.
Progresia aritmetică (AP)
O progresie aritmetică este o secvență formată din termeni care diferă între ei printr-o valoare constantă, care se numește raport, calculat prin:
Unde,
r este motivul BP;
2 este al doilea termen;
1 este primul termen.
Prin urmare, termenii unei progresii aritmetice pot fi scrise după cum urmează:
Rețineți că într-un PA de Nu termeni formula termenului general (Nu) din secvență este:
Nu =1 + (n - 1) r
Unele cazuri particulare sunt: un AP cu 3 termeni este reprezentat de (x - r, x, x + r) și un AP cu 5 termeni are componentele sale reprezentate prin (x - 2r, x - r, x, x + r, x + 2r).
Tipuri de PA
Conform valorii raportului, progresiile aritmetice sunt clasificate în 3 tipuri:
1. Constant: când raportul este egal cu zero și termenii BP sunt egali.
Exemplu: PA = (2, 2, 2, 2, 2, ...), unde r = 0
2. Creştere: când raportul este mai mare decât zero și un termen din al doilea este mai mare decât cel anterior;
Exemplu: PA = (2, 4, 6, 8, 10, ...), unde r = 2
3. Descendentă: când raportul este mai mic decât zero și un termen din al doilea este mai mic decât cel anterior.
Exemplu: PA = (4, 2, 0, - 2, - 4, ...), unde r = - 2
Progresiunile aritmetice pot fi încă clasificate în finit, atunci când au un anumit număr de termeni și infinit, adică cu termeni infiniti.
Suma termenilor unui PA
Suma termenilor unei progresii aritmetice este calculată prin formula:
Unde, Nu este numărul de termeni din secvență, 1 este primul termen și Nu este al n-lea termen. Formula este utilă pentru rezolvarea întrebărilor în care este dat primul și ultimul termen.
Când o problemă are primul termen și motivul BP, puteți utiliza formula:
Aceste două formule sunt utilizate pentru a adăuga termenii unui BP finit.
Durata medie a AP
Pentru a determina media sau termenul central al unei TA cu un număr impar de termeni, calculăm media aritmetică cu primul și ultimul termen (un1 siNu):
Termenul mediu dintre trei numere consecutive ale unui PA corespunde cu media aritmetică a predecesorului și a succesorului.
Exemplu rezolvat
Având în vedere PA (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14), determinați raportul, termenul mediu și suma termenilor.
1. Motivul PA
2. termen mediu
3. suma termenilor
Află mai multe despre progresie aritmetică.
Progresie geometrică (PG)
O progresie geometrică se formează atunci când o secvență are un factor multiplicator rezultat din împărțirea a doi termeni consecutivi, numit un raport comun, care se calculează prin:
Unde,
ce este motivul PG;
2 este al doilea termen;
1 este primul termen.
O progresie geometrică a Nu termenii pot fi reprezentați după cum urmează:
Fiind 1 primul termen, termenul general al PG este calculat de 1.q(Nu-1).
Tipuri PG
Conform valorii raportului (q), putem clasifica progresiile geometrice în 4 tipuri:
1. Creştere: raportul este întotdeauna pozitiv (q> 0) și termenii cresc;
Exemplu: PG: (3, 9, 27, 81, ...), unde q = 3.
2. Descendentă: raportul este întotdeauna pozitiv (q> 0), diferit de zero (0), iar termenii sunt în scădere;
Exemplu: PG: (-3, -9, -27, -81, ...), unde q = 3
3. oscilant: motivul este negativ (q
Exemplu: PG: (3, -6, 12, -24, 48, -96, ...), unde q = - 2
4. Constant: raportul este întotdeauna egal cu 1 și termenii au aceeași valoare.
Exemplu: PG: (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, ...), unde q = 1
Suma termenilor unui PG
Suma termenilor unei progresii geometrice este calculată prin formula:
Fiind 1 primul termen, ce motivul comun și Nu numărul de termeni.
Dacă raportul PG este mai mic de 1, atunci vom folosi următoarea formulă pentru a determina suma termenilor.
Aceste formule sunt utilizate pentru un PG finit. Dacă suma solicitată este un PG infinit, formula utilizată este:
Termenul mediu de PG
Pentru a determina media sau termenul central al unui PG cu un număr impar de termeni, calculăm media geometrică cu primul și ultimul termen (un1 siNu):
Exemplu rezolvat
Dat fiind PG (1, 3, 9, 27 și 81), determinați raportul, termenul mediu și suma termenilor.
1. Motivul PG
2. termen mediu
3. suma termenilor
Află mai multe despre progresie geometrică.
Rezumatul formulelor PA și PG
| progresie aritmetică | Progresia geometrică | |
|---|---|---|
| Motiv | ||
| termen general | ||
| termen mediu | ||
| suma finită | ||
| sumă infinită |
Află mai multe despre secvențe numerice.
Exerciții pe PA și PG
intrebarea 1
Care este al 16-lea termen al secvenței care începe cu numărul 3 și are un raport BP egal cu 4?
a) 36
b) 52
c) 44
d) 63
Alternativă corectă: d) 63.
Deoarece raportul unui PA este constant, putem găsi al doilea termen din secvență adăugând raportul la primul număr.
2 =1 + r
2 = 3 + 4
2 = 7
Prin urmare, putem spune că această succesiune este formată din (3, 7, 11, 15, 19, 23, ...)
Al 16-lea termen poate fi calculat cu formula termenului general.
Nu =1 + (n - 1). r
16 = 3 + (16 – 1). 4
16 = 3 + 15.4
16 = 3 + 60
16 = 63
Prin urmare, răspunsul la întrebare este 63.
intrebarea 2
Care este raportul unui AP cu șase termeni a cărui sumă a primelor trei numere din secvență este egală cu 12 și ultimele două egale cu –34?
a) 7
b) - 6
c) - 5
d) 5
Alternativă corectă: b) - 6.
Formula generală pentru termenii unei progresii aritmetice este1, (A1 + r), (a1 + 2r),..., {a1 + (n-1) r}. Prin urmare, suma primilor trei termeni poate fi scrisă după cum urmează:
1 + (1 + r) + (a1 + 2r) = 12
A treia1 + 3r = 12
A treia1 = 12 - 3r
1 = (12 - 3r) / 3
1 = 4 - r
Iar suma ultimilor doi termeni este:
(The1 + 4r) + (a1 + 5r) = - 34
Al 2-lea1 + 9r = - 34
Acum înlocuim1 de 4 - r.
2 (4 - r) + 9r = - 34
8 - 2r + 9r = - 34
7r = - 34 - 8
7r = - 42
r = - 42/7
r = - 6
Prin urmare, raportul PG este - 6.
întrebarea 3
Dacă al treilea termen al unui GP este 28 și al patrulea termen este 56, care sunt primii 5 termeni ai acestei progresii geometrice?
a) 6, 12, 28, 56, 104
b) 7, 18, 28, 56, 92
c) 5, 9, 28, 56, 119
d) 7, 14, 28, 56, 112
Alternativă corectă: d) 7, 14, 28, 56, 112
În primul rând, trebuie să calculăm raportul acestui PG. Pentru aceasta, vom folosi formula:
4 =3. ce
56 = 28. ce
56/28 = q
q = 2
Acum calculăm primii 5 termeni. Vom începe cu1 folosind formula termenului general.
Nu =1. ce(n-1)
3 =1 . ce(3-1)
28 =1. 22
1 = 28/ 4 = 7
Termenii rămași pot fi calculați prin înmulțirea termenului antecedent cu raportul.
2 =1.q
2 = 7. 2
2 = 14
5 =4. ce
5 = 56. 2
5 = 112
Prin urmare, primii 5 termeni ai PG sunt:
Primul termen: 7
Al doilea mandat: 14
Al treilea mandat: 28
Al patrulea mandat: 56
Al 5-lea mandat: 112
Vedeți și alte exerciții pentru a continua să exersați:
- Exerciții de progresie aritmetică
- Exerciții de progresie geometrică
