THE descompunerea factorului prim este un instrument foarte important în dezvoltarea matematică, deoarece este posibilă simplificarea expresiilor numerice sau algebric și calculați MDC sau MMC de numere întregi.
Descompunerea în factori primi este unul dintre cele mai importante rezultate din câmpul algebrei și este formal cunoscută sub numele de Teorema fundamentală a aritmeticii, care afirmă că toate întreg pozitiv mai mare de 1 poate fi scris (sau descompus) sub forma de multiplicare a numerelor prime.
Citește și tu: Proprietăți de multiplicare pentru calcul mental
Cum se descompune în factori primi?
Este esențial să înțelegem conceptul de numere prime, deoarece le vom folosi pentru a descompune numerele întregi. Aici, să aruncăm o scurtă privire la definiția numerelor prime.
|
Numerele prime sunt cele care sunt prezente în lista dvs. de separatoare doar numărul 1 și ei înșiși. Pentru a verifica dacă numerele 11 și 21 sunt prime sau nu, de exemplu, trebuie să enumerăm divizorii ambelor numere: D (11) = {1, 11} D (21) = {1, 3, 7, 21} Rețineți că, atunci când enumerați divizorii lui 11, apare doar numărul 1 și el însuși, deci numărul 11 este prim, care nu se aplică numărului 21, care are mai multe numere decât 1 și 21, deci numărul 21 nu este prim. principalul numere prime pe care le folosim pentru a efectua descompunerea sunt primele, deci este foarte important să știm cel puțin următoarele prime: P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...} |
Descompunerea în factori primi este un instrument foarte puternic în matematică, deoarece permite simplificarea expresiilor algebrice și numerice. În mod formal, descompunerea în factori primi este cunoscută sub numele de Teorema fundamentală a aritmeticii, care afirmă:
„Fiecare număr întreg mai mare de 1 poate fi scris ca o înmulțire a numerelor prime.”
În plus, această descompunere este unică pentru fiecare număr, adică atunci când descompuneți numărul 12, de exemplu, va fi singurul cu o astfel de factorizare. Se numește numărul care admite o descompunere compus.
Cum se descompune un număr compus?
Pentru a descompune un număr compus, trebuie să performăm diviziuni numere prime succesive - dacă este posibilă împărțirea - până când coeficientul este egal cu 1. La final, trebuie să scriem numerele prime utilizate în formă de multiplicare (formă factorizată). Vezi următoarele exemple:
Exemplul 1
Scrieți numărul 24 într-o formă factorizată.
Pentru a scrie numărul 24 într-o formă factorizată, trebuie să îl împărțim la primul număr prim care este posibil, adică împarte numărul 24 la un număr prim în care împărțirea este exactă.
Folosind algoritm de diviziune, să împărțim cele 24 de2.
Coeficientul găsit acum a fost numărul 12, deci trebuie să îl împărțim din nou la primul număr prim a cărui diviziune este exactă, adică la2.
Trebuie să ne continuați acest proces până când coeficientul este egal cu 1. Rețineți că acum coeficientul este egal cu 6, deci îl putem împărți la 2, deoarece numărul 2 este primul număr prim pentru care diviziunea este încă posibilă.
Rețineți că coeficientul este acum egal cu 3, deci nu este posibil să îl împărțiți la 2. În aceste cazuri, să îl împărțim la următorul număr prim a cărui împărțire este exactă, adică la3.
Deoarece coeficientul este egal cu 1, descompunerea sa încheiat, acum este suficient să scrieți numerele prime (care sunt în interiorul cheii) ca produs. Uite:
24 = 2 · 2 ·2 · 3
24 = 23· 3
Vedeți că am scris numărul 24 sub formă de produs. Asta înseamnă că am luat în calcul numărul 24 folosind numere prime.
Exemplul 2
Scrieți numărul 25 în forma sa factorizată.
În acest exemplu, să folosim din nou algoritmul de divizare, dar să-l scriem diferit, vezi:
25 = 5 · 5 + 0
5 = 5 · 1 + 0
Numărul 25, sub formă factorizată, este:
25 = 5 ·5
25 = 52
Citește și tu: Criterii de divizibilitate - procese care facilitează operația de divizare
Metodă practică de realizare a descompunerii factorilor primi
Privind metoda anterioară, dacă numărul care trebuie luat în considerare este foarte mare, la fel ca numărul 1024, avem ceva destul de laborios, deoarece vor fi necesare divizii succesive după numere prime până când coeficientul este egal la 1.
Metoda pe care o vom vedea în continuare nu este altceva decât o simplificare a divizării. În loc să scriem toate elementele diviziunii (divizor, dividend, coeficient și rest), să punem doar numărul prim cu care vom împărți numărul care trebuie luat în calcul și coeficientul diviziunii. Vezi exemplele:
Factorizarea numărului 60
Pentru a calcula numărul 60, să urmăm același pas cu pas, dar să scriem doar coeficientul diviziunii (adică rezultatul) și numărul prim cu care vom împărți numărul 60.
Vedeți asta când împărțiți 60 la2,rezultatul este 30 și prin împărțirea numărului 30 la 2, rezultatul este 15 și așa mai departe până când rezultatul împărțirii este egal cu 1. Procesul rămâne același, singura diferență constă în simplificarea informațiilor.
Numărul 60, în forma sa factorizată, este:
60 = 2 · 2 · 3 ·5
60 = 22 · 3 · 5
exerciții rezolvate
intrebarea 1 - Descompuneți numărul 192 în factori primi.
Rezoluţie
Numărul 192, în forma sa descompusă, este:
192 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3
192 = 26 · 3
intrebarea 2 - Luați în considerare numerele p și q astfel încât p = 25 · 5 și q = 32. Determinați raportul dintre q și p.
Rezoluţie
Raportul dintre două numere este împărțirea dintre ele. Trebuie să respectăm întotdeauna ordinea în care li s-a dat să împartă q cu p. Înainte de a efectua împărțirea efectivă, să luăm în calcul numărul q, căutând o modalitate de a simplifica calculul.
Avem q = 32, deci îl putem scrie astfel:
q = 2 · 2 · 2 · 2 · 2
q = 25
Acum, deoarece am luat în calcul numărul q, putem asambla raportul dintre q și p și putem înlocui valorile.
