Sinus, cosinus i tangens są imiona nadane stosunki trygonometryczne. Większość problemów związanych z obliczeniami odległości jest rozwiązywana za pomocą trygonometria. W tym celu bardzo ważne jest zrozumienie jego podstaw, zaczynając od trójkąt prostokątny.
Bardzo ważne są również współczynniki trygonometryczne, ponieważ wiążą pomiary po obu stronach trójkąt z jednym z kątów ostrych, wiążąc tę relację z a prawdziwy numer.
Zobacz więcej: Identyfikacja ćwiartek cyklu trygonometrycznego
Cechy prawego trójkąta
Prawy trójkąt jest utworzony przez a kąt 90° (kąt prosty). Pozostałe kąty są mniejsze niż 90º, to znaczy są ostre, a ponadto wiemy, że największe boki są zawsze przeciwległe do największych kątów. W prawym trójkącie największy bok nazywa się przeciwprostokątna i jest „przed” kątem prostym, pozostałe boki są nazywane pekari.
W powyższym trójkącie mamy, że boki mierzące c i b to nogi, a bok mierzący a to przeciwprostokątna. W każdym prawym trójkącie związek znany jako twierdzenie Pitagorasa jest ważna.
2 = b2 + c2
Od teraz pekari z kołnierzem będą również nosić specjalne imiona. Nomenklatury nóg będą zależeć od kąta odniesienia. Biorąc pod uwagę kąt w kolorze niebieskim na powyższym obrazku, mamy, że strona mierząca b to is przeciwległa noga, a strona znajdująca się obok kąta, czyli mierząca c, to sąsiednia noga.
Sinus
Zanim zdefiniujemy wzór na sinus kąta, zrozummy ideę sinusa. Wyobraź sobie rampę, na której możemy określić powód między wysokością a kursem, prawda? Ten stosunek będzie nazywany sinusem kąta α.
A zatem,
grzech α = wysokość
trasa
cosinus
Analogicznie do idei sinusa mamy poczucie cosinusa, jednak w rampie cosinus to stosunek odległości od ziemi do drogi wzdłuż rampy.
A zatem:
cos α = usuwanie
trasa
Tangens
Podobnie jak w przypadku sinusa i cosinusa, tangens jest stosunkiem między wysokością a odległością rampy.
A zatem:
tg α = wysokość
usuwanie
Styczna daje nam prędkość wznoszenia.
Przeczytaj też: Trygonometria w dowolnym trójkącie
Związek między sinusem, cosinusem i tangensem
Ogólnie rzecz biorąc, możemy następnie zdefiniować sinus, cosinus i tangens w dowolnym trójkącie prostokątnym, korzystając z poprzednich pomysłów. Zobacz poniżej:
Najpierw biorąc kąt α jako referencję mamy:
grzech α = Przeciwna strona = do
przeciwprostokątna do
cos α = sąsiednia kateta = b
przeciwprostokątna do
tg α = Przeciwna strona = do
Sąsiednia katet b
Teraz biorąc kąt β jako odniesienie, mamy:
grzech β = Przeciwna strona = b
przeciwprostokątna do
cos β = sąsiednia kateta = do
przeciwprostokątna do
tg β = Przeciwna strona = b
sąsiadujący cewnik c
Tabele trygonometryczne
Są trzy wartości kątów, które musimy znać. Czy oni są:
Pozostałe wartości podane są w zestawieniach ćwiczeń lub można je sprawdzić w poniższej tabeli, ale nie martw się, nie ma potrzeby ich zapamiętywania (poza tymi z poprzedniej tabeli).
Kąt (°) |
sinus |
cosinus |
tangens |
Kąt (°) |
sinus |
cosinus |
tangens |
1 |
0,017452 |
0,999848 |
0,017455 |
46 |
0,71934 |
0,694658 |
1,03553 |
2 |
0,034899 |
0,999391 |
0,034921 |
47 |
0,731354 |
0,681998 |
1,072369 |
3 |
0,052336 |
0,99863 |
0,052408 |
48 |
0,743145 |
0,669131 |
1,110613 |
4 |
0,069756 |
0,997564 |
0,069927 |
49 |
0,75471 |
0,656059 |
1,150368 |
5 |
0,087156 |
0,996195 |
0,087489 |
50 |
0,766044 |
0,642788 |
1,191754 |
6 |
0,104528 |
0,994522 |
0,105104 |
51 |
0,777146 |
0,62932 |
1,234897 |
7 |
0,121869 |
0,992546 |
0,122785 |
52 |
0,788011 |
0,615661 |
1,279942 |
8 |
0,139173 |
0,990268 |
0,140541 |
53 |
0,798636 |
0,601815 |
1,327045 |
9 |
0,156434 |
0,987688 |
0,158384 |
54 |
0,809017 |
0,587785 |
1,376382 |
10 |
0,173648 |
0,984808 |
0,176327 |
55 |
0,819152 |
0,573576 |
1,428148 |
11 |
0,190809 |
0,981627 |
0,19438 |
56 |
0,829038 |
0,559193 |
1,482561 |
12 |
0,207912 |
0,978148 |
0,212557 |
57 |
0,838671 |
0,544639 |
1,539865 |
13 |
0,224951 |
0,97437 |
0,230868 |
58 |
0,848048 |
0,529919 |
1,600335 |
14 |
0,241922 |
0,970296 |
0,249328 |
59 |
0,857167 |
0,515038 |
1,664279 |
15 |
0,258819 |
0,965926 |
0,267949 |
60 |
0,866025 |
0,5 |
1,732051 |
16 |
0,275637 |
0,961262 |
0,286745 |
61 |
0,87462 |
0,48481 |
1,804048 |
17 |
0,292372 |
0,956305 |
0,305731 |
62 |
0,882948 |
0,469472 |
1,880726 |
18 |
0,309017 |
0,951057 |
0,32492 |
63 |
0,891007 |
0,45399 |
1,962611 |
19 |
0,325568 |
0,945519 |
0,344328 |
64 |
0,898794 |
0,438371 |
2,050304 |
20 |
0,34202 |
0,939693 |
0,36397 |
65 |
0,906308 |
0,422618 |
2,144507 |
21 |
0,358368 |
0,93358 |
0,383864 |
66 |
0,913545 |
0,406737 |
2,246037 |
22 |
0,374607 |
0,927184 |
0,404026 |
67 |
0,920505 |
0,390731 |
2,355852 |
23 |
0,390731 |
0,920505 |
0,424475 |
68 |
0,927184 |
0,374607 |
2,475087 |
24 |
0,406737 |
0,913545 |
0,445229 |
69 |
0,93358 |
0,358368 |
2,605089 |
25 |
0,422618 |
0,906308 |
0,466308 |
70 |
0,939693 |
0,34202 |
2,747477 |
26 |
0,438371 |
0,898794 |
0,487733 |
71 |
0,945519 |
0,325568 |
2,904211 |
27 |
0,45399 |
0,891007 |
0,509525 |
72 |
0,951057 |
0,309017 |
3,077684 |
28 |
0,469472 |
0,882948 |
0,531709 |
73 |
0,956305 |
0,292372 |
3,270853 |
29 |
0,48481 |
0,87462 |
0,554309 |
74 |
0,961262 |
0,275637 |
3,487414 |
30 |
0,5 |
0,866025 |
0,57735 |
75 |
0,965926 |
0,258819 |
3,732051 |
31 |
0,515038 |
0,857167 |
0,600861 |
76 |
0,970296 |
0,241922 |
4,010781 |
32 |
0,529919 |
0,848048 |
0,624869 |
77 |
0,97437 |
0,224951 |
4,331476 |
33 |
0,544639 |
0,838671 |
0,649408 |
78 |
0,978148 |
0,207912 |
4,70463 |
34 |
0,559193 |
0,829038 |
0,674509 |
79 |
0,981627 |
0,190809 |
5,144554 |
35 |
0,573576 |
0,819152 |
0,700208 |
80 |
0,984808 |
0,173648 |
5,671282 |
36 |
0,587785 |
0,809017 |
0,726543 |
81 |
0,987688 |
0,156434 |
6,313752 |
37 |
0,601815 |
0,798636 |
0,753554 |
82 |
0,990268 |
0,139173 |
7,11537 |
38 |
0,615661 |
0,788011 |
0,781286 |
83 |
0,992546 |
0,121869 |
8,144346 |
39 |
0,62932 |
0,777146 |
0,809784 |
84 |
0,994522 |
0,104528 |
9,514364 |
40 |
0,642788 |
0,766044 |
0,8391 |
85 |
0,996195 |
0,087156 |
11,43005 |
41 |
0,656059 |
0,75471 |
0,869287 |
86 |
0,997564 |
0,069756 |
14,30067 |
42 |
0,669131 |
0,743145 |
0,900404 |
87 |
0,99863 |
0,052336 |
19,08114 |
43 |
0,681998 |
0,731354 |
0,932515 |
88 |
0,999391 |
0,034899 |
28,63625 |
44 |
0,694658 |
0,71934 |
0,965689 |
89 |
0,999848 |
0,017452 |
57,28996 |
45 |
0,707107 |
0,707107 |
1 |
90 |
1 |
Wiedz również: Secant, cosecans i cotangens
rozwiązane ćwiczenia
Pytanie 1 - Określ wartość x i y w następującym trójkącie.
Rozwiązanie:
Zobacz w trójkącie, że podany kąt wynosił 30°. Wciąż patrząc na trójkąt, mamy stronę, która mierzy x to jest przeciwna noga pod kątem 30° i stroną mierzącą tak to jest sąsiednia noga pod kątem 30°. Musimy więc szukać stosunku trygonometrycznego, który wiąże to, czego szukamy, z tym, co jest dane (hipoprostokątna). Wkrótce:
grzech 30° = Przeciwna strona
Przeciwprostokątna
cos 30° = sąsiednia kateta
Przeciwprostokątna
Określono wartość x:
grzech 30° = Przeciwna strona
Przeciwprostokątna
grzech 30° = x
2
Patrząc na stół, musimy:
grzech 30° = 1
2
Zastępując go w równaniu, otrzymamy:
1 = x
2 2
x = 1
Podobnie rozważymy
A zatem:
Cos 30° = √3
2
cos 30° = sąsiednia kateta
Przeciwprostokątna
cos 30° = Tak
2
√3 = Tak
2 2
y = √3
pytanie 2 – (PUC-SP) Jaka jest wartość x na poniższym rysunku?
Rozwiązanie:
Patrząc na większy trójkąt, zauważ, że y jest przeciwne do kąta 30° i że 40 jest przeciwprostokątną, czyli możemy użyć trygonometrycznego stosunku sinusa.
grzech 30° = Tak
40
1 = Tak
2 40
2 lata = 40
y = 20
Teraz patrząc na mniejszy trójkąt, zobacz, że mamy wartość przeciwnej strony i szukamy wartości x, która jest stroną sąsiednią. Relacja trygonometryczna obejmująca te dwie nogi to styczna. A zatem:
tg 60° = 20
x
√3= 20
x
√3 x = 20
x = 20 · √3
√3 √3
x = 20√3
3
Robson Luiz
Nauczyciel matematyki
Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/seno-cosseno-tangente-angulos.htm