O minimalna wspólna wielokrotność (MMC) między dwiema liczbami całkowitymi x i y jest najmniejszą liczbą całkowitą, która jest wielokrotnością x i y jednocześnie. W ten sposób istnieje co najmniej jeden sposób na znalezienie MMC między dwiema liczbami x i y: przeszukaj zbiory wielokrotności x i y dla najmniejszego wspólnego elementu. Oczywiście istnieje praktyczna metoda znalezienia tej liczby, która zostanie omówiona poniżej. Jednak konieczne jest dobre zrozumienie pojęcia wielokrotności liczby całkowitej.
Czym są wielokrotności?
Liczba całkowita k nazywa się a wielokrotność x jeśli istnieje pewna liczba naturalna n taka, że n·x = k. Weźmy przykład liczby 110. On jest wielokrotność 10, ponieważ 110 jest wynikiem pomnożenia 10 przez liczbę naturalną 11.
W ten sposób można określić, czy liczba całkowita k jest wielokrotność od x metodą prób i błędów lub wykonując operację odwrotną mnożenia (dzielenia). Liczba k jest wielokrotnością x, jeśli istnieje liczba naturalna n taka, że:
n = k
x
Innymi słowy, aby dowiedzieć się, czy 110 jest wielokrotnością 10, podziel 110 przez 10. Jeśli znaleziony wynik jest liczbą naturalną, 110 jest wielokrotnością 10; w przeciwnym razie nie.
Ponieważ zbiór liczb naturalnych jest nieskończony, zbiór wielokrotności dowolnej liczby całkowitej jest również nieskończony. Jednak, aby rozwiązać ćwiczenia obejmujące wiele i PKM, dobrze jest napisać listę pierwszych wielokrotności liczby, aby uzyskać lepszą analizę zachowania jej wielokrotności.
Poniżej znajduje się lista pierwszych 10 wielokrotności 8, 10, 12, 20 i 40. Są to pierwsze 10, ponieważ są wynikiem pomnożenia tych liczb przez pierwsze 10 liczb naturalnych.
10 pierwszych naturalnych: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
Wielokrotność 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80
Wielokrotności 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100
Wielokrotność 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120
Wielokrotności 20: 20, 40, 60, 80, 100, 120, 140, 160, 180, 200
Wielokrotność 40: 40, 80, 120, 160, 200, 240, 280, 320, 360, 400
Najmniejsza wspólna wielokrotność
Aby znaleźć najmniejsza wspólna wielokrotność między dwiema liczbami, znajdź mała wielokrotność które mają ze sobą wspólnego. Pierwsza technika używana do znalezienia mmc polega na szukaniu go między wielokrotnościami dwóch liczb. Spójrz na przykład:
Najmniejsza wspólna wielokrotność między 10 a 12 wynosi 60, ponieważ między wielokrotnościami 10 i 12, 60 jest najmniejszą liczbą będącą wielokrotnością obu. Zegarek:
Wielokrotności 10: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100
Wielokrotność 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120
Dla tych dwóch liczb, które są małe, łatwo jest znaleźć MMC. Ale co, gdy wymagane jest obliczenie MMC między 256 a 384? Potrzebne będą liczne męczące mnożenia, jeśli chcesz postępować tą metodą. Do tego jest praktyczna metoda które zostaną omówione poniżej.
Metoda dekompozycji do obliczania MMC
Aby obliczyć najmniejsza wspólna wielokrotność między dwiema liczbami, możesz zrobić rozkład na czynniki pierwsze prime ich. Na przykład rozkłady na czynniki pierwsze 10 i 12 to:
10 = 2·5
12 = 2·2·3 = 22·3
Uwaga: Za każdym razem, gdy pojawiają się powtarzające się czynniki, zapisz je w formie potęgowej, tak jak to zrobiono w przypadku rozkładu liczby 12.
MMC między 10 a 12 będzie iloczynem czynników pierwszych, z wyjątkiem czynników powtarzających się, które mają najmniejszy wykładnik. Zatem minimum będzie:
Teraz nie przestawaj... Po reklamie jest więcej ;)
22·3·5 = 4·3·5 = 12·5 = 60
Zauważ, że czynnik 2 z rozkładu liczby 10 został zignorowany, ponieważ ten sam czynnik z rozkładu liczby 12 został podniesiony do kwadratu.
Ułatwia to obliczenie MMC między 256 a 384. Popatrz:
256 = 2·2·2·2·2·2·2·2 = 28
384 = 2·2·2·2·2·2·2·3 = 27·3
MMC będzie produktem 28·3 = 256·3 = 768.
Przykład 2: MMC między 768 a 4608
768 = 28·3
4608 = 29·32
MMC będzie produktem: 29·32.
Przykład 3: Oblicz MMC między 2700 a 4608
2700 = 33·22·52
4608 = 29·32
Zauważ, że współczynniki to 2, 3 i 5. Ci z najwyższymi wykładnikami to 29, 33 i 52. Tak więc MMC będzie:
29·33·52 = 345600
Praktyczna metoda obliczania MMC
Można zauważyć, że aby rozłożyć liczby na czynniki pierwsze, konieczne jest podzielenie ich przez najmniejszy możliwy dzielnik pierwszy i nadal ignorowanie czynników, które powtarzają się w tym samym dzieleniu. Istnieje metoda zdolna do wykonania tego zadania. Aby Cię nauczyć, posłużymy się przykładem MMC od 1000 do 1024.
Zapisz te dwie liczby obok siebie, oddzielone przecinkiem, a po ich prawej stronie przesuń pionową kreskę:
1000, 1024 |
|
|
Po prawej stronie tego śladu napisz najmniejszą liczbę pierwszą, która dzieli co najmniej jeden między 1000 a 1024. W tym przypadku liczba wynosi 2 i dzieli obie.
1000, 1024 | 2
|
|
Tuż pod każdym z nich zapisz wynik swojego dzielenia przez 2 i dla tych wyników powtórz powyższą procedurę, aż nie będzie już możliwe dzielenie dowolnej liczby przez 2.
1000, 1024 |2
500, 512 |2
250, 256 |2
125, 128 |2
125, 64|2
125, 32 |2
125, 16 |2
125, 8 |2
125, 4 |2
125, 2 |2
125, 1 |
Zauważ, że w pewnym momencie znajdujemy wynik 125 w kolumnie 1000, ale 125 nie jest podzielne przez 2. W kolumnie o numerze 1024 otrzymujemy tylko wyniki podzielne przez 2. W takim przypadku nadal dzielimy liczby w kolumnie 1024 przez 2 i powtarzamy liczbę 125.
Gdy liczby w obu kolumnach 1000 i 1024 nie są już podzielne przez 2, wypróbuj następną liczbę pierwszą: liczbę 3. Gdy nie ma już dzielników 3, wypróbuj następny i tak dalej, aż uzyskasz wynik „1,1”. W przypadku tego przykładu 125 nie jest podzielne przez 3, ale przez 5, więc powtórzymy proces, umieszczając 5 po prawej stronie myślnika. Zegarek:
1000, 1024 |2
500, 512 |2
250, 256 |2
125, 128 |2
125, 64|2
125, 32 |2
125, 16 |2
125, 8 |2
125, 4 |2
125, 2 |2
125, 1 |5
25, 1 |5
5, 1 |5
1, 1 |
Gdy to zrobisz, pomnóż czynniki znajdujące się na prawo od pionowej linii:
2·2·2·2·2·2·2·2·2·2·5·5·5 = 210·53 = 128000
Przykład 2: Oblicz MMC między 432 a 384:
432, 384 |2
216, 192 |2
108, 96 |2
54, 48 |2
27, 24 |2
27, 12 |2
27, 6 |2
27, 3 |3
9, 1 |3
3, 1 |3
1, 1 |
MMC będzie wyglądać następująco: =
2·2·2·2·2·2·2·3·3·3 = 27·33 = 128·9 = 1152
Aby obliczyć MMC trzech lub więcej liczb, po prostu użyj omówionej tutaj praktycznej metody, umieszczając wszystkie te liczby obok siebie.
Luiz Paulo Moreira
Ukończył matematykę
