Kiedy badamy wielościany, natrafiamy na Bryły Platona jako szczególny przypadek. Aby być bryłą Platona, wielościan musi spełniać trzy warunki:
być wypukłym;
wszystkie twarze mają taką samą liczbę krawędzi;
wszystkie wierzchołki są końcami o tej samej liczbie krawędzi.
Kilku filozofów próbowało zrozumieć pochodzenie Wszechświata, a Platon widział to w geometria przestrzenna wyjaśnienie tego pochodzenia. Bryły Platona to:
czworościan;
Prostopadłościan;
oktaedr;
dwunastościan;
dwudziestościan.
Wszystkie są uważane za regularne wielokąty, ponieważ ich krawędzie i ich twarze są zgodne. Bryły Platona szanują Związek Eulera, który podaje liczbę wierzchołków, ścian i krawędzi według wzoru V + F = A + 2.
Przeczytaj też: Jakie są różnice między figurami płaskimi a przestrzennymi?
regularne wielościany
Poszukiwanie regularnych wielościanów powtarza się, ponieważ łatwiej się z nimi pracuje. Wielościan jest klasyfikowany jako regularny, jeśli ma wszystkie twarze utworzone przez to samo wielokąt przystający, zgodny. Kiedy to nastąpi, kąty i krawędzie są również przystające.
Bryły Platona są szczególnymi przypadkami wielościanów foremnych. Na przykład sześcian, który jest bryłą Plato, ma wszystkie powierzchnie utworzone przez przystające kwadraty. O Pięciu Bryłach Platona, trzy tworzą trójkątne ściany z przystającymi trójkątami, jedna jest utworzona przez kwadratowe, a druga jest utworzona przez ściany pięciokątne.
Czym są ciała stałe Platona?
Platon był greckim filozofem i matematykiem. Wniósł wielki wkład w matematykę i próbując zrozumieć Wszechświat, bryły skojarzone z elementami przyrody.
Aby być bryłą platoniczną, wielościan musi być regularne i wypukłe. Jest tylko pięć brył, które spełniają tę definicję. Są to: czworościan, sześcian lub sześcian, ośmiościan, dwudziestościan i dwunastościan.
Związek pomiędzy żywiołem natury a bryłą był następujący:
czworościan - ogień
Prostopadłościan - Ziemia
oktaedr – powietrze
dwudziestościan - Woda
dwunastościan – Kosmos lub Wszechświat
Aby być ciałem stałym Platona, O wielościan również musi być wypukła, wszystkie ściany muszą mieć taką samą liczbę krawędzi, a wszystkie wierzchołki muszą być końcami o tej samej liczbie krawędzi.
Zobacz też: Kostka brukowa - geometryczne bryły utworzone przez płaskie i wieloboczne ściany
czworościan foremny
Czworościan foremny to wielościan, który ma 4 twarze, co uzasadnia jego nazwę (tetra = cztery). wszystkie twoje twarze są utworzone przez trójkąty. Ma kształt piramida o trójkątnej podstawie i jest znany jako piramida o regularnej podstawie, ponieważ wszystkie jej ściany są przystające. Ma łącznie 4 twarze (w formacie trójkąt równoboczny), 4 wierzchołki i 6 krawędzi.
Jeśli chcesz zbudować własny czworościan, po prostu pobierz i wydrukuj plik PDF tutaj.
Zwykła kostka lub sześcian
regularny sześcian ma 6 twarze, co uzasadnia jego nazwę (hex = sześć). twoje twarze są wszystkie kwadrat. Jest również znany jako sześcian i ma 6 ścian, 12 krawędzi i 8 wierzchołków.
Jeśli chcesz zbudować własną kostkę, po prostu pobierz i wydrukuj plik PDF tutaj.
Oktaedr
Podobnie jak poprzednie, nazwa jest powiązana z liczbą twarzy, stąd ośmiościan ma 8 twarzy. Te twarze mają kształt trójkąta równobocznego. Oktaedr ma 8 ścian, 12 krawędzi i 6 wierzchołków.
Jeśli chcesz zbudować własny ośmiościan, po prostu pobierz i wydrukuj plik PDF tutaj.
dwudziestościan
Dwudziestościan ma łącznie 20 twarzy. Ich twarze mają kształt trójkątów równobocznych, podobnie jak ośmiościan. Ma łącznie 20 ścian, 30 krawędzi i 12 wierzchołków.
Jeśli chcesz zbudować własny dwudziestościan, po prostu pobierz i wydrukuj plik PDF tutaj.
Dwunastościan
Dwunastościan jest ostatnią bryłą Platona. Ma łącznie 12 twarzy i jest to uważane za bardziej harmonijny wśród pięciu brył platońskich. Ich twarze mają kształt pięciokątów. Posiada 12 ścian, 30 krawędzi i 20 wierzchołków.
Jeśli chcesz zbudować własny dwunastościan, po prostu pobierz i wydrukuj plik PDF tutaj.
Również dostęp: Cylinder - geometryczna bryła utworzona przez dwie równoległe okrągłe ściany i w różnych płaszczyznach
Wzór Eulera
Wielościany Eulera są wielościanami wypukłymi. Euler opracował wzór, który wiąże liczbę ścian (F), liczbę wierzchołków (V) i liczbę krawędzi (A) wielościanu wypukłego. Wszystkie bryły Plato spełniają relację Eulera.
V + F = A + 2 |
Analizując formułę, można wtedy obliczyć liczba wierzchołków z liczby ścian i krawędzi lub liczba ścian z liczby wierzchołków i krawędzi, w skrócie, znając dwa jego elementy, zawsze można znaleźć trzeci.
Przykład:
Wiedząc, że wielościan ma 8 wierzchołków i 12 krawędzi i jest regularny, ile ma ścian?
Wiemy, że V + F = A+2
V = 8
A = 12
8 + F = 12 + 2
8 + F = 14
F = 14 - 8
F = 6
rozwiązane ćwiczenia
Pytanie 1 - (Enem 2016) Bryły Platona są wypukłymi wielościanami, których ściany są przystające do jednego wielokąta regularne, wszystkie wierzchołki mają taką samą liczbę krawędzi wypadających, a każda krawędź jest wspólna tylko dla dwóch. twarze. Są ważne np. przy klasyfikowaniu kształtów kryształów mineralnych oraz przy opracowywaniu różnych przedmiotów. Podobnie jak wszystkie wielościany wypukłe, bryły Platona respektują relację Eulera V - A + F = 2, gdzie V, A i F są odpowiednio liczbą wierzchołków, krawędzi i ścian wielościanu.
Jaki jest stosunek liczby wierzchołków do liczby ścian w krysztale o kształcie trójkątnego wielościanu Platona?
A) 2V - 4F = 4
B) 2V - 2F = 4
C) 2V - F = 4
D) 2V + F = 4
E) 2V + 5F = 4
Rozkład
Alternatywa C. Ponieważ twarze są trójkątne, wiemy, że każda twarz ma 3 krawędzie. Aby jednak powiązać liczbę krawędzi z liczbą ścian, należy pamiętać, że każda krawędź jest zawarta na dwóch twarzach, ponieważ spotkanie dwóch twarzy tworzy krawędź, więc w tym przypadku możemy powiązać krawędź z twarzą za:
Mając relację Eulera jako V - A + F = 2 i podstawiając A, musimy:
Pytanie 2 - Na podstawie poniższych alternatyw osądź, która z nich nie jest bryłą Plato.
A) Kostka
B) Zwykły czworościan
C) Dwudziestościan
D) Dwunastościan
E) Stożek
Rozkład:
Alternatywa E. Spośród alternatyw, jedyną, która nie odpowiada bryle Platona, jest stożek.
Raul Rodrigues de Oliveira
Nauczyciel matematyki
Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/os-solidos-platao.htm