W przeciwieństwie do utworzonych przez niego figur geometrycznych, Wynik nie ma definicji. Oznacza to, że w geometrii punkt jest niezdefiniowanym obiektem używanym do definiowania innych obiektów. Na przykład linie są zbiorami punktów. Chociaż wyglądają na dobrze zdefiniowane, linie również nie mają definicji, ponieważ każdy zestaw zawierający dwa lub więcej punktów jest uważany za prosty.
Z drugiej strony w geometrii analitycznej punkt jest traktowany jako lokalizacja. Dowolna lokalizacja może być reprezentowana przez punkt, a dodatkowo „adres” tego punktu jest podawany za pomocą współrzędnych.
Jednak w geometrii analitycznej punkty mogą jedynie wskazywać lokalizacje. Inne obiekty są potrzebne do wskazania trajektorii, kierunku, kierunku i intensywności. W przypadku tych trzech ostatnich obiektem wybranym do ich reprezentowania na płaszczyźnie kartezjańskiej jest wektor.
→ Co to jest wektor?
Wektorysą więc obiektami, które wskazują kierunek, sens i intensywność. Zazwyczaj są one reprezentowane przez strzałki, które zaczynają się od początku i używane są współrzędne ich ostatniego punktu.
Na powyższym obrazku wektory są reprezentowane w ten sposób, to znaczy strzałki, których współrzędne odpowiadają ich punktowi końcowemu. Wektor u ma współrzędne (2,2) a wektor v ma współrzędne (4,2). Strzałka służy również do wskazania kierunku i kierunku, a jej rozmiar wskazuje na intensywność.
→ Mnożenie wektora przez liczbę
Mając wektor v = (a, b), iloczyn liczby rzeczywistej k przez v jest podany przez wyrażenie:
k v = k (a, b) = (k a, k b)
Innymi słowy, aby pomnożyć liczbę rzeczywistą przez wektor, musisz pomnożyć liczbę rzeczywistą przez każdą z jej współrzędnych.
Geometrycznie pomnożenie wektora przez liczbę rzeczywistą liniowo zwiększa rozmiar wektora:
Zauważ, że w powyższym przykładzie wektor u ma współrzędne (2.2), a wektor u·k ma współrzędne (4.4). Rozwiązując równanie (4.4) = k (2.2) można wywnioskować, że k = 2.
→ Dodawanie wektorów
Biorąc pod uwagę dwa wektory u = (a, b) i v = (c, d), sumę między nimi uzyskamy za pomocą wyrażenia:
u + v = (a + c, b + d)
Innymi słowy, po prostu dodaj odpowiednie współrzędne każdego wektora. Ta operacja jest rozszerzalna do sumy 3 lub więcej wektorów o 3 lub więcej wymiarach.
Geometrycznie, zaczynając od punktu końcowego wektora u, wektor v' jest rysowany równolegle do wektora v. Zaczynając od wektora v, rysujemy wektor u' równolegle do wektora u. Te cztery wektory tworzą równoległobok. Wektor u + v jest następującą przekątną tego równoległoboku:
Teraz nie przestawaj... Po reklamie jest więcej ;)
Aby odjąć wektory, rozważ odejmowanie jako sumę jednego wektora i przeciwieństwa drugiego. Na przykład, aby odjąć wektor v od wektora u, napisz: u – v = u + (-v). Wektor -v jest wektorem v, ale z odwróconymi znakami współrzędnych.
Patrząc z bliska, operacje „mnożenie wektora przez liczbę” i „dodawanie wektorów” korzystać z operacji mnożenia i dodawania na liczbach rzeczywistych, ale na każdym składniku wektor. Dlatego w przypadku wektorów obowiązują wszystkie właściwości dodawania i mnożenia liczb rzeczywistych, a mianowicie:
Biorąc pod uwagę wektory u, v i w oraz liczby rzeczywiste k i l,
i) (u + v) + w = u + (v + w)
ii) u + v = v + u
iii) istnieje wektor 0 = (0,0) taki, że v + 0 = v
iv) Istnieje wektor -v taki, że v + (-v) = 0
v) k (u + v) = ku + kv
vi) (k + l) v = kv + lv
vii) kl (v) = k (lv)
viii) 1v = v
→ Wzorzec wektora
Norma wektora jest odpowiednikiem wielkości liczby rzeczywistej, czyli odległości między wektorem a punktem (0,0) lub, w zależności od układu odniesienia, długości wektora.
Normę wektora v = (a, b) oznaczono przez ||v|| i można je obliczyć za pomocą wyrażenia:
||v|| = (a2 + b2)
→ Produkt wewnętrzny
Produkt wewnętrzny jest porównywalny z produktem pomiędzy wektorami. Zauważ, że wyżej wymieniony iloczyn jest iloczynem między wektorem a liczbą rzeczywistą. Teraz dany „produkt” znajduje się między dwoma wektorami. Nie należy jednak mówić „iloczyn między dwoma wektorami”, ale raczej „iloczyn wewnętrzny między dwoma wektorami”. Iloczyn skalarny między wektorami v = (a, b) i u = (c, d) jest oznaczony przez
Zwyczajowo używa się również następującej notacji:
Zauważ, że używając normy wektora v = (a, b), możemy powiązać normę z iloczynem skalarnym.
||v|| = (a2 + b2) = √(a·a + b·b) = √(
Luiz Paulo Moreira
Ukończył matematykę
