Kąt między dwoma wektorami

Wektory są obiektami matematycznymi odpowiedzialnymi za opisanie trajektorii punktów. Punkty te często reprezentują konkretne obiekty w ruchu, które są szczegółowo badane przez fizykę. Rozważając siły zaangażowane w przemieszczanie (w rzeczywistości lub potencjalne) obiektu, fizyka wykorzystuje wektory do ich reprezentacji. Kąt, jaki tworzą te wektory, jest kluczową częścią obliczeń, jako niewielka zmiana kąta może wymagać przyłożenia większej siły do ​​obiektu, aby mógł się uruchomić lub pozostać w środku ruch.

Wektory są geometrycznie reprezentowane przez strzałki, które są zorientowanymi liniami prostymi. W ten sposób jeden koniec segmentu wskazuje końcową pozycję przesuniętego punktu, a drugi koniec jest nieoznaczony, co wskazuje, że ruch się tam rozpoczął. Punkt lokalizacji punktu końcowego jest zwykle używany do identyfikowania wektora, który zaczyna się w początku układu współrzędnych. Biorąc pod uwagę płaszczyznę kartezjańską jako układ współrzędnych, wektor v, rozpoczynający się w punkcie (0,0) i kończący się w punkcie (a, b), jest reprezentowany tylko jako

wektor v = (a, b). Jeśli wektor zaczyna się w innym miejscu, po prostu przenieś go w odpowiednie miejsce.

Wektor w płaszczyźnie kartezjańskiej

Ponieważ są to zorientowane linie proste, możliwe jest obliczenie ich długości, która nazywa się wektor norma. Obliczenie normy wektora jest podane w taki sam sposób, jak odległość między dwoma punktami i jest równoważne obliczeniu modułu liczby rzeczywistej. W ten sposób norma wektora v = (a, b) oznaczona jest przez |v| i można je obliczyć w następujący sposób:

Teraz nie przestawaj... Po reklamie jest więcej ;)

Biorąc pod uwagę dwa wektory v = (a, b) i u = (a',b'), the produkt krajowy wśród nich jest oznaczony przez i wyraża się następującym wyrażeniem:

= a·a' + b·b'

Iloczyn skalarny między dwoma wektorami jest również definiowany przez kąt między nimi. Ta definicja umożliwia obliczenie kąta między dwoma wektorami.

Kąt między dwoma wektorami

Zatem biorąc te same wektory v i u, cosinus kąta θ między nimi jest określony następującym wyrażeniem:

cosθ =
|v|·|u|

Uzbrojeni w te dane, definicje i poniekąd formuły, można opracować strategię obliczania kąta między dwoma wektorami.

Mając wektory v = (2,2) i u = (0,2) obliczymy kąt między nimi. Aby to zrobić, najpierw oblicz normę każdego wektora i iloczyn między tymi normami:

|v| = √(2² + 2²)
|v| = (4 + 4)
|v| = √8

|u| = (0² + 2²)
|u| = (0 + 4)
|u| = √4

|v|·|u| = √8·√4
|v|·|u| = 4√2

Następnie oblicz iloczyn skalarny między v i u:

= 2·0 + 2·2
= 0 + 4
= 4

Na koniec użyj wzoru na kąt między wektorami, aby obliczyć cosθ i a tabela wartości cosinusów aby znaleźć wartość θ.

cosθ =
|v|·|u|

cosθ =  4
4√2

cosθ =  4
4√2

cosθ =  2
√2

cosθ = √2
2

θ = 45°

Luiz Paulo Moreira
Ukończył matematykę

Czy chciałbyś odnieść się do tego tekstu w pracy szkolnej lub naukowej? Popatrz:

SILVA, Luiz Paulo Moreira. „Kąt między dwoma wektorami”; Brazylia Szkoła. Dostępne w: https://brasilescola.uol.com.br/matematica/Angulo-entre-dois-vetores.htm. Dostęp 27 czerwca 2021 r.