Zestaw liczby pierwsze jest przedmiotem badań w matematyka ze starożytnej Grecji. Euklides w swoim wspaniałym dziele „The Elements” omówił już ten temat, zdołał wykazać, że to… zestaw jest nieskończony. Jak wiemy, liczby pierwsze to te, które mają liczbę 1 jako dzielnik i same siebie, a zatem znalezienie bardzo dużych liczb pierwszych nie jest łatwym zadaniem, a sito Eratostenesa to ułatwia. spotkanie.
Skąd wiesz, kiedy liczba jest pierwsza?
Wiemy, że liczba pierwsza to aktokolwiek ma as rozdzielacz numer 1 i on sam, czyli liczba, która na liście dzielników ma liczby inne niż 1 i sama z siebie nie będzie liczbą pierwszą, patrz:
Wymieniając dzielniki 11 i 30, mamy:
D(11) = {1, 11}
D(30) = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 30}
Zauważ, że liczba 11 ma tylko liczbę 1 i samą siebie jako dzielniki, więc liczba 11 to liczba pierwsza. Teraz spójrz na dzielniki liczby 30, która oprócz liczby 1 i samej siebie ma również liczby 2, 3, 5, 6 i 10 z dzielnikami. W związku z tym, liczba 30 nie jest liczbą pierwszą.
→ Przykład: Wymień liczby pierwsze mniejsze niż 15.
W tym celu wymienimy dzielniki wszystkich liczb od 2 do 15.
D(2) = {1, 2}
D(3) = {1,3}
D(4) = {1, 2, 4}
D(5) = {1, 5}
D(6) = {1, 2, 3, 6}
D(7) = {1, 7}
D(8) = {1, 2, 4, 8}
D(9) = {1, 3, 9}
D(10) = {1, 2, 5, 10}
D(11) = {1, 11}
D(12) = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
D(13) = {1, 13}
D(14) = {1, 2, 7, 14}
D(15) = {1, 3, 5, 15}
Zatem liczby pierwsze mniejsze niż 15 to:
2, 3, 5, 7, 11 i 13
Spójrzmy prawdzie w oczy, to zadanie nie byłoby zbyt przyjemne, gdybyśmy na przykład zapisali wszystkie liczby pierwsze między 2 a 100. Aby tego uniknąć, w następnym temacie nauczymy się używać sita Eratostenesa.
Teraz nie przestawaj... Po reklamie jest więcej ;)
Sito Eratostenesa
Sito Eratostenesa to narzędzie, które ma na celu ułatwienie określania liczb pierwszych. Sito składa się z czterech etapów i aby je zrozumieć, należy pamiętać o tym, że kryteria podzielności. Przed rozpoczęciem krok po kroku musimy utworzyć tabelę od liczby 2 do żądanej liczby, ponieważ liczba 1 nie jest liczbą pierwszą. Następnie:
→ Krok 1: Z kryterium podzielności przez 2 mamy, że wszystkie liczby parzyste są przez nie podzielne, to znaczy liczba 2 pojawi się na liście dzielników, więc te liczby nie będą pierwsze i musimy je wykluczyć z stół. Czy oni są:
4, 6, 8, 10, 12, 14, …, 1000, 1002, 1004, …
→ Krok 2: Z kryterium podzielności przez 3 wiemy, że liczba jest podzielna przez 3, jeśli suma z jego cyfr to również. Dlatego musimy wykluczyć te liczby z tabeli, ponieważ nie są one liczbami pierwszymi, ponieważ na liście dzielników jest liczba inna niż 1 i ona sama. Musimy więc wykluczyć liczby:
6, 9, 12, 15, 18, …, 2133, 2136, …
→ Krok 3: Z kryterium podzielności przez 5 wiemy, że wszystkie liczby kończące się na 0 lub 5 są podzielne przez 5, więc musimy je wykluczyć z tabeli.
10, 15, 20, 25, …, 655, 670,…
→ Krok 4: Podobnie musimy wykluczyć z tabeli liczby będące wielokrotnościami 7.
14, 21, 28, …, 546, …
– Znając sito Eratostenesa, wyznaczmy liczby pierwsze od 2 do 100.
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
31 |
32 |
33 |
34 |
35 |
36 |
37 |
38 |
39 |
40 |
41 |
42 |
43 |
44 |
45 |
46 |
47 |
48 |
49 |
50 |
51 |
52 |
53 |
54 |
55 |
56 |
57 |
58 |
59 |
60 |
61 |
62 |
63 |
64 |
65 |
66 |
67 |
68 |
69 |
70 |
71 |
72 |
73 |
74 |
75 |
76 |
77 |
78 |
79 |
80 |
81 |
82 |
83 |
84 |
85 |
86 |
87 |
88 |
89 |
90 |
91 |
92 |
93 |
94 |
95 |
96 |
97 |
98 |
99 |
100 |
→ nie są kuzynami
→ liczby pierwsze
Liczby pierwsze od 2 do 100 to:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}
Przeczytaj też: Kalkulacja MMC i MDC: jak to zrobić?
Rozkład na czynniki pierwsze
TEN rozkład na czynniki pierwsze prime jest formalnie znany jako podstawowe twierdzenie arytmetyki. Twierdzenie to mówi, że każdy liczba całkowita różne od 0 i większe niż 1 mogą być reprezentowane przez iloczyn liczb pierwszych. Aby wyznaczyć faktoryczna postać liczby całkowitej, musimy dokonywać kolejnych dzieleń, aż osiągniemy wynik równy 1. Zobacz przykład:
→ Określ rozkład na czynniki liczb 8, 20 i 350.
Aby podzielić liczbę 8, musimy podzielić ją przez pierwszą możliwą liczbę pierwszą, w tym przypadku przez 2. Następnie dokonujemy kolejnego dzielenia również przez możliwą liczbę pierwszą, proces ten jest powtarzany aż do osiągnięcia liczby 1 jako odpowiedzi na dzielenie. Popatrz:
8: 2 = 4
4: 2 = 2
2: 2 = 1
Zatem faktoryczna forma liczby 8 to 2 · 2 · 2 = 23. W celu ułatwienia tego procesu przyjmiemy następującą metodę:
Dlatego liczbę 8 można zapisać jako: 23.
→ Aby rozłożyć liczbę 20 na czynniki, użyjemy tej samej metody, czyli podzielimy ją przez liczby pierwsze.
Tak więc liczba 20 w formie rozłożonej na czynniki to: 2 · 2 · 5 lub 22 · 5.
→ Podobnie zrobimy z liczbą 350.
Zatem liczba 350 w postaci rozłożonej na czynniki to: 2 · 5 · 5 · 7 lub 2 · 52 · 7.
Zobacz też: Notacja naukowa: do czego służy?
Ćwiczenia rozwiązane
Pytanie 1 – Uprość wyrażenie:
Rozwiązanie
Najpierw rozłóżmy na czynniki wyrażenie, aby było łatwiej.
Zatem 1024 = 210, a zatem możemy podstawić jedno za drugie w wyrażeniu ćwiczenia. A zatem:
Robson Luiz
Nauczyciel matematyki
