Logarytm to bardzo ważne narzędzie nie tylko dla obszaru matematyka, ponieważ ma zastosowanie w kilku dziedzinach nauki, takich jak geografia, chemia i informatyka.
Historycznie logarytm powstaje w celu ułatwienia rozliczeń które pojawiały się często w kilku dziedzinach naukowych. John Napier był pionierem w badaniu logarytmów i zdołał opracować operację zdolną do transformacji produkty w suma, podziały na odejmowanie i potencje w mnożeniach.
Definiując tę operację, z czasem sformalizowali się inni matematycy definicje i właściwości, poza tym dobrze znany tabela dziennika.
Definicja logarytmu
Naszkicuj wykres funkcji logarytmicznej (po prawej) i jej odwrotność wykładniczą (po lewej).
rozważ dwa liczby rzeczywiste pozytywny i b, z do ≠ 0. logarytm z b w bazie jest liczba x wtedy i tylko wtedy gdy, Podnieść do x jest równa liczbie b.
Nomenklatura:
→ baza
b → logarytm
x → logarytm
Zobacz przykłady:
Gdy logarytm ma podstawę równą 10, nazywa się logarytm dziesiętny. Podczas rejestrowania dziennika dziesiętnego nie jest konieczne pisanie o podstawie 10. Uzgodniono, że:
Przeczytaj też: System logarytmu dziesiętnego
Jak obliczyć logarytm?
Aby obliczyć logarytm, musimy poszukać a liczba, która po podniesieniu podstawy daje logarytm. Biorąc jako przykład logarytm 36 o podstawie 6 w poprzednim przykładzie, powinniśmy znaleźć liczbę, która po podniesieniu podstawy 6 daje 36. jak 62 = 36, z odpowiedzią 2. Spójrzmy na więcej przykładów:
1) Zaloguj 1000. Aby obliczyć ten logarytm, musimy znaleźć liczbę, która podniesiona do 10 jest równa 1000, czyli 10x = 1000.
Rozwiązując równanie wykładnicze, mamy:
10x=1000
10x = 103
x = 3
W związku z tym,
1.Oblicz logarytm:
Musimy znaleźć liczbę, która do pierwiastka z 7 jest równa jednej czterdzieści dziewiątej. Rozwiązując równanie, mamy:
Czytaj więcej: Równanie wykładnicze - równanie z nieznanym wykładnikiem
Warunek istnienia logarytmu
Rozważ następujący logarytm:
Wyrażenie jest zdefiniowane tylko wtedy, gdy podstawa jest większa od zera i różna od jedności oraz gdy podstawa jest większa od zera, czyli:
a > 0 i a 0
b > 0
Własność logarytmów
Zobacz najważniejsze poniżej. własności logarytmów. Wszystkie przytoczone tu logarytmy spełniają warunek istnienia.
własność 1
Logarytm iloczynu dwóch czynników jest równy sumie logarytmów tych czynników.
własność 2
Logarytm ilorazu dwóch liczb jest równy różnicy logarytmów tych liczb.
własność 3
Logarytm potęgi jest równy pomnożeniu wykładnika tej potęgi przez logarytm podstawy potęgi, przy czym zachowujemy podstawę logarytmu.
własność 4
Logarytm pierwiastka jest równy odwrotności indeksu pierwiastka pomnożonego przez logarytm, gdzie również trzymamy podstawę.
własność 5
Logarytm liczby w podstawie podniesionej do potęgi jest równy pomnożeniu odwrotności wykładnika tej podstawy.
Wiedzieć więcej: Zastosowaniaogarithms: zobacz przykłady
Ćwiczenia rozwiązane
Pytanie 1 - (Fuvest - SP) Jeśli x5 = 1000 i b3 = 100, więc logarytm x przy podstawie b wynosi:
A) 0,5
B) 0,9
C) 1,2
D) 1,5
E) 2,0
Rozwiązanie
Ponieważ liczby 1000 i 100 można zapisać w systemie o podstawie 10, mamy:
Podstawiając logarytm z x do podstawy b i stosując definicję, otrzymujemy:
pytanie 2 - (Enem) Potencjał hydrogeniczny (pH) roztworu definiuje się jako wskaźnik wskazujący jego kwasowość, neutralność lub zasadowość. Znajduje się w następujący sposób:
będąc H+ stężenie jonów wodorowych w tym roztworze. pH roztworu, gdzie H+ = 1,0 ·10-9, é:
Rozwiązanie:
Wymiana wartości H+ w formule pH mamy:
Autor: L.do Robson Luiz
Nauczyciel matematyki
