Permutacje są częścią problemów z liczeniem. Aby poznać liczbę rzędów elementów w zbiorze, używamy permutacji. Przećwicz swoją wiedzę na temat permutacji i rozwiej wątpliwości dzięki rozwiązanym ćwiczeniom.
Ćwiczenie 1
Dwóch przyjaciół grało sześciościennymi kostkami. Wiadomo, że wyszły cyfry 4, 1, 2 i 5, niekoniecznie w tej kolejności. Ile mogło być sekwencji wyników?
Odpowiedź: 24
Kolejność wyników może być następująca:
1, 2, 4 i 5 lub
5, 4, 5 i 1 lub
4, 5, 1 i 2
Aby określić całkowitą liczbę możliwych porządków, obliczamy permutację z czterema różnymi elementami.
Ćwiczenie 2
Grupa sześciu przyjaciół poszła obejrzeć film w kinie i kupiła bilety na ten sam rząd siedzeń. Biorąc pod uwagę, że jest para i siedzą na sąsiednich krzesłach, na ile sposobów ci przyjaciele mogą zmieścić się w rzędzie krzeseł?
Odpowiedź: 240
Ponieważ w obliczeniach uwzględniane są wszystkie elementy zbioru „przyjaciół”, jest to problem permutacji.
Aby obliczyć całkowitą możliwą liczbę permutacji, wzięliśmy pod uwagę 5 elementów, ponieważ para musi zawsze być razem.
Co więcej, z tych 120 możliwości musimy pomnożyć przez dwa, ponieważ para może zamienić się miejscami.
Zatem liczba możliwych sposobów zorganizowania się znajomych w rzędzie krzeseł wynosi:
120. 2 = 240
Ćwiczenie 3
Siedmioosobowa klasa bawi się na dziedzińcu, korzystając z przerwy. Po usłyszeniu sygnału informującego o powrocie do sal uczniowie ustawiają się w kolejkę. Na ile różnych sposobów uczniowie mogą utworzyć kolejkę?
Odpowiedź: 5040
Całkowita liczba możliwych sposobów organizacji kolejki jest permutacją 7 różnych elementów.
Ćwiczenie 4
Fotograf dostosowuje aparat, aby sfotografować pięcioro dzieci ustawionych na ławce. W tej grupie są 3 dziewczynki i 2 chłopców. Możliwy układ dzieci do zdjęcia byłby następujący:
Biorąc pod uwagę pozycje, w jakich dzieci mogą siedzieć na ławce, na ile sposobów fotograf może zorganizować chłopców i dziewczynki, uzyskując różne zdjęcia?
Odpowiedź: 10
Jest to przypadek permutacji z powtarzającymi się elementami. Musimy podzielić całkowitą liczbę permutacji przez iloczyn pomiędzy permutacjami powtarzających się elementów.
Ćwiczenie 5
Ile anagramów można utworzyć z liter słowa PREFEITURA?
Odpowiedź: 907 200
Słowo CITY HALL składa się z 10 liter, z których część się powtarza. Litera E pojawia się dwukrotnie, podobnie jak litera R.
Obliczamy podział permutacji 10 elementów i dzielimy przez iloczyn permutacji powtarzających się elementów.
Ćwiczenie 6
(UEMG 2019) Ze zbioru wszystkich permutacji liter w słowie PONTA, usuwana jest losowo jedna. Jakie jest prawdopodobieństwo usunięcia słowa rozpoczynającego się i kończącego samogłoską?
a) 1/20
b) 1/10
c) 1/6
d) 1/5
Krok 1: liczba wszystkich permutacji z literami słowa PONTA.
Ponieważ istnieje pięć różnych liter, mamy:
Krok 2: liczba permutacji rozpoczynających się i kończących samogłoską.
Dla pierwszej litery dostępne są dwie opcje samogłoski, dla ostatniej litery będzie tylko 1.
Dla spółgłosek są 3! możliwości.
2.3!.1 = 2.3.2.1.1 = 12
Krok 3: określ współczynnik prawdopodobieństwa.
Ćwiczenie 7
(EsPCex 2012) Prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 2 przy losowym wyborze jednej z permutacji cyfr 1, 2, 3, 4, 5 wynosi
a) 1/5
b) 2/5
c) 3/4
d) 1/4
e) 1/2
Krok 1: całkowite permutacje.
Ponieważ istnieje pięć różnych elementów, liczba permutacji 5 elementów jest równa 5 silni.
Krok 2: permutacje liczb podzielnych przez dwa z pięcioma cyframi.
Warunkiem podzielności przez 2 jest to, że jest ona parzysta. Zatem istnieją dwie opcje dla ostatniej cyfry, 2 i 4.
Na pozostałych pozycjach są 4! możliwości.
Krok 3: obliczenie prawdopodobieństwa.
Ćwiczenie 8
(EsFCEx 2022) Niech P będzie zbiorem permutacji ciągu 1, 3, 6, 9, 12, dla którego pierwszy wyraz jest różny od 1. Jeśli losowo wylosujemy jeden z tych ciągów, prawdopodobieństwo, że drugi wyraz będzie równy 3, będzie równe p/q, gdzie p, q ∈ IN* i gcd (p, q) = 1. Dlatego q – p jest równe
a) 13.
b) 15.
c) 12.
d) 14.
e) 11.
Krok 1: określa liczbę wszystkich możliwych przypadków w przestrzeni próbki.
Od prawej do lewej pierwsza liczba nie może być jedynką, więc istnieją 4 możliwości zajęcia pierwszej pozycji.
Na pozostałych stanowiskach jest 4! możliwości.
Permutacje to:
1.4! = 4.4.3.2.1 = 96
Krok 2: określić możliwości wystąpienia zdarzenia, przy czym drugie to trzy, a pierwsze różni się od jednego.
Permutacje to:
3.1.3.2.1 = 18
Krok 3: współczynnik prawdopodobieństwa.
Stosunek prawdopodobieństwa wynosi:
Przy p = 18 i q = 96.
Jednak nadal istnieje warunek, że największym wspólnym dzielnikiem między p i q jest 1, co nie występuje w przypadku 18 i 96.
Musimy uprościć i przetestować ułamki równoważne 18/96.
Krok 4: uproszczenie ułamka prawdopodobieństwa i wyznaczenie p i q.
Ponieważ gcd (3, 16) = 1, p = 3 i q = 16.
Krok 5: wniosek.
q - p = 16 - 3 = 13
Dowiedz się więcej o permutacja.
Więcej ćwiczeń znajdziesz na:
Ćwiczenia z analizy kombinatorycznej
ASTH, Rafael. Rozwiązano i wyjaśniono ćwiczenia permutacyjne.Wszystko się liczy, [nd]. Dostępne w: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-permutacao/. Dostęp pod adresem:
Zobacz też
- Analiza kombinatoryczna
- Ćwiczenia z analizy kombinatorycznej
- Permutacja: prosta i z powtórzeniami
- Układ w matematyce: co to jest, jak liczyć, przykłady
- 27 ćwiczeń z matematyki podstawowej
- Kombinacja w matematyce: jak liczyć i przykłady
- Ćwiczenia z prawdopodobieństwa
- Prawdopodobieństwo
