Barycentrum trójkąta: co to jest i jak obliczyć

O barycentrumjest jednym z godnych uwagi punktów trójkąt, co z kolei jest jednym z najprostszych znanych wielokątów. Ta figura geometryczna jest szeroko badana, a jednym z punktów, które zasługują na uwagę, jest koncepcja barycentrum.

Znamy się jako barycentrum środek ciężkości trójkąta. Aby go znaleźć, należy określić jego trzy mediany, a także punkt spotkania między nimi. Gdy trójkąt jest reprezentowany w kartezjański samolot, aby znaleźć barycentrum, wystarczy obliczyć średnią arytmetyczną między wartościami x i y, aby znaleźć uporządkowaną parę barycenter.

Przeczytaj też: Jak klasyfikowane są trójkąty?

Co to jest barycentrum?

Barycentrum jest godnym uwagi punktem trójkąta.

Trójkąt ma ważne punkty, znane jako godne uwagi punkty, a barycentrum jest jednym z nich, wraz z circumcenterem, incenter i ortocentrum. Barycentrum to trójkątny środek ciężkości i jest reprezentowany przez literę G. On jest położony na zbiegu środkowych trójkąta.

Mediana trójkąta to odcinek, który zaczyna się od wierzchołka i przechodzi do środka strony przeciwnej do tego wierzchołka. W dowolnym trójkącie można narysować trzy mediany, z których każda zaczyna się od jednego z wierzchołków.

Mediany trójkąta

Kiedy narysujemy trzy mediany jednocześnie, trzy spotykają się w jednym punkcie. Ten punkt, reprezentowany przez G, jest barycentrum.

Barycentrum (G) jest miejscem spotkania trzech środkowych trójkąta.

Właściwości Barycenter

• Właściwość 1: barycentrum jest zawsze wewnętrznym punktem trójkąta.

Ponieważ mediana jest zawsze wewnętrznym odcinkiem trójkąta, tak samo jest z barycentrum, niezależnie od jego kształtu.

• Właściwość 2: barycenter dzieli medianę na dwie części, których stosunek wynosi 1:2.

Analizując przedstawiony powyżej trójkąt, mamy, że:

Jak obliczane jest barycentrum?

Gdy jest reprezentowany na płaszczyźnie kartezjańskiej, można znaleźć współrzędne barycentrum trójkąta. W tym celu Oblicz Średnia arytmetyczna wartości x, a także wartości y.

Reprezentacja trójkąta na płaszczyźnie kartezjańskiej

Zauważ, że wierzchołki to A(x_TENtak_TEN), B(x_btak_b) i C (x_DOtak_DO), a następnie znaleźć współrzędne barycentrum G (x_soltak_sol), posługujemy się wzorem:

Zobacz też: Trygonometria w dowolnym trójkącie

rozwiązane ćwiczenia

Pytanie 1 - Możemy powiedzieć, że baryśrodek trójkąta, którego wierzchołkami są punkty A(2,1), B(-3,5) i C(4,3) jest punktem:

A) G (1.3).

B) G (3.1).

C) G (3.3).

D) G(-2,-1).

E) G (-1,3).

Rozkład

Alternatywa A. Aby znaleźć współrzędne barycentrum trójkąta, obliczmy średnią arytmetyczną między wartościami x w punktach A, B i C oraz między wartościami y w tych samych punktach.

Barycentrum jest więc punktem G (1,3).

Pytanie 2 - W jednym mieście zostaną zainstalowane trzy wieże telefoniczne, aby rozwiązać problem z awarią sieci i sygnału dla telefonów komórkowych. Okazuje się, że położenie tych wież zostało zaplanowane tak, aby środek miasta pokrywał się z barycentrum trójkąta z wierzchołkami w punktach A, B i C, które są lokalizacjami wież. Aby wybrać położenie wież, jako początek osi zdefiniowano ratusz, a centrum miasta znajduje się w punkcie (1,-1). Upewnili się, że położenie punktów A i B to A(12,-6), B(-4,-10). Więc jaka powinna być lokalizacja punktu C?

A) (3.8)
B) (8,-13)
C) (3.8)
D) (-5, 13)
E) (-5, 8)

Rozkład

Alternatywa D. Wiemy, że G to położenie w centrum miasta, czyli punkt współrzędnych (1,-1).

Niech (x, y) będą współrzędnymi punktu C, wtedy:

Również znalezienie wartości y:

W ten sposób dochodzimy do C (-5, 13).

Raul Rodrigues de Oliveira
Nauczyciel matematyki

Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/baricentro-um-triangulo.htm