Rozwiązane ćwiczenia układów liniowych

Ćwicz swoją wiedzę o układach liniowych, ważnym temacie matematycznym, który obejmuje badanie równoczesnych równań. Dzięki wielu praktycznym zastosowaniom służą do rozwiązywania problemów z różnymi zmiennymi.

Wszystkie pytania są rozwiązywane krok po kroku, gdzie użyjemy różnych metod, takich jak: podstawienie, dodawanie, eliminacja, skalowanie i reguła Cramera.

Pytanie 1 (metoda substytucyjna)

Określ uporządkowaną parę, która rozwiązuje następujący układ równań liniowych.

otwarte nawiasy klamrowe atrybuty tabeli wyrównanie kolumn atrybuty lewego końca wiersz z komórką z 3 prostymi x minus 2 prosta y równa się 1 koniec komórki wiersz z komórką z 6 prostymi x minus 4 proste y równa się 7 koniec komórki koniec tabeli zamknąć

Zobacz odpowiedź

Odpowiedź: otwarte nawiasy 3 nad 4 przecinek spacja 5 nad 8 nawiasami zamkniętymi

Wyodrębnianie x w pierwszym równaniu:

3 prosta x minus 2 prosta y równa się 1 3 prosta x równa się 1 dodać 2 prosta y prosta x równa się licznik 1 plus 2 prosta y nad mianownikiem 3 koniec ułamka

Podstawiając x do drugiego równania:

6 otwarte nawiasy licznik 1 plus 2 proste y nad mianownikiem 3 koniec ułamka zamknięte nawiasy plus 4 proste y równa się 7 licznik 6 plus 12 proste y nad mianownik 3 koniec ułamka plus 4 prosta y równa się 7 licznik 6 plus 12 prosta y nad mianownikiem 3 koniec ułamka plus licznik 3.4 prosta y nad mianownikiem 3 koniec ułamka równego 7 licznik 6 plus 12 proste y plus 12 proste y nad mianownikiem 3 koniec ułamka równe 7 licznik 6 plus 24 proste y nad mianownikiem 3 koniec ułamka równa się 7 6 dodać 24 proste y równa się 7,3 6 dodać 24 proste y równa się 21 24 proste y równa się 21 minus 6 24 proste y równa się 15 proste y równa się 15 przez 24 równa się do 5 powyżej 8

Podstawiając wartość y do pierwszego równania.

3 x minus 2 y równa się 1 3 x minus 2 5 przez 8 równa się 1 3 x minus 10 przez 8 równa się 1 3 x równa się 1 plus 10 przez 8 3 x równa się 8 przez 8 plus 10 przez 8 3 x równa się 18 przez 8 x równa się licznik 18 przez mianownik 8.3 koniec ułamka x równa się 18 przez 24 równa się 3 przez 4

Tak więc uporządkowaną parą rozwiązującą układ jest:
otwarte nawiasy 3 nad 4 przecinek spacja 5 nad 8 nawiasami zamkniętymi

Pytanie 2 (metoda skalowania)

Rozwiązaniem następującego układu równań liniowych jest:

otwórz nawiasy klamrowe tabela atrybuty wyrównanie kolumn lewy koniec wiersza atrybutów z komórką z prostą x minus prosta y plus prosta z równa się 6 koniec komórki wiersz z komórką ze spacją spacja 2 prosta y plus 3 prosta z równa się 8 koniec wiersza komórki z komórką ze spacją spacja spacja spacja spacja spacja spacja spacja spacja spacja 4 prosta z równa się 8 koniec komórki koniec tabeli zamknąć

Zobacz odpowiedź

Odpowiedź: x = 5, y = 1, z = 2

System jest już w formie echelon. Trzecie równanie ma dwa współczynniki zerowe (y = 0 i x = 0), drugie równanie ma współczynnik zerowy (x = 0), a trzecie równanie nie ma współczynników zerowych.

W układzie schodkowym rozwiązujemy „od dołu do góry”, czyli zaczynamy od trzeciego równania.

instagram story viewer

4 z równa się 8 z równa się 8 przez 4 równa się 2

Przechodząc do górnego równania, podstawiamy z = 2.

2 proste y plus 3 proste z równa się 8 2 proste y plus 3,2 równa się 8 2 proste y plus 6 równa się 8 2 proste y równa się 8 minus 6 2 proste y równa się 2 proste y równa się 2 przez 2 równa się 1

Na koniec podstawiamy z = 2 i y = 1 w pierwszym równaniu, aby otrzymać x.

prosta x minus prosta y plus prosta z równa się 6 prosta x minus 1 plus 2 równa się 6 prosta x plus 1 równa się 6 prosta x równa się 6 minus 1 prosta x równa się 5

Rozwiązanie

x = 5, y = 1, z = 2

Pytanie 3 (reguła lub metoda Cramera)

Rozwiąż następujący układ równań liniowych:

otwarte nawiasy klamrowe atrybuty tabeli wyrównanie kolumn atrybuty lewego końca wiersz z komórką z prostą x minus prostą y równa się 4 wąska przestrzeń koniec wiersza komórki z komórką z 2 prostymi x najprostsze y równa się 8 koniec komórki koniec tabeli zamknąć

Zobacz odpowiedź

Odpowiedź: x = 4, y = 0.

Korzystając z reguły Cramera.

Krok 1: wyznacz wyznaczniki D, Dx i Dy.

Macierz współczynników to:

otwarte nawiasy wiersz tabeli z 1 komórką minus 1 koniec wiersza komórki z 2 1 koniec tabeli zamknięte nawiasy

Jego wyznacznik:
D = 1. 1 - 2. (-1)
re = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3

Aby obliczyć Dx, zamieniamy kolumnę wyrazów x na kolumnę wyrazów niezależnych.

otwarte nawiasy wiersz tabeli z 4 komórkami minus 1 koniec wiersza komórki z 8 1 koniec tabeli zamknięte nawiasy

dx = 4. 1 - 8. (-1)
Dx = 4 + 8 = 12

W celu obliczenia Dy zastępujemy warunki y niezależnymi warunkami.

otwarte nawiasy wiersz tabeli z 1 4 wiersz z 2 8 koniec tabeli zamknięte nawiasy

Dy = 1. 8 - 2. 4
Dy = 8 - 8
Dy = 0

krok 2: wyznacz x i y.

Aby wyznaczyć x robimy:

prosty x równa się Dx przez prosty D równa się 12 przez 3 równa się 4

Aby określić y, robimy:

prosta y równa się Dy nad prostą D równa się 0 przez 3 równa się 0

pytanie 4

Sprzedawca t-shirtów i czapek na imprezie sportowej sprzedał 3 koszulki i 2 czapki, zbierając łącznie 220,00 R$. Następnego dnia sprzedał 2 koszule i 3 czapki, zbierając 190,00 R$. Jaka byłaby cena koszulki, a jaka byłaby cena czapki?

a) T-shirt: 60,00 BRL | Czapka: 40,00 BRL

b) T-shirt: 40,00 BRL | Czapka: 60,00 BRL

c) T-shirt: 56,00 BRL | Czapka: 26,00 BRL

d) T-shirt: 50,00 BRL | Czapka: 70,00 BRL

e) Koszulka: 80,00 BRL | Czapka: 30,00 BRL

Odpowiedź wyjaśniona

Oznaczmy cenę koszulek c i cenę czapek b.

Na pierwszy dzień mamy:

3c + 2b = 220

Na drugi dzień mamy:

2c + 3b = 190

Tworzymy dwa równania z dwiema niewiadomymi, c i b. Mamy więc układ równań liniowych 2x2.

otwarte nawiasy klamrowe atrybuty tabeli wyrównanie kolumn atrybuty lewego końca wiersz z komórką z 3 prostymi c plus 2 prosta b równa 220 koniec komórki wiersz z komórką z 2 prostymi c plus 3 proste b równe 190 koniec komórki koniec tabeli zamknąć

Rezolucja

Korzystając z reguły Cramera:

Krok 1: wyznacznik macierzy współczynników.

proste D spacja otwarte nawiasy wiersz tabeli z 3 2 wiersz z 2 3 koniec tabeli zamknięte nawiasy równa się 3,3 minus 2,2 równa się 9 minus 4 równa się 5

2. krok: wyznacznik Dc.

Zastępujemy kolumnę c macierzą wyrazów niezależnych.

Dc spacja otwiera tabelę nawiasy wiersz z 220 2 wiersz z 190 3 koniec tabeli zamknij nawiasy równe 220,3 minus 2190 równa się 660 minus 380 równa się 280

3. krok: wyznacznik Db.

Db nawiasy otwarte wiersz tabeli z 3 220 wierszami z 2 190 końcami tabeli nawiasy zamykające równe 3 spacji. spacja 190 spacja minus spacja 2 spacja. spacja 220 spacja równa się spacja 570 odjąć 440 równa się 130

4. krok: określ wartość c i b.

prosta c równa się Dc przez prostą D równa się 280 przez 5 równa się 56 prosta b równa się Db przez prostą D równa się 130 przez 5 równa się 26

Odpowiedź:

Cena T-shirtu wynosi 56,00 R$, a czapki 26,00 R$.

pytanie 5

Kino kosztuje 10,00 R $ za bilet dla dorosłych i 6,00 R $ za bilet dla dzieci. W ciągu jednego dnia sprzedano 80 biletów, a łączna kwota wyniosła 700,00 BRL. Ile sprzedano biletów każdego rodzaju?

a) Dorośli: 75 | Dzieci: 25

b) Dorośli: 40 | Dzieci: 40

c) Dorośli: 65 | Dzieci: 25

d) Dorośli: 30 | Dzieci: 50

e) Dorośli: 25 | Dzieci: 75

Odpowiedź wyjaśniona

Nazwiemy go jako The cena biletu dla dorosłych i w dla dzieci.

W stosunku do ogólnej liczby biletów mamy:

a + c = 80

Odnośnie otrzymanej wartości mamy:

10a + 6c = 700

Tworzymy układ równań liniowych z dwoma równaniami i dwiema niewiadomymi, czyli układ 2x2.

otwarte nawiasy klamrowe atrybuty tabeli wyrównanie kolumn atrybuty lewego końca wiersz z komórką od najprostszej do najprostszej c równa się 80 koniec wiersza komórki z komórką z 10 prostymi plus 6 prostymi c równa się 700 koniec komórki koniec tabeli zamknąć

Rezolucja

Zastosujemy metodę podstawienia.

Wyodrębnianie a w pierwszym równaniu:

a = 80 - doc

Podstawiając a do drugiego równania:

10.(80 - c) + 6c = 700

800 -10c + 6c = 700

800 - 700 = 10c - 6c

100 = 4c

c = 100/4

do = 25

Podstawiając c w drugim równaniu:

6a + 10c = 700

6a+10. 25 = 700

6 lat + 250 = 700

6a = 700 - 250

6a = 450

a = 450/6

a = 75

pytanie 6

Sklep sprzedaje T-shirty, szorty i buty. Pierwszego dnia sprzedano 2 koszulki, 3 szorty i 4 pary butów za łączną kwotę 350,00 BRL. Drugiego dnia sprzedano 3 koszulki, 2 szorty i 1 parę butów za łączną kwotę 200,00 BRL. Trzeciego dnia sprzedano 1 koszulkę, 4 szorty i 2 pary butów za łączną kwotę 320,00 BRL. Ile kosztowałby T-shirt, szorty i para butów?

a) T-shirt: 56,00 BRL | Bermudy: 24,00 BRL | Buty: 74,00 BRL

b) T-shirt: 40,00 BRL | Bermudy: 50,00 BRL | Buty: 70,00 BRL

c) Koszulka: 16,00 BRL | Bermudy: 58,00 BRL | Buty: 36,00 BRL

d) koszulka: 80,00 BRL | Bermudy: 50,00 BRL | Buty: 40,00 BRL

e) Koszulka: 12,00 BRL | Bermudy: 26,00 BRL | Buty: 56,00 BRL

Odpowiedź wyjaśniona

c to cena koszul;
b to cena szortów;
s to cena butów.

Na pierwszy dzień:

2c + 3b + 4s = 350

Na drugi dzień:

3c + 2b + s = 200

Na trzeci dzień:

c + 4b + 2s = 320

Mamy trzy równania i trzy niewiadome, tworzące układ równań liniowych 3x3.

otwarte nawiasy klamrowe atrybuty tabeli wyrównanie kolumn atrybuty lewego końca wiersz z komórką com 2 proste c plus 3 proste b plus 4 proste s równa się 350 koniec komórki wiersz z komórka z 3 prostymi c plus 2 proste b plus proste s równa się 200 koniec komórki wiersz z komórką z prostą c plus 4 proste b plus 2 proste s równa się 320 koniec komórki koniec tabeli zamknąć

Korzystając z reguły Cramera.

Macierz współczynników to

nawiasy otwarte wiersz tabeli z 2 3 4 wiersz z 3 2 1 wiersz z 1 4 2 koniec tabeli nawiasy zamknięte

Jej wyznacznik to D = 25.

Kolumnowa macierz odpowiedzi to:

otwarte nawiasy wiersz tabeli z 350 wiersz z 200 wiersz z 320 koniec tabeli zamknięte nawiasy

Aby obliczyć Dc, zastępujemy kolumnową macierz odpowiedzi pierwszą kolumną w macierzy współczynników.

nawiasy otwarte wiersz tabeli z 350 3 4 wiersz z 200 2 1 wiersz z 320 4 2 koniec tabeli nawiasy zamknięte

dc = 400

Do obliczenia Db:

nawiasy otwarte wiersz tabeli z 2 350 4 wiersze z 3 200 1 wiersz z 1 320 2 koniec tabeli nawiasy zamknięte

DB = 1450

Do obliczenia Ds:

nawiasy otwarte wiersz tabeli z 2 3 350 wiersz z 3 2 200 wiersz z 1 4 320 koniec tabeli nawiasy zamknięte

DS = 900

Aby wyznaczyć c, b i s, dzielimy wyznaczniki Dc, Db i Ds przez wyznacznik główny D.

prosta c równa się Dc przez prostą D równa się 400 przez 25 równa się 16 prosta b równa się Db przez prostą D równa się 1450 przez 25 równa się 58 prosta s równa się Ds przez prostą D równa się 900 przez 25 równa się 36

pytanie 7

Restauracja oferuje trzy opcje dań: mięso, sałatkę i pizzę. Pierwszego dnia sprzedano 40 dań mięsnych, 30 dań sałatkowych i 10 pizz, o łącznej wartości sprzedaży 700,00 BRL. Drugiego dnia sprzedano 20 dań mięsnych, 40 dań sałatkowych i 30 pizz o łącznej wartości sprzedaży 600,00 BRL. Trzeciego dnia sprzedano 10 dań mięsnych, 20 dań sałatkowych i 40 pizz, o łącznej wartości sprzedaży 500,00 BRL. Ile kosztowałoby każde danie?

a) mięso: 200,00 BRL | sałatka: 15,00 BRL | pizza: 10 BRL

b) mięso: 150,00 BRL | sałatka: 10,00 BRL | pizza: 60,00 BRL

c) mięso: 100,00 BRL | sałatka: 15,00 BRL | pizza: 70,00 BRL

d) mięso: 200,00 BRL | sałatka: 10,00 BRL | pizza: 15 BRL

e) mięso: 140,00 BRL | sałatka: 20,00 BRL | pizza: 80,00 BRL

Odpowiedź wyjaśniona

Za pomocą:

c dla mięsa;
s na sałatkę;
p na pizzę.

Pierwszego dnia:

40 prostych c plus 30 prostych s plus 10 prostych p równa się 7000

W drugim dniu:

20 prostych c plus 40 prostych s plus 30 prostych p równa się 6000

Trzeciego dnia:

10 prostych c plus 20 prostych s plus 40 prostych p równa się 5000

Cenę każdego dania można uzyskać rozwiązując układ:

otwarte nawiasy klamrowe tabela atrybuty wyrównanie kolumn lewy koniec wiersza atrybutów z komórką z 40 prostymi c spacja plus spacja 30 prostych s spacja plus spacja 10 prostych p równa się 7000 koniec linii komórkowej z komórką z 20 prostymi c spacja plus spacja 40 prostych s spacja plus spacja 30 prostych p równa się 6000 koniec wiersza komórki z komórką o 10 prostych c spacja plus spacja 20 prostych s spacja plus spacja 40 prostych p równa się 5000 koniec komórki koniec tabeli zamknąć

Rezolucja

Stosując metodę eliminacji.

Pomnóż 20c + 40s + 30p = 6000 przez 2.

otwarte nawiasy kwadratowe wiersz tabeli z komórką z 40 prostymi c plus 30 prostymi s plus 10 prostymi p równa się 7000 koniec komórki wiersz z komórką z 40 prostymi c plus 80 prostymi s plus 60 prostych p równa się 12000 koniec komórki wiersz z komórką z 10 prostymi c plus 20 prostych s plus 40 prostych p równa się 5000 koniec komórki koniec tabeli nawiasy kwadratowe

Odejmij otrzymane drugie równanie macierzowe od pierwszego.

50 prostych s plus 50 prostych p równa się 5000

W powyższej macierzy zastępujemy to równanie drugim.

Mnożymy trzecie równanie powyżej przez 4.

Odejmując trzecią od pierwszego równania, otrzymujemy:

50 prostych s plus 150 prostych p równa się 13000

Podstawiając równanie otrzymane trzecim.

Odejmując równania numer dwa i trzy, mamy:

otwarte nawiasy kwadratowe wiersz tabeli z komórką zawierającą 40 c plus 30 s plus 10 p równa się 7000 koniec komórki wiersz z komórką zawierającą 50 s plus 50p równa się 5000 koniec komórki wiersz z komórką z 100p równa się 8000 koniec komórki koniec tabeli nawiasy kwadratowe

Z trzeciego równania otrzymujemy p = 80.

Podstawiając p w drugim równaniu:

50s + 50,80 = 5000

50s + 4000 = 5000

50s = 1000

s = 1000/50 = 20

Podstawiając wartości s i p w pierwszym równaniu:

40c + 30,20 + 10,80 = 7000

40c + 600 + 800 = 7000

40c = 7000 - 600 - 800

40c = 5600

c = 5600 / 40 = 140

Rozwiązanie

p=80, s=20 i c=140

pytanie 8

(UEMG) W planie system otwarte nawiasy klamrowe atrybuty tabeli wyrównanie kolumn atrybuty lewego końca wiersz z komórką z 2 prostymi x plus 3 proste y równa się minus 2 koniec komórki wiersz z komórką z 4 prostymi x minus 6 prosty y równa się 12 koniec komórki koniec tabeli zamknąć reprezentuje parę linii

a) zbieg okoliczności.

b) odrębne i równoległe.

c) linie równoległe w punkcie ( 1, -4/3 )

d) linie równoległe w punkcie ( 5/3, -16/9 )

Odpowiedź wyjaśniona

Mnożenie pierwszego równania przez dwa i dodawanie dwóch równań:

otwórz nawiasy klamrowe atrybuty tabeli wyrównanie kolumn atrybuty lewego końca wiersz z komórką z prostą Dwukropek 4 prosta x plus 6 prosta y równa się minus 4 koniec komórki wiersz z komórką z prostą B dwa punkty 4 prosta x minus 6 prosta y równa się 12 koniec komórki koniec tabeli zamknij odstęp A spacja plus prosta spacja B równa się 8 prosta x równa się 8 prosta x równa się 8 przez 8 równa się 1

Podstawiając x w równaniu A:

4.1 spacja plus spacja 6 y spacja równa się spacja minus 4 spacja spacja6 y spacja równa się spacja minus 4 spacja minus spacja 46 y równa się minus 8y równa się licznik minus 8 nad mianownikiem 6 koniec ułamka równego minus 4 około 3

pytanie 9

(PUC-MINAS) Pewne laboratorium wysłało 108 zamówień do aptek A, B i C. Wiadomo, że liczba zamówień wysłanych do apteki B była dwukrotnie większa niż łączna liczba zamówień wysłanych do dwóch pozostałych aptek. Ponadto trzy zamówienia przekraczające połowę kwoty wysłanej do apteki A zostały wysłane do apteki C.

Na podstawie tych informacji PRAWIDŁOWO można stwierdzić, że łączna liczba zamówień wysłanych do aptek B i C wyniosła

a) 36

b) 54

c) 86

d) 94

Odpowiedź wyjaśniona

Zgodnie z oświadczeniem mamy:

A + B + C = 108.

Ponadto, że ilość B była dwukrotnie większa niż A + C.

B = 2 (A + C)

Trzy zamówienia zostały wysłane do apteki C, ponad połowa ilości została wysłana do apteki A.

C = A/2 + 3

Mamy równania i trzy niewiadome.

otwórz nawiasy klamrowe tabela atrybuty wyrównanie kolumn lewy koniec atrybutów wiersz z komórką z prostą A najprostszą B najprostszą C równa się 108 koniec komórki wiersz z komórką z prosta B równa się 2 lewy nawias prosta A plus prosta C prawy nawias koniec komórki wiersz z komórką z prostą C równa się prosta A przez 2 plus 3 koniec komórki koniec tabeli zamknąć

Za pomocą metody podstawienia.

Krok 1: zamień trzeci na drugi.

prosta B równa się 2 prosta A spacja plus spacja 2 prosta Creto B równa się 2 prosta A spacja plus spacja 2 otwiera nawiasy kwadratowe A nad 2 plus 3 nawias zamykający B równa się 2 proste A spacja plus spacja A spacja plus spacja 6 kwadrat B równa się 3 kwadrat A spacja plus spacja 6

Krok 2: Zastąp otrzymany wynik i trzecie równanie pierwszym.

prosta A plus prosta B plus prosta C równa się 108 prosta A plus spacja 3 prosta A plus 6 spacja plus prosta spacja A przez 2 plus 3 spacja równa się spacja 1084 prosta A spacja plus prosta spacja A przez 2 równa się 108 spacja minus spacja 9 licznik 9 prosta A nad mianownikiem 2 koniec ułamka równa się 999 prosta A spacja równa się spacja 99 przestrzeń. spacja 29 prosto Spacja równa się spacja 198prosto Spacja równa się spacja 198 nad 9prosto Spacja równa się spacja 22

Krok 3: Zastąp wartość A, aby określić wartości B i C.

B = 3 A + 6 = 3,22 + 6 = 72

dla C:

linia C równa się 22 przez 2 plus 3 linia C równa się 11 plus 3 równa się 14

Krok 4: dodaj wartości B i C.

72 + 14 = 86

pytanie 10

(UFRGS 2019) Tak, że układ równań liniowych otwarte nawiasy klamrowe atrybuty tabeli wyrównanie kolumn atrybuty lewego końca wiersz z komórką z prostym x plus prosta y równa się 7 koniec komórki wiersz z komórką z toporem plus 2 proste y równa się 9 koniec komórki koniec tabeli zamknąć możliwe i określone, jest to konieczne i wystarczające

a) za ∈ R.

b) za = 2.

c) za = 1.

d) a ≠ 1.

c) a ≠ 2.

Odpowiedź wyjaśniona

Jednym ze sposobów klasyfikacji systemu jako możliwego i zdeterminowanego jest metoda Cramera.

Warunkiem jest, aby wyznaczniki były różne od zera.

Doprowadzenie wyznacznika D macierzy głównej do zera:

nawiasy otwarte wiersz tabeli z 1 1 wiersz z końcem tabeli 2 nawiasy zamknięte nie są równe 01 spacji. spacja 2 spacja minus spacja po spacji. spacja 1 różna od 02 spacja mniejsza niż różna od 02 różna od

Aby dowiedzieć się więcej o systemach liniowych:

Systemy liniowe: czym są, rodzaje i jak je rozwiązywać
Układy równań
Skalowanie systemów liniowych
Reguła Cramera

Więcej ćwiczeń:

Układy równań I stopnia

ASTH, Rafał. Ćwiczenia na rozwiązanych układach liniowych.Wszystko się liczy, [nd]. Dostępne w: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-sistemas-lineares-resolvidos/. Dostęp pod adresem:

Zobacz też