Ucz się z 11 ćwiczeniami z mnożenia macierzy, wszystkie z rozdzielczością krok po kroku, abyś mógł rozwiać wątpliwości i dobrze sobie radzić na egzaminach i egzaminach wstępnych.
Pytanie 1
Biorąc pod uwagę poniższe macierze, zaznacz opcję, która wskazuje tylko możliwe produkty.
a) CA, BA, AD
b) DB, DC, AD
c) AC, D.A, CD.
d) BA, AB, DC
e) AD, DC, CA
Prawidłowa odpowiedź: c) AC, DA, CD
A.C jest możliwe, ponieważ liczba kolumn w A (1) jest równa liczbie wierszy w C (1).
D.A jest możliwe, ponieważ liczba kolumn w D (2) jest równa liczbie wierszy w A (2).
C.D jest możliwe, ponieważ liczba kolumn w C (3) jest równa liczbie wierszy w D (3).
pytanie 2
Utwórz produkt macierzy A. B.
Najpierw musimy sprawdzić, czy jest możliwe wykonanie mnożenia.
Ponieważ A jest macierzą 2x3, a B macierzą 3x2, możliwe jest pomnożenie, ponieważ liczba kolumn w A jest równa liczbie wierszy w B.
Sprawdziliśmy wymiary macierzy wynikające z mnożenia.
Wywołanie macierzy wyników produktu A. B macierzy C, będzie ona miała dwa wiersze i dwie kolumny. Pamiętaj, że macierz wynikowa produktu „dziedziczy” liczbę wierszy z pierwszego i liczbę kolumn z drugiego.
Dlatego macierz C będzie typu 2x2. Budując macierz generyczną C, mamy:
C =
Aby obliczyć c11, mnożymy pierwsza linia A dla pierwsza kolumna B, dodając pomnożone wyrazy.
c11 = 3,1 + (-2),0 + 1,4 = 3 + 0 + 4 = 7
Aby obliczyć c12, mnożymy pierwsza linia A dla druga kolumna B, dodając pomnożone wyrazy.
c12 = 3,3 + (-2).(-5) + 1,1 = 9 + 10 + 1 = 20
Aby obliczyć c21, mnożymy druga linia A dla pierwsza kolumna B, dodając pomnożone wyrazy.
c21 = 1,1 + 5,0 + (-1,4) = 1 + 0 + (-4) = -3
Aby obliczyć c22, mnożymy druga linia A dla druga kolumna B, dodając pomnożone wyrazy.
c22 = 1,3 + 5.(-5) + (-1) = 3 + (-25) + (-1) = -23
Zapisywanie macierzy C wraz z jej terminami.
C =
pytanie 3
Rozwiąż równanie macierzowe i wyznacz wartości x i y.
Sprawdziliśmy, że możliwe jest pomnożenie macierzy przed równością, ponieważ są one typu 2x2 i 2x1, czyli liczba kolumn w pierwszej jest równa liczbie wierszy w drugiej. Wynikiem jest macierz 2x1 po prawej stronie równości.
Mnożymy wiersz 1 pierwszej macierzy przez kolumnę 1 drugiej macierzy i równa się 3.
-1.x + 2.y = 3
-x + 2y = 3 (równanie I)
Mnożymy wiersz 2 pierwszej macierzy przez kolumnę 1 drugiej macierzy i równa się -4.
4.x + (-3).y = -4
4x - 3y = -4 (równanie II)
Mamy dwa równania i dwie niewiadome i możemy rozwiązać układ do wyznaczenia x i y.
Mnożąc obie strony równania I przez 4 i dodając I + II otrzymujemy:
Podstawiając y do równania I i rozwiązując x, otrzymujemy:
Więc mamy
pytanie 4
Mając następujący układ liniowy, skojarz równanie macierzowe.
Istnieją trzy równania i trzy niewiadome.
Aby powiązać równanie macierzowe z systemem, musimy napisać trzy macierze: współczynniki, niewiadome i wyrazy niezależne.
Macierz współczynników
Nieznana macierz
Macierz niezależnych terminów
równanie macierzowe
Macierz współczynników. macierz niewiadomych = macierz wyrazów niezależnych
pytanie 5
(UDESC 2019)
Biorąc pod uwagę macierze 
i wiedząc, że A. B = C, więc wartość x + y jest równa:
a) 1/10
b) 33
c) 47
d) 1/20
e) 11
Prawidłowa odpowiedź: c) 47
Aby określić wartości x i y, rozwiązujemy równanie macierzowe, uzyskując układ. Rozwiązując układ otrzymujemy wartości x i y.
Mnożenie macierzy:
Izolowanie x w równaniu I
Podstawiając x w równaniu II
dopasowanie mianownika
Aby określić x, podstawiamy y do równania II
Zatem,
x + y = 19 + 18
x + y = 47
pytanie 6
(FGV 2016) Biorąc pod uwagę macierz 
i wiedząc, że macierz 
jest macierzą odwrotną macierzy A, możemy wywnioskować, że macierz X, spełniająca równanie macierzowe AX = B, ma jako sumę elementów liczbę
a) 14
b) 13
c) 15
d) 12
e) 16
Prawidłowa odpowiedź: b) 13
Każda macierz pomnożona przez jej odwrotność jest równa macierzy jednostkowej In.
Mnożenie obu stron równania AX = B przez .
Tworzenie produktu po prawej stronie równania.
W jaki sposób macierz tożsamościowa jest neutralnym elementem iloczynu macierzowego?
Zatem suma jego elementów wynosi:
10 + 3 = 13
pytanie 7
Mając macierz następującą po macierzy A, oblicz jej macierz odwrotną, jeśli istnieje.
A jest odwracalne lub odwracalne, jeśli istnieje macierz kwadratowa tego samego rzędu, która po pomnożeniu lub pomnożeniu przez A daje macierz jednostkową.
Zamierzamy zidentyfikować istnienie matrycy lub jej brak Po co:
Ponieważ A jest macierzą kwadratową rzędu 2, musi mieć również zamówienie 2.
Zapiszmy macierz odwrotną z jej wartościami jako niewiadomymi.
Zapisanie równania macierzowego i rozwiązanie iloczynu.
Zrównanie równoważnych warunków po obu stronach równości.
3a + 7c = 1
5a + 12c = 0
3b + 7d = 0
5b + 12d = 1
Mamy układ z czterema równaniami i czterema niewiadomymi. W takim przypadku możemy podzielić system na dwa. Każdy z dwoma równaniami i dwiema niewiadomymi.
rozwiązywanie systemu
Izolowanie a w pierwszym równaniu
Podstawienie a w drugim równaniu.
Wymiana c
oraz system:
Izolowanie b w pierwszym równaniu
Podstawiając b w drugim równaniu
Podstawiając d do określenia b.
Zastąpienie ustalonych wartości w macierzy odwrotnej nieznanej
Sprawdzenie, czy obliczona macierz jest w rzeczywistości macierzą odwrotną A.
W tym celu musimy wykonać mnożenia.
Dlatego ułamki są odwracalne.
pytanie 8
(EsPCEx 2020) Bądź matrycami . Jeśli AB=C, to x+y+z jest równe
a) -2.
b)-1.
c) 0.
d) 1.
e) 2.
Prawidłowa odpowiedź: e) 2.
Aby wyznaczyć niewiadome x, y i z, musimy wykonać równanie macierzowe. W rezultacie otrzymamy liniowy układ trzech równań i trzech niewiadomych. Rozwiązując układ, określamy x, y i z.
Przez równość macierzy mamy:
Dodawanie równań I i III
Więc x = -4/2 = -2
Podstawiając x = -2 w równaniu I i wyodrębniając z.
Podstawienie wartości x i z w równaniu II.
Zastępując wartości x i y w równaniu I, otrzymujemy:
Dlatego musimy:
Dlatego suma niewiadomych jest równa 2.
pytanie 9
(PM-ES) O mnożeniu macierzy Fabiana zapisała w swoim zeszycie następujące zdania:
To, co mówi Fabiana, jest poprawne:
a) tylko w I.
b) tylko w II.
c) tylko w III.
d) tylko w I i III.
e) tylko w I i IV
Prawidłowa odpowiedź: e) tylko w I i IV
Mnożenie macierzy jest możliwe tylko wtedy, gdy liczba kolumn w pierwszej jest równa liczbie wierszy w drugiej.
Dlatego zdanie III zostało już odrzucone.
Macierz C będzie miała liczbę rzędów A i liczbę kolumn B.
Zatem zdania I i IV są poprawne.
pytanie 10
Biorąc pod uwagę macierz A, określ .
Krok 1: Określ .
Krok 2: Określ transponowaną macierz .
Transponowaną macierz A otrzymujemy poprzez uporządkowaną zamianę wierszy na kolumny.
Krok 3: Rozwiąż produkt macierzy .
Dlatego wynik iloczynu matrycowego to:
pytanie 11
(UNICAMP 2018) ten oraz b liczby rzeczywiste takie, że macierz spełnia równanie
, na czym? i jest macierzą tożsamości rzędu 2. Dlatego produkt ab to to samo co
a) -2.
b) -1.
c) 1.
d) 2.
Prawidłowa odpowiedź: a) -2.
Krok 1: Określ .
Krok 2: Określ TEN.
Krok 3: Określ b. Ja, gdzie ja jest macierzą tożsamości.
Krok 4: Dodaj aA + bI.
Krok 5: Dopasuj odpowiednie terminy w.
Krok 6: Rozwiąż system, izolując a w równaniu I.
Podstawianie w równaniu II.
Zastąpienie wartości b
Krok 7: wykonaj mnożenie a.b.
dowiedz się więcej o Mnożenie macierzy.
Możesz być zainteresowany:
Matryce - Ćwiczenia
Matryce
Macierze i wyznaczniki
Rodzaje matryc
