Przestudiuj 11 pytań dotyczących nierówności I i II stopnia. Rozwiąż wątpliwości rozwiązanymi ćwiczeniami i przygotuj się na egzaminy wstępne na studia.
Pytanie 1
Sklep AGD oferuje zestaw sztućców w cenie zależnej od zakupionej ilości. Oto opcje:
Opcja A: 94,80 R$ plus 2,90 R$ za pojedynczą jednostkę.
Opcja B: 113,40 BRL plus 2,75 BRL za jednostkę.
Z liczby zakupionych pojedynczych sztućców opcja A jest mniej korzystna niż opcja B.
a) 112
b) 84
c) 124
d) 135
e) 142
Prawidłowa odpowiedź: c) 124.
Pomysł 1: napisz ostateczną cenę funkcji w stosunku do ilości zakupionych sztućców.
Opcja A: PA(n) = 94,8 + 2,90n
Gdzie PA to ostateczna cena opcji A, a n to liczba pojedynczych sztućców.
Opcja B: PB(n) = 113,40 + 2,75n
Gdzie PB to ostateczna cena opcji B, a n to liczba pojedynczych sztućców.
Pomysł 2: napisz nierówności porównując dwie opcje.
Ponieważ warunkiem jest, że A jest mniej korzystne, zapiszmy nierówność za pomocą znaku „większe niż”, który będzie oznaczał liczbę sztućców, po których ta opcja staje się droższa.
Wyodrębnienie n z lewej strony nierówności oraz wartości liczbowych z prawej strony.
Tym samym ze 124 nakryć opcja A staje się mniej korzystna.
pytanie 2
Carlos negocjuje grunt z agentem nieruchomości. Teren A jest narożny i ma kształt trójkąta. Firma zajmująca się obrotem nieruchomości negocjuje również pas ziemi w kształcie prostokąta wyznaczonego przez następujący warunek: klient może wybrać szerokość, ale długość musi być pięciokrotna pomiar.
Miarą szerokości terenu B, tak aby miał on powierzchnię większą niż teren A, jest
do 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Prawidłowa odpowiedź: d) 4
Pomysł 1: Trójkątny teren.
Powierzchnia trójkąta jest równa mierze podstawy pomnożonej przez wysokość podzielonej przez dwa.
Pomysł 2: prostokątny obszar terenu w funkcji pomiaru szerokości.
Idea 3: nierówność porównująca pomiary terenu A i B.
Powierzchnia działki B > Powierzchnia działki A
Wniosek
Teren A, prostokątny, ma większą powierzchnię niż teren B, trójkątny, dla szerokości większych niż 4 metry.
pytanie 3
Dealer samochodowy zdecydował się zmienić politykę płatności swoich sprzedawców. Otrzymywali oni stałą miesięczną pensję, a teraz firma proponuje dwie formy płatności. Opcja 1 oferuje stałą płatność w wysokości 1000,00 USD plus prowizję w wysokości 185 USD za sprzedany samochód. Opcja 2 oferuje wynagrodzenie w wysokości 2 045,00 $ plus prowizję w wysokości 90 $ za sprzedany samochód. Po liczbie sprzedanych samochodów opcja 1 staje się bardziej opłacalna niż opcja 2?
a) 25
b) 7
c) 9
d) 13
e) 11
Prawidłowa odpowiedź: e) 11
Pomysł 1: napisz formuły płacowe jako funkcję liczby sprzedanych samochodów dla opcji 1 i 2.
Wynagrodzenie opcji 1: 1 000 + 185n
Wynagrodzenie opcjonalne 2: 2 045 + 90n
Gdzie n to liczba sprzedanych samochodów.
Pomysł 2: Napisz nierówność porównując opcje, używając znaku nierówności „większe niż”.
Wniosek
Opcja 1 staje się bardziej opłacalna dla sprzedającego z 11 sprzedanych samochodów.
pytanie 4
nierówności przedstawia w godzinach przedział czasu działania danego leku w funkcji czasu od momentu przyjęcia go przez pacjenta. Lek pozostaje skuteczny w przypadku dodatnich wartości funkcji.
Jaki jest przedział czasu, w którym lek reaguje w ciele pacjenta?
Aby określić przedział czasu, wykreślamy funkcję .
Jest to funkcja drugiego stopnia, a jej krzywa jest parabolą.
Identyfikacja współczynników
a = -1
b = 3
c = 0
Ponieważ a jest ujemne, wklęsłość jest skierowana w dół.
Wyznaczanie pierwiastków równania:
Pierwiastki to punkty, w których funkcja wynosi zero, a zatem są punktami, w których krzywa przecina oś x.
Funkcja przyjmuje wartości dodatnie pomiędzy 0 a 3.
Dlatego lek utrzymuje swoje działanie przez trzy godziny.
pytanie 5
W sklepie odzieżowym promocja mówi, że jeśli klient kupi jedną sztukę, to drugą, podobnie jak pierwszą, może dostać za jedną trzecią ceny. Jeśli klient ma 125,00 BRL i chce skorzystać z promocji, maksymalna cena pierwszej sztuki, którą może kupić, aby mógł również wziąć drugą, wynosi
a) 103 BRL B
b) 93,75 BRL
c) 81,25 BRL
d) 95,35 BRL
e) 112,00 BRL
Prawidłowa odpowiedź: b) 93,75 BRL
Wywołując cenę pierwszego kawałka x, drugi wychodzi o x/3. Ponieważ te dwie wartości razem powinny kosztować maksymalnie 125 BRL, zapisujemy nierówność za pomocą znaku „mniejsze lub równe”.
Dlatego maksymalna cena, jaką może zapłacić za pierwszą sztukę, to 93,75 R$.
W rzeczywistości, jeśli x przyjmie swoją maksymalną wartość 93,75, druga sztuka wyjdzie za jedną trzecią tej wartości, czyli:
93,75 / 3 = 31,25
Tak więc druga sztuka kosztowałaby 31,25 BRL.
Aby sprawdzić obliczenia, zsumujmy ceny pierwszej i drugiej części.
93,75 + 31,25 = 125,00
pytanie 6
(ENEM 2020 cyfrowe). W ostatnich wyborach na prezydenta klubu zgłosiły się dwie tablice (I i II). Istnieją dwa rodzaje wspólników: udziałowcy i podatnicy. Głosy wspólników kapitałowych mają wagę 0,6, a wspólników wnoszących wkład mają wagę 0,4. Slate I otrzymałem 850 głosów od partnerów kapitałowych i 4300 od partnerów wnoszących wkład; łupek II otrzymał 1300 głosów od wspólników kapitałowych i 2120 od wspólników wnoszących wkład. Nie było wstrzymujących się, głosów pustych lub nieważnych, a ja wygrałem. Odbędą się nowe wybory na prezydenta klubu, z taką samą liczbą i typem członków oraz z takimi samymi planami jak w poprzednich wyborach. Konsultacje przeprowadzone przez łupek II wykazały, że partnerzy kapitałowi nie zmienią swoich głosów i mogą liczyć na głosy partnerów wnoszących wkład z ostatnich wyborów. Tak więc, aby wygrać, potrzebna będzie kampania z partnerami wnoszącymi wkład w celu zmiany ich głosów na łupek II.
Najmniejsza liczba członków wnoszących wkład, którzy muszą zmienić swój głos z tablicy I na tabliczkę II, aby zostać zwycięzcą, to
a) 449
b) 753
c) 866
d) 941
e) 1 091
Prawidłowa odpowiedź: b) 753
Pomysł 1: Płyta 1 traci pewną x ilość głosów, a tabliczka 2 zyskuje tyle samo x głosów.
Pomysł 2: zmontuj nierówności
Ponieważ głosy partnerów kapitałowych pozostaną takie same, aby łupek 2 wygrał wybory, musi zdobyć x głosów od partnerów wnoszących wkład. W tym samym czasie tabliczka 1 musi stracić te same x głosów.
płyta głosów 2 > płyta głosów 1
1300. 0,6+ (2120+x). 0,4 > 850. 0,6+ (4300-x). 0,4
780 + 848 + 0,4x > 510 + 1720 - 0,4x
1628 + 0,4x > 2230 - 0,4x
0,4x + 0,4x > 2230 - 1628
0,8x > 602
x > 602 / 0,8
x > 752,5
Dlatego 753 to najmniejsza liczba wnoszących wkład partnerów, którzy muszą zmienić swój głos z tablicy I na tablicę II, aby być zwycięzcą.
pytanie 7
(UERJ 2020). Dodatnia liczba całkowita N, która spełnia nierówność é:
a) 2
b) 7
c) 16
d) 17
Prawidłowa odpowiedź: d) 17
Pomysł 1: określ korzenie
Znajdźmy pierwiastki tego równania drugiego stopnia, korzystając ze wzoru Bhaskary.
Identyfikacja współczynników
a = 1
b = -17
c = 16
Wyznaczanie dyskryminatora, delta.
Ustalanie korzeni
Pomysł 2: naszkicuj wykres
Ponieważ współczynnik a jest dodatni, krzywa funkcji ma otwartą wklęsłość ku górze i przecina oś x w punktach N1 i N2.
Łatwo zauważyć, że funkcja przyjmuje wartości większe od zera dla N mniejszych od 1 i większych od 16.
Zestaw rozwiązań to: S ={N < 1 i N > 16}.
Ponieważ znak nierówności jest większy niż ( > ), wartości N = 1 i N = 16 są równe zeru i nie możemy ich brać pod uwagę.
Wniosek
Liczba całkowita wśród opcji spełniających nierówność wynosi 17.
pytanie 8
(UNESP). Carlos pracuje jako disc jockey (dj) i pobiera stałą opłatę w wysokości 100,00 R$ plus 20 R$ za godzinę, aby ożywić imprezę. Daniel, pełniący tę samą rolę, pobiera stałą opłatę w wysokości 55,00 BRL plus 35,00 BRL za godzinę. Maksymalna długość imprezy, aby zatrudnienie Daniela nie stało się droższe niż Carlosa, to:
a) 6 godzin
b) 5 godzin
c) 4 godziny
d) 3 godziny
e) 2 godziny
Prawidłowa odpowiedź: d) 3 godziny
Funkcja ceny usługi Carlosa
100 + 20h
Funkcja ceny usługi Daniel
55 + 35h
Gdybyśmy chcieli wiedzieć, za ile godzin jest cena ich usługi, musielibyśmy wyrównać równania.
Cena Daniela = Cena Carlosa
Jak zależy nam na cenie usługi Daniela nie drożeje niż Carlos, zamieniamy znak równości na mniejsze lub równe .
(nierówność I stopnia)
Wydzielenie wyrazu z h po jednej stronie nierówności:
Dla wartości h = 3 cena usługi jest równa dla obu.
Cena Daniela za 3 godziny imprezy
55 + 35h = 55 + 35x3 = 55 + 105 = 160
Cena Carlosa za 3 godziny imprezy
100 + 20h = 100 + 20x3 = 100 + 60 = 160
Oświadczenie mówi: „aby zatrudnienie Daniela nie stało się droższe niż Carlosa”. Dlatego używamy znaku mniejszego lub równego.
Maksymalny czas trwania imprezy, aby wynajęcie Daniela nie było droższe niż Carlosa, to 3 godziny. Od 3 nad ranem jego wynajęcie staje się droższe.
pytanie 9
(ENEM 2011). Branża wytwarza jeden rodzaj produktu i zawsze sprzedaje wszystko, co wytwarza. Całkowity koszt wytworzenia ilości q produktów jest określony przez funkcję symbolizowaną przez CT, natomiast dochód, który firma uzyskuje ze sprzedaży ilości q jest również funkcją, symboliczną przez FT. Całkowity zysk (LT) uzyskany ze sprzedaży ilości q produktów wyraża się wyrażeniem LT(q) = FT(q) – CT(q).
Biorąc pod uwagę funkcje FT(q) = 5q oraz CT(q) = 2q + 12 jako przychód i koszt, jaka jest minimalna ilość produktów, które przemysł będzie musiał wytworzyć, aby nie ponosić strat?
a) 0
b) 1
c) 3
d) 4
e) 5
Prawidłowa odpowiedź: d) 4
Pomysł 1: brak straty jest równoznaczny z wyższym obrotem lub przynajmniej równym zeru.
Pomysł 2: napisz nierówności i oblicz.
Zgodnie ze stwierdzeniem LT(q) = FT(q) - CT(q). Podstawianie funkcji i tworzenie większej lub równej zero.
Dlatego minimalna ilość produktów, które przemysł będzie musiał wyprodukować, aby nie stracić, wynosi 4.
pytanie 10
(ENEM 2015). Insulina jest stosowana w leczeniu pacjentów z cukrzycą w celu kontroli glikemii. Aby ułatwić jego stosowanie, opracowano „wstrzykiwacz”, w który można włożyć wkład zawierający 3 ml insuliny. Aby kontrolować aplikacje, jednostkę insuliny zdefiniowano jako 0,01 ml. Przed każdą aplikacją należy wyrzucić 2 jednostki insuliny, aby usunąć ewentualne pęcherzyki powietrza. Jednemu pacjentowi przepisano dwie dawki dziennie: 10 jednostek insuliny rano i 10 wieczorem. Jaka jest maksymalna liczba aplikacji na wkład, którą pacjent może zastosować przy przepisanej dawce?
a) 25
b) 15
c) 13
d) 12
e) 8
Prawidłowa odpowiedź: a) 25
Dane
Pojemność pisaka = 3 ml
1 jednostka insuliny = 0,01 ml
Ilość odrzucona w każdej aplikacji = 2 jednostki
Ilość na aplikację = 10 sztuk
Całkowita kwota wykorzystana na aplikację = 10u + 2u = 12u
Cel: Ustalenie maksymalnej możliwej liczby aplikacji przy przepisanej dawce.
Pomysł 1: napisz nierówność „większą niż” zero.
Suma w ml minus, całkowita ilość na aplikację w jednostkach, pomnożona przez 0,01 ml, pomnożona przez liczbę aplikacji s.
3mL - (12u x 0,01mL)p > 0
3 - (12 x 0,01) p > 0
3 - 0,12p > 0
3 > 0,12p
3 / 0,12 > p
25 > p
Wniosek
Maksymalna liczba aplikacji na wkład, którą pacjent może użyć przy przepisanej dawce, wynosi 25.
pytanie 11
(UECE 2010). Wiek Pawła w latach jest parzystą liczbą całkowitą, która spełnia nierówności . Do zbioru należy liczba reprezentująca wiek Pawła
a) {12, 13, 14}.
b) {15, 16, 17}.
c) {18, 19, 20}.
d) {21, 22, 23}.
Prawidłowa odpowiedź: b) {15, 16, 17}.
Pomysł 1: naszkicuj krzywą wykresu funkcji f (x) = .
W tym celu wyznaczmy pierwiastki funkcji za pomocą wzoru Bhaskary.
Współczynniki to:
a = 1
b = -32
c = 252
obliczanie dyskryminatora
Obliczanie korzeni
Wykres funkcji drugiego stopnia to parabola, ponieważ a jest dodatnie, wklęsłość jest skierowana do góry, a krzywa przecina oś x w punktach 14 i 18.
Pomysł 2: Zidentyfikuj wartości na wykresie.
Ponieważ nierówność pytania to nierówność ze znakiem „mniejsze niż”, z wartością zero po prawej stronie, interesują nas wartości osi x tak, aby funkcja była ujemna.
Wniosek
Dlatego liczba reprezentująca wiek Pawła należy do zbioru {15, 16, 17}.
dowiedz się więcej o nierówności.
Zobacz też
Równanie drugiego stopnia
Równanie pierwszego stopnia
