Ucz się z rozwiązanymi ćwiczeniami sinus, cosinus i tangens. Przećwicz i rozwiej wątpliwości dzięki komentowanym ćwiczeniom.
Pytanie 1
Określ wartości x i y w poniższym trójkącie. Rozważmy grzech 37º = 0,60, cosinus 37º = 0,79 i tan 37º = 0,75.
Odpowiedź: y = 10,2 m i x = 13,43 m
Aby określić y, używamy sinusa 37º, który jest stosunkiem przeciwnej strony do przeciwprostokątnej. Warto pamiętać, że przeciwprostokątna to odcinek przeciwny do kąta 90º, więc ma wartość 17 m.
Do wyznaczenia x możemy użyć cosinusa 37º, który jest stosunkiem między bokiem przylegającym do kąta 37º a przeciwprostokątną.
pytanie 2
W poniższym trójkącie prostokątnym określ wartość kąta , w stopniach oraz jego sinus, cosinus i tangens.
Rozważać:
grzech 28º = 0,47
cos 28º = 0,88
Odpowiedź: ,
W trójkącie suma kątów wewnętrznych wynosi 180°. Będąc trójkątem prostokątnym, istnieje kąt 90º, więc dla dwóch kątów pozostaje jeszcze 90º.
W ten sposób mamy:
Ponieważ te kąty są komplementarne (z jednego z nich drugi określa, ile pozostało do ukończenia 90º), ważne jest, że:
cos 62º = sin 28º = 0,47
oraz
grzech 62º = cos 28º = 0,88
Obliczanie stycznej
Tangens to stosunek sinusa do cosinusa.
pytanie 3
O określonej porze słonecznego dnia cień domu pada na 23 metry. Ta resztka wynosi 45º w stosunku do podłoża. W ten sposób określ wysokość domu.
Odpowiedź: Wysokość domu to 23 m.
Do określenia wysokości, znając kąt nachylenia, posługujemy się tangensem kąta 45°.
Styczna 45° jest równa 1.
Dom i cień na ziemi to nogi trójkąta prostokątnego.
Tak więc wysokość domu wynosi 23m.
pytanie 4
Geodeta to profesjonalista, który wykorzystuje wiedzę matematyczną i geometryczną do wykonywania pomiarów i badania powierzchni. Za pomocą teodolitu, narzędzia, które między innymi mierzy kąty, ustawionego na 37 metrach z dala od budynku znalazł kąt 60° między płaszczyzną równoległą do gruntu a wysokością budynek. Jeśli teodolit znajdował się na statywie 180 cm nad ziemią, określ wysokość budynku w metrach.
rozważać
Odpowiedź: Wysokość budynku to 65,81 m.
Robiąc szkic sytuacji mamy:
W ten sposób wysokość budynku można określić za pomocą stycznej 60º od wysokości, na której znajduje się teodolit, dodając wynik 180 cm lub 1,8 m, ponieważ jest to wysokość od ziemi.
Styczna 60° jest równa .
Wysokość od teodolitu
Całkowita wysokość
64,01 + 1,8 = 65,81 m
Wysokość budynku to 65,81m.
pytanie 5
Określ obwód pięciokąta.
Rozważać:
grzech 67 ° = 0,92
cos 67 ° = 0,39
opalenizna 67 ° = 2,35
Odpowiedź: obwód wynosi 219,1 m.
Obwód to suma boków pięciokąta. Ponieważ jest to prostokątna część o długości 80 m, przeciwna strona również ma 80 m długości.
Obwód jest określony przez:
P = 10 + 80 + 80 + a + b
P = 170 + a + b
Istnienie The, równolegle do niebieskiej przerywanej linii możemy określić jej długość za pomocą stycznej 67°.
Aby określić wartość b, używamy cosinusa 67°
Więc obwód to:
P = 170 + 23,5 + 25,6 = 219,1 m
pytanie 6
Znajdź sinus i cosinus 1110°.
Biorąc pod uwagę okrąg trygonometryczny mamy, że pełny obrót ma 360°.
Gdy podzielimy 1110° przez 360° otrzymamy 3,0833.... Oznacza to 3 pełne obroty i trochę więcej.
Biorąc 360° x 3 = 1080° i odejmując od 1110 otrzymujemy:
1110° - 1080° = 30°
Uznając kierunek przeciwny do ruchu wskazówek zegara za dodatni, po trzech pełnych obrotach wracamy do początku, czyli 1080° lub 0°. Od tego momentu posuwamy się o kolejne 30°.
Więc sinus i cosinus 1110° są równe sinusowi i cosinusowi 30°
pytanie 7
(CEDERJ 2021) Studiując test trygonometryczny, Júlia dowiedziała się, że sin² 72° równa się
1 - cos² 72°.
cos² 72° - 1.
tg² 72° - 1.
1 - tg² 72º.
Podstawowy związek trygonometrii mówi, że:
Gdzie x jest wartością kąta.
Przyjmując x = 72º i izolując sinus mamy:
pytanie 8
Rampy to dobry sposób na zapewnienie dostępności dla osób na wózkach inwalidzkich i osób o ograniczonej sprawności ruchowej. Dostęp do budynków, mebli, przestrzeni i urządzeń miejskich gwarantuje prawo.
Brazylijskie Stowarzyszenie Norm Technicznych (ABNT), zgodnie z brazylijską ustawą o włączeniu osób z Niepełnosprawność (13.146/2015), reguluje budowę i określa nachylenie ramp, a także obliczenia ich budowa. Wytyczne obliczeniowe ABNT wskazują maksymalny limit nachylenia 8,33% (stosunek 1:12). Oznacza to, że rampa, aby pokonać różnicę 1 m, musi mieć co najmniej 12 m długości i oznacza to, że kąt nachylenia rampy w stosunku do płaszczyzny poziomej nie może być większy niż 7°.
Zgodnie z poprzednią informacją, aby rampa o długości 14 mi nachyleniu 7º w w stosunku do samolotu mieści się w normach ABNT, musi służyć do pokonania szczeliny o maksymalnej wysokości
Użyj: sin 7 = 0,12; cos 7º = 0,99 i tan 7º = 0,12.
a) 1,2 m.
b) 1,32 m.
c) 1,4 m.
d) 1,56 m.
e) 1,68 m.
Rampa tworzy trójkąt prostokątny o długości 14 m, tworzący kąt 7º w stosunku do poziomu, którego wysokość stanowi bok przeciwny do kąta.
Używając sinusa 7°:
Wysokość, jaką musi osiągnąć rampa, wynosi 1,68 m.
pytanie 9
(Unesp 2012) Na pochyłym terenie powstaje budynek szpitala. Aby zoptymalizować konstrukcję, odpowiedzialny architekt zaprojektował parking w podziemiach budynku, z wjazdem z tylnej ulicy działki. Recepcja szpitala znajduje się 5 metrów nad poziomem parkingu, co wymaga wybudowania prostej rampy dojazdowej dla pacjentów z trudnościami w poruszaniu się. Rysunek schematycznie przedstawia tę rampę (r), łączącą punkt A na podłodze recepcji z punktem B na podłodze parkingu, która musi mieć nachylenie minimum α 30º i maksimum 45º.
W tych warunkach i biorąc pod uwagę , jakie powinny być maksymalne i minimalne wartości w metrach długości tej rampy wjazdowej?
Odpowiedź: Długość rampy wjazdowej będzie wynosić minimum 7 m, a maksimum 10 m.
Projekt już przewiduje i ustala wysokość na 5m. Musimy obliczyć długość rampy, która jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, dla kątów 30° i 45°.
Do obliczeń użyliśmy sinusa kąta, będącego stosunkiem przeciwnej strony 5m do przeciwprostokątnej r, która jest długością pochylni.
Dla godnych uwagi kątów 30° i 45° wartości sinusów wynoszą:
za 30°
do 45°
racjonalizując
Podstawiając wartość
pytanie 10
(EPCAR 2020) Nocą helikopter brazylijskich sił powietrznych przelatuje nad płaskim obszarem i zauważa UAV (pojazd powietrzny) bezzałogowy) o okrągłym kształcie i znikomej wysokości, o promieniu 3 m zaparkowany równolegle do podłoża w odległości 30 m od wzrost.
UAV znajduje się w odległości y metrów od reflektora, który został zainstalowany na śmigłowcu.
Wiązka światła z reflektora, która mija UAV, pada na płaski obszar i tworzy okrągły cień o środku O i promieniu R.
Promień R obwodu cienia tworzy kąt 60º z wiązką światła, jak pokazano na poniższym rysunku.
W tym momencie osoba znajdująca się w punkcie A na obwodzie cienia biegnie do punktu O, stopą od pionu narysowanego od reflektora do obszaru płaszczyzny.
Odległość w metrach, jaką ta osoba pokonuje od A do O, jest liczbą pomiędzy
a) 18 i 19
b) 19 i 20
c) 20 i 21
d) 22 i 23
cel
Określ długość segmentu , promień okręgu cienia.
Dane
- Wysokość od O do UAV wynosi 30 m.
- Promień BSP wynosi 3 m.
Używając stycznej 60° określamy część zaznaczoną na czerwono na poniższym obrazku:
Biorąc pod uwagę tangens 60° = a styczna będąca stosunkiem między stroną przeciwną do kąta a jej sąsiednim bokiem, mamy:
racjonalizując
Długość AO to
zbliżając się do wartości
Przybliżony wymiar odcinka AO wynosi 20,3 m, czyli wartość między 20 a 21.
Ucz się również z:
- Sinus, cosinus i tangens
- Ćwiczenia trygonometrii w trójkącie prawym
- Ćwiczenia trygonometrii
- Trygonometria w prawym trójkącie
- Trygonometria
- tożsamości trygonometryczne
- Ćwiczenia ze współczynników trygonometrycznych
- Relacje metryczne w trójkącie prawym
- Relacje trygonometryczne
- kąty
- Stosunki trygonometryczne
- tabela trygonometryczna
- Funkcje trygonometryczne
- Koło trygonometryczne
- Prawo sinusów
- Prawo cosinusów
