Progresja arytmetyczna (PA)

TEN Progresja arytmetyczna (PA) to ciąg liczb, w którym różnica między dwoma kolejnymi terminami jest zawsze taka sama. Ta stała różnica nazywa się P.A.

Tak więc, począwszy od drugiego elementu ciągu, pojawiające się liczby są wynikiem sumy stałej z wartością poprzedniego elementu.

To właśnie odróżnia go od postępu geometrycznego (PG), ponieważ w tym przypadku liczby są mnożone przez iloraz, natomiast w ciągu arytmetycznym są dodawane.

Progresje arytmetyczne mogą mieć ustaloną liczbę wyrazów (skończone PA) lub nieskończoną liczbę wyrazów (nieskończone PA).

Aby wskazać, że sekwencja trwa w nieskończoność, używamy wielokropka, na przykład:

• ciąg (4, 7, 10, 13, 16, ...) jest nieskończonym P.A.
• ciąg (70, 60, 50, 40, 30, 20, 10) jest skończonym P.A.

Każdy termin PA jest identyfikowany przez pozycję, jaką zajmuje w sekwencji i do reprezentowania każdego terminu używamy litery (zwykle litery ), po której następuje liczba wskazująca jego pozycję w sekwencji.

Na przykład termin ₄ w P.A (2, 4, 6, 8, 10) to liczba 8, ponieważ jest to liczba zajmująca 4 pozycję w sekwencji.

Klasyfikacja P.A.

Zgodnie z wartością wskaźnika progresje arytmetyczne dzielą się na:

• Stały: gdy stosunek jest równy zero. Na przykład: (4, 4, 4, 4, 4...), gdzie r = 0.
• Rozwój: gdy stosunek jest większy od zera. Na przykład: (2, 4, 6, 8,10...), gdzie r = 2.
• malejąco: gdy stosunek jest mniejszy od zera (15, 10, 5, 0, - 5,...), gdzie r = - 5

Właściwości PA

1. nieruchomość:

W skończonym PA suma dwóch wyrazów równoodległych od ekstremów jest równa sumie ekstremów.

Przykład

2. nieruchomość:

Biorąc pod uwagę trzy następujące po sobie wyrazy P.A., wyraz środkowy będzie równy średniej arytmetycznej pozostałych dwóch wyrazów.

Przykład

trzecia właściwość:

W skończonym PA z nieparzystą liczbą wyrazów, wyraz centralny będzie równy średniej arytmetycznej między wyrazami równoodległymi od niego. Ta właściwość wywodzi się z pierwszej.

Ogólna formuła terminów

Gdzie,

an: termin, który chcemy obliczyć
a1: I semestr P.A.
n: pozycja terminu, który chcemy odkryć
r: powód

Wyjaśnienie formuły

Ponieważ stosunek P.A. jest stały, możemy obliczyć jego wartość z dowolnych kolejnych wyrazów, to jest:

W związku z tym możemy znaleźć wartość drugiej kadencji P.A., wykonując:

Aby znaleźć trzeci wyraz, użyjemy tego samego obliczenia:

Zastąpienie wartości a₂, które znaleźliśmy wcześniej, mamy:

Jeśli podążymy tym samym tokiem rozumowania, możemy znaleźć:

Obserwując znalezione wyniki, zauważamy, że każdy termin będzie równy sumie pierwszego terminu ze stosunkiem pomnożonym przez poprzednią pozycję.

Ta kalkulacja jest wyrażona wzorem ogólnego terminu PA, który pozwala nam poznać dowolny element ciągu arytmetycznego.

Przykład

Oblicz 10. kadencję PA: (26, 31, 36, 41, ...)

Rozwiązanie

Najpierw musimy zidentyfikować, że:

₁ = 26
r = 31 - 26 = 5
n = 10 (10 kadencja).

Podstawiając te wartości do formuły terminu ogólnego mamy:

_Nie =₁ + (n-1). r
₁₀ = 26 + (10-1). 5
₁₀ = 26 + 9 .5
₁₀ = 71

Dlatego dziesiąty wyraz wskazanego ciągu arytmetycznego jest równy 71.

Ogólna formuła term z dowolnego k term

Często, aby zdefiniować dowolny termin ogólny, który nazywamy an, nie mamy pierwszego terminu a1, ale znamy inny termin, który nazywamy ak.

Możemy użyć ogólnej formuły terminu z dowolnego k terminu:

Zauważ, że jedyną różnicą była zmiana z indeksu 1 w pierwszej formule na k w drugiej.

Istota,

a: n-ty termin PA (termin na dowolnej pozycji n)
ak: k-ty termin PA (termin na dowolnej pozycji k)
r: powód

Suma warunków umowy P.A.

Aby obliczyć sumę terminów skończonego PA, wystarczy użyć wzoru:

Gdzie,

s_Nie: suma pierwszych n warunków P.A.
₁: I kadencja P.A.
_Nie: zajmuje n-tą pozycję w sekwencji (termin na pozycji n)
Nie: termin pozycja

Przeczytaj także o PA i PG.

Ćwiczenie rozwiązane

Ćwiczenie 1

PUC/RJ - 2018

Wiedząc, że liczby w ciągu (y, 7, z, 15) są w ciągu arytmetycznym, ile jest warta suma y + z?

a) 20
b) 14
c) 7
d) 3,5
e) 2

Zobacz odpowiedź

Aby znaleźć wartość z, możemy użyć własności, która mówi, że gdy mamy trzy następujące po sobie wyrazy, środkowy wyraz będzie równy średniej arytmetycznej pozostałych dwóch. Więc mamy:

Jeśli z jest równe 11, to stosunek będzie równy:

r = 11 - 7 = 4

W ten sposób y będzie równe:

y = 7 - 4 = 3

W związku z tym:

y+z = 3 + 11 = 14

Alternatywnie: b) 14

Ćwiczenie 2

MSSF - 2017

Na poniższym rysunku mamy sekwencję prostokątów, wszystkie o wysokości a. Podstawą pierwszego prostokąta jest b, a kolejnych prostokątów wartość podstawy poprzedniego plus jednostka miary. Zatem podstawą drugiego prostokąta jest b+1, a trzeciego b+2 i tak dalej.

Rozważ poniższe stwierdzenia.

I - Sekwencja pól prostokąta jest ciągiem arytmetycznym stosunku 1.
II - Sekwencja pól prostokąta jest ciągiem arytmetycznym stosunku a.
III - Sekwencja pól prostokątów jest postępem geometrycznym stosunku a.
IV - Pole n-tego prostokąta (A_Nie) można otrzymać ze wzoru A_Nie = (b + n - 1).

Sprawdź alternatywę, która zawiera poprawne instrukcje.

tam.
b) II.
c) III.
d) II i IV.
e) III i IV.

Zobacz odpowiedź

Obliczając powierzchnię prostokątów mamy:

A = a. b
TEN₁ = (b + 1) = a. b + a
TEN₂ = (b + 2) = a. B. + 2 miejsce
TEN₃ = (b + 3) = a. b + 3a

Na podstawie znalezionych wyrażeń zauważamy, że sekwencja tworzy PA o stosunku równym . Kontynuując sekwencję, znajdziemy pole n-tego prostokąta, który jest określony wzorem:

TEN_Nie= b + (n - 1) .a
TEN_Nie = b + a. w

kładąc na dowód mamy:

TEN_Nie = a (b + n - 1)

Alternatywnie: d) II i IV.

Ćwiczenie 3

UERJ

Przyznaj się do zorganizowania mistrzostw w piłce nożnej, w których ostrzeżenia otrzymane przez sportowców są reprezentowane wyłącznie żółtymi kartkami. Karty te są zamieniane na grzywny według następujących kryteriów:

• Pierwsze dwie otrzymane karty nie generują kar;
• Trzecia karta generuje grzywnę w wysokości 500,00 R$.
• Kolejne karty generują mandaty, których wartość jest zawsze zwiększana o 500,00 BRL w stosunku do wartości poprzedniej mandatu.

W tabeli przedstawiono grzywny związane z pierwszymi pięcioma kartami nałożonymi na sportowca.

Weźmy pod uwagę sportowca, który podczas mistrzostw otrzymał 13 żółtych kartek. Całkowita kwota (w realach) grzywien generowanych przez wszystkie te karty wynosi:

a) 30 000
b) 33 000
c) 36 000
d) 39 000

Zobacz odpowiedź

Prawidłowa odpowiedź: b) 33 000

Wraz z trzecią żółtą kartką, kwota grzywny wzrasta w PA w stosunku 500,00 R$. Biorąc pod uwagę pierwszy termin, a1, z wartością trzeciej karty, 500,00 R$.

Aby określić łączną wysokość grzywien, musimy skorzystać ze wzoru sumy warunków P.A.

Ponieważ sportowiec ma 13 żółtych kartek, ale pierwsze dwie nie generują mandatów, sporządzimy PA z 13-2 semestrów, czyli 11 semestrów.

Mamy więc następujące wartości:

a1 = 500
n = 11
r = 500

Aby znaleźć wartość n-tego członu, a11, używamy ogólnej formuły terminu.

an = a1 + (n-1).r
a21 = 500 +(11-1) x 500
a21 = 500 + 10 x 500
a21 = 5500

Stosując wzór sumy terminów P.A.

Rozwiąż więcej ćwiczeń w:

Postęp arytmetyczny - ćwiczenia

Dowiedz się więcej, czytając również:

• Sekwencja numeryczna
• Postęp geometryczny
• Progresja geometryczna - ćwiczenia
• Wzory matematyczne