O zbiór liczb niewymiernych składa się z liczb, które nie można przedstawić jako ułamki. W niektórych sytuacjach zbiór liczb wymiernych nie wystarczał do rozwiązania problemów, wtedy zauważono istnienie liczb niewymiernych, np. niedokładne korzenie, nieokresowe dziesięciny,π, miedzy innymi.
Przeczytaj też: Jaka jest wartość cyfry?
Zbiór liczb niewymiernych
W całej historii, w zastosowaniu twierdzenie Pitagorasa w trójkącie prostokątnym o bokach o wymiarach 1, odpowiedź była równa pierwiastkowi z liczby 2.
Okazuje się, że ta pozornie prosta odpowiedź umożliwiła odkrycie nowego zestaw liczb. Próbując znaleźć odpowiedź na to źródło kwadrat z 2, znaleziono jeden liczba dziesiętna znany jako nieokresowa dziesięcina, co jest niemożliwe do przedstawienia jako ułamek. To spowodowało konieczność stworzenia nowego zbioru, irracjonalnych, ponieważ do tego momentu wszystkie liczby były wymierne (które można zapisać jako ułamek).
Zbiór liczb niewymiernych składa się ze wszystkich liczb, które Nie można zapisać w postaci ułamka. |
Czym są liczby niewymierne?
Aby liczba została uznana za irracjonalną, musi respektować definicję, to znaczy nie może być reprezentowana jako ułamek. Te liczby są niedokładne korzenie, w nieokresowe dziesięciny a także niektóre szczególne przypadki, takie jak między innymi stała π (czytaj: pi) lub liczba ɸ (czytaj: fi).
Korzenie nie są dokładne
Gdy liczba nie jest idealnym kwadratem, jest znana jako pierwiastek niedokładny. Zobacz kilka przykładów:
nieokresowe dziesięciny
Przy rozwiązywaniu tych korzeni odpowiedzią zawsze będzie przybliżenie, co nazywamy nieokresowymi dziesięciną.
Zauważ, że część dziesiętna jest nieskończona i nie ma okresu, to znaczy sekwencji, która powoduje możemy przewidzieć następną liczbę w części dziesiętnej, dlatego nazywamy tę liczbę nie dziesiętną okresowy. Nie tylko ułamki dziesiętne generowane przez niedokładne pierwiastki, ale każdy nieokresowy dziesiętny jest liczbą niewymierną.
inne liczby niewymierne
• Liczba π: jest dość powszechny w przypadku obliczeń obejmujących krzywe, takie jak pole i długość obwód lub objętość butli i szyszkii jest jedną z najlepiej znanych liczb niewymiernych. Ponieważ jest to irracjonalne, używamy symbolu do jego przedstawienia, ale π jest nieokresowym dziesiętnym, to jest twoje wartość jest równe 3,14159265358979323846… Znanych jest kilka miejsc o tej liczbie, ale zwykle używamy przybliżenia o wartości 3,14.
• Numer ɸ: jest również znany jako złoty numer i był badany od starożytności, opisując różne zjawiska naturalne, takie jak reprodukcja populacji królików. Istnieje również raport o wykorzystaniu tej proporcji w pracach artystycznych. Jest to również liczba niewymierna, a więc jest reprezentowana przez symbol ɸ, a jej wartość wynosi: 1,61803398875…
• Stała Eulera: służy do zjawisk obejmujących matematyka finansowaoraz w obszarach biologii, m.in. astronomii. Jest to również liczba niewymierna i dlatego jest reprezentowana przez symbol i, o wartości: 2.718281828459045235360…
Zobacz też: Liczby pierwsze - liczba naturalna, która ma tylko dwie przegrody
liczba wymierna i niewymierna
Okazuje się, że dowolną liczbę można sklasyfikować jako wymierną lub nieracjonalną. Bezpośrednio, O Liczba wymierna to każda liczba, którą można zapisać jako ułamek. Dokładne ułamki dziesiętne, okresowe ułamki dziesiętne, liczby całkowite są liczbami wymiernymi. Z drugiej strony liczby niewymierne są przeciwieństwem tego, to znaczy są to te, których nie można zapisać jako ułamek, jak wspomnieliśmy, są nieokresowymi ułamkami dziesiętnymi i niedokładnymi pierwiastkami.
- Przykład
Dziesięcina 3.12121212... jest okresowa, zauważ, że w jej części dziesiętnej znajduje się kropka, która jest liczbą 12, która jest zawsze powtarzana, dlatego ta liczba jest racjonalna.
6.1249375 dziesięciny…. jest nieokresowa, zauważ, że w części dziesiętnej nie ma kropki, co tworzy tę liczbę irracjonalny.
rozwiązane ćwiczenia
Pytanie 1 - Które z poniższych liczb można zaklasyfikować jako nieracjonalne?
Rozkład
Alternatywa C.
a) Wiemy, że 25 jest idealnym kwadratem, to znaczy, że jego pierwiastek kwadratowy jest dokładnie równy 5, więc jest to liczba wymierna.
b) Obliczając pierwiastek z 81 wiemy, że jego wynikiem jest 9, co czyni tę liczbę racjonalną.
c) 10 nie ma dokładnego pierwiastka kwadratowego, to znaczy jest liczbą niewymierną, co sprawia, że alternatywa C jest poprawna.
d) 5.1888 to dokładna liczba dziesiętna, więc jest racjonalna.
e) 1.2323… to dziesiąta część z okresem równym 23, więc jest liczbą wymierną.
Pytanie 2 - Jeśli chodzi o liczby niewymierne, osądź następujące stwierdzenia jako prawdziwe lub fałszywe:
I - Każdy pierwiastek kwadratowy jest liczbą niewymierną.
II - Każdy nieokresowy dziesiętny jest liczbą niewymierną.
III - Liczba ɸ i liczba π to przykłady liczb niewymiernych.
Zgodnie z wyrokiem wyroków słuszne jest stwierdzenie, że:
a) Tylko stwierdzenie I jest prawdziwe.
b) Tylko stwierdzenie II jest prawdziwe.
c) Tylko stwierdzenia II i III są prawdziwe.
d) Tylko stwierdzenia I i II są prawdziwe.
e) Wszystkie stwierdzenia są prawdziwe.
Rozkład
Alternatywa C.
ja - Fałsz, ponieważ tylko niedokładny pierwiastek kwadratowy jest liczbą niewymierną.
II - Prawda. Nieokresowe ułamki dziesiętne to liczby niewymierne.
III - Prawda, ponieważ liczby ɸ i π są nieokresowymi ułamkami dziesiętnymi, a zatem są liczbami niewymiernymi.
