Ćwiczenia o procentach składanych

Odsetki składane reprezentują korektę zastosowaną do pożyczonej lub zastosowanej kwoty. Ten rodzaj korekty nazywany jest również odsetkami od odsetek.

Jako treść o dużym znaczeniu pojawia się często w konkursach, egzaminach wstępnych i na Enem. Dlatego skorzystaj z poniższych pytań, aby zweryfikować swoją wiedzę na temat tych treści.

Pytania z komentarzem

1) Wróg - 2018

Umowa pożyczki przewiduje, że w przypadku spłaty raty z góry, obniżka odsetek zostanie przyznana zgodnie z okresem zaliczki. W tym przypadku płaci się wartość bieżącą, która jest wartością w tym czasie kwoty, która powinna zostać zapłacona w przyszłości. Wartość bieżąca P poddana oprocentowaniu składanemu według stopy i, przez okres czasu n, daje przyszłą wartość V określoną wzorem

W umowie pożyczki z sześćdziesięcioma miesięcznymi ratami stałymi, w wysokości 820,00 BRL, z oprocentowaniem 1,32% miesięcznie, łącznie przy trzydziestej raty kolejna rata zostanie zapłacona z góry, pod warunkiem, że rabat jest większy niż 25% wartości część.

Użyj 0,2877 jako przybliżenie dla i 0,0131 jako przybliżenie do ln (1,0132).
Pierwszą z rat, które można spodziewać się wraz z 30-tą, jest

a) 56.
b) 55.
c) 52.
d) 51.
e) 45

Zobacz odpowiedź

W proponowanym pytaniu chcemy dowiedzieć się, która rata, stosując obniżkę odsetek przy płatności z góry, wpłacana kwota ma rabat większy niż 25%, czyli:

Upraszczając ułamek (podzielenie góry i dołu przez 25), odkrywając, że kwota do zapłaty za ratę zaliczki musi wynosić:

Przewidywana rata odpowiada wartości przyszłej skorygowanej do wartości bieżącej, czyli zdyskontowane odsetki 1,32% przy spłacie tej raty przed terminem, czyli:

Gdzie n jest równe przewidywanemu okresowi. Zastępując to wyrażenie w poprzednim, mamy:

Ponieważ 820 pojawia się po obu stronach nierówności, możemy uprościć, „obcinając” tę wartość:

Możemy odwrócić ułamki, uważając, aby odwrócić również znak nierówności. Tak więc nasze wyrażenie to:

Zauważ, że wartość, którą chcemy znaleźć, znajduje się w wykładniku (n). Dlatego do rozwiązania nierówności zastosujemy logarytm naturalny (ln) po obu stronach nierówności, czyli:

Teraz możemy podstawić wartości wskazane w zestawieniu i znaleźć wartość n:

Skoro n musi być większe od znalezionej wartości, to będziemy musieli przewidzieć 22 raty, czyli spłacimy 30 ratę razem z 52 ( 30 + 22 = 52).

Alternatywa: c) 52.

2) Enem - 2011

Młody inwestor musi wybrać, która inwestycja przyniesie mu największy zwrot finansowy z inwestycji o wartości 500 BRL. W tym celu bada dochód i podatek do zapłacenia od dwóch inwestycji: oszczędności i CDB (certyfikat depozytu bankowego). Uzyskane informacje podsumowano w tabeli:

Dla młodego inwestora pod koniec miesiąca najkorzystniejszą aplikacją jest

a) oszczędności, ponieważ wyniesie 502,80 BRL.
b) oszczędności, ponieważ wyniesie 500,56 reala.
c) CDB, ponieważ wyniesie 504,38 BRL.
d) CDB, ponieważ wyniesie 504,21 R$.
e) CDB, ponieważ wyniesie 500,87 reala.

Zobacz odpowiedź

Aby dowiedzieć się, jaka jest najlepsza wydajność, obliczmy, ile każdy z nich przyniesie na koniec miesiąca. Zacznijmy więc od obliczenia dochodu z oszczędności.

Biorąc pod uwagę dane problemowe, mamy:

c = 500.00 BRL
i = 0,560% = 0,0056 rano
t = 1 miesiąc
M = ?

Zastępując te wartości we wzorze procentu składanego, otrzymujemy:

M = C (1+i)^t
M_{oszczędności} = 500 (1 + 0,0056)¹
M_{oszczędności} = 500.1,0056
M_{oszczędności} = 502,80 BRL

Podobnie jak w tego typu wniosku nie ma ulgi w podatku dochodowym, więc będzie to kwota umorzona.

Teraz obliczmy wartości dla CDB. Dla tej aplikacji oprocentowanie wynosi 0,876% (0,00876). Zastępując te wartości mamy:

M_CBD = 500 (1+0,00876)¹
M_CBD = 500.1,00876
M_CBD = 504,38 BRL

Kwota ta nie będzie kwotą otrzymaną przez inwestora, gdyż w tej aplikacji obowiązuje rabat 4%, odnoszące się do podatku dochodowego, który należy zastosować od otrzymanych odsetek, jak wskazano poniżej:

J = M - C
J = 504,38 - 500 = 4,38

Musimy obliczyć 4% tej wartości, po prostu wykonaj:

4,38.0,04 = 0,1752

Stosując ten rabat do wartości, znajdujemy:

504,38 - 0,1752 = BRL 504,21

Alternatywnie: d) CDB, ponieważ wyniesie 504,21 R$.

3) UERJ - 2017

Kapitał C reis został zainwestowany w wysokości 10% miesięcznie i wygenerował w ciągu trzech miesięcy kwotę 53 240 R$. Oblicz w realach wartość kapitału początkowego C.

Zobacz odpowiedź

W zadaniu mamy następujące dane:

M = 53240,00 PLN
i = 10% = 0,1 miesięcznie
t = 3 miesiące
C = ?

Zastępując te dane we wzorze procentu składanego, otrzymujemy:

M = C (1+i)^t
53240 = C (1+0,1)³
53240 = 1,331 C

4) Fuvest - 2018

Maria chce kupić telewizor, który jest sprzedawany za 1 500,00 BRL w gotówce lub w 3 nieoprocentowanych ratach miesięcznych w wysokości 500,00 BRL. Pieniądze, które Maria odłożyła na ten zakup, nie wystarczą, by zapłacić gotówką, ale odkryła, że ​​bank oferuje inwestycję finansową, która zarabia 1% miesięcznie. Po dokonaniu obliczeń Maria doszła do wniosku, że jeśli spłaci pierwszą ratę i tego samego dnia zastosuje pozostałą kwotę będziesz mógł spłacić dwie pozostałe raty bez konieczności wpłacania ani brania centa nawet nie. Ile w realu Maria przeznaczyła na ten zakup?

a) 1450,20
b) 1480,20
c) 1485,20
d) 1495,20
e) 1490,20

Zobacz odpowiedź

W tym problemie musimy dokonać ekwiwalentności wartości, czyli znamy wartość przyszłą, która musi zostać zapłacona w każdej racie i chcemy znać wartość obecną (kapitał, który zostanie zastosowany).

W tej sytuacji używamy następującego wzoru:

Biorąc pod uwagę, że wniosek powinien przynosić 500,00 BRL w momencie wpłaty drugiej raty, czyli 1 miesiąc po wpłacie pierwszej raty, mamy:

Aby zapłacić trzecią ratę również w wysokości 500,00 R$, kwota zostanie zastosowana przez 2 miesiące, więc zastosowana kwota będzie równa:

Tym samym kwota, którą Maria przeznaczyła na zakup jest równa sumie wniesionych kwot z kwotą pierwszej raty, czyli:

V = 500 + 495,05 + 490,15 = 1 485,20 BRL

Alternatywnie: c) 1 485,20 BRL

5) UNESP - 2005

Mário wziął pożyczkę w wysokości 8 000 R$ z 5% oprocentowaniem miesięcznie. Dwa miesiące później Mário zapłacił 5.000,00 R$ pożyczki, a miesiąc po tej spłacie spłacił cały swój dług. Wartość ostatniej płatności wynosiła:

a) 3015 BRL.
b) 3 820,00 BRL.
c) 4.011,00 BRL.
d) 5.011,00 BRL.
e) 5 250,00 BRL.

Zobacz odpowiedź

Wiemy, że pożyczka została spłacona w dwóch ratach i że dysponujemy następującymi danymi:

V_P = 8000
i = 5% = 0,05 rano
V_F1 = 5000
V_F2 = x

Biorąc pod uwagę dane i dokonując ekwiwalentności kapitałów, mamy:

Alternatywnie: c) 4.011,00 BRL.

6) PUC/RJ - 2000

Bank pobiera oprocentowanie w wysokości 11% miesięcznie od usługi kredytu w rachunku bieżącym. Za każde 100 reali debetu bank pobiera 111 w pierwszym miesiącu, 123,21 w drugim i tak dalej. Od kwoty 100 reali na koniec roku bank pobierze około:

a) 150 reali.
b) 200 reali
c) 250 reali.
d) 300 reali.
e) 350 reali.

Zobacz odpowiedź

Na podstawie informacji podanych w problemie ustaliliśmy, że korekta kwoty kredytu w rachunku bieżącym dotyczy odsetek składanych.

Zwróć uwagę, że kwota pobrana za drugi miesiąc została obliczona z uwzględnieniem kwoty już skorygowanej za pierwszy miesiąc, czyli:

J = 111. 0,11 = 12,21 PLN

M = 111 + 12,21 = 123,21 BRL

Dlatego, aby znaleźć kwotę, jaką bank pobierze na koniec roku, zastosujmy wzór na odsetki składane, czyli:

M = C (1+i)^t

Istota:

C = 100,00 BRL
i = 11% = 0,11 miesięcznie
t = 1 rok = 12 miesięcy
M = 100 (1+0,11)¹²
M = 1001,11¹²
M = 100,3,498

Alternatywa: e) 350 reali

Aby dowiedzieć się więcej na ten temat, przeczytaj również:

• Odsetek
• Jak obliczyć procent?
• Ćwiczenia procentowe
• Wzory matematyczne
• Matematyka w Enem