TEN Średnia geometryczna wraz ze średnią arytmetyczną i harmoniczną opracowała szkoła pitagorejska. W Statystyczny dość powszechne jest wyszukiwanie reprezentacja zbioru danych przez pojedynczą wartość do podejmowania decyzji. Jedną z możliwości ustalenia wartości centralnej jest średnia geometryczna.
Przydaje się do reprezentowania zestawu, który ma dane, które zachowują się blisko a postęp geometryczny, także znaleźć stronę kwadrat i sześcian, znając odpowiednio powierzchnię i objętość. Średnia geometryczna jest również stosowana w sytuacje kumulacji procentowego wzrostu lub spadku. Aby obliczyć średnią geometryczną zbioru n wartości, obliczamy n-ty pierwiastek iloczynu pierwiastków, to znaczy, jeśli zbiór ma na przykład trzy wyrazy, mnożymy je i obliczamy pierwiastek sześcienny iloczynu.
Wzór na średnią geometryczną
Średnia geometryczna służy do znalezienia a
Średnia wartość między zestawem danych. Do obliczenia średniej geometrycznej wymagany jest zestaw z dwoma lub więcej elementami. Niech A będzie zbiorem danych A = (x1, x2, x3,... xNie), zbiór składający się z n elementów, średnią geometryczną tego zbioru oblicza się ze wzoru:
Przeczytaj też: Miary dyspersji: amplituda i odchylenie
Obliczanie średniej geometrycznej
Niech A = {3,12,16,36}, jaka będzie średnia geometryczna tego zbioru?
Rozkład:
Aby obliczyć średnią geometryczną, najpierw liczymy liczbę wyrazów w zestawie, w przypadku n = 4. Więc musimy:
Metoda 1: Wykonywanie mnożenia.
Ponieważ nie zawsze dysponujemy kalkulatorem do przeprowadzania tych mnożenia, możliwe jest wykonanie obliczeń na podstawie faktoryzacji a Liczba naturalna.
Metoda 2: Faktoryzacja.
Korzystając z faktoryzacji musimy:
Zastosowania średniej geometrycznej
Średnia geometryczna może być zastosowana do dowolnego zbioru danych statystycznych, ale zazwyczaj jest to zatrudniony w geometria, aby porównać boki graniastosłupów i sześcianów o tej samej objętości lub kwadraty i prostokąty o tej samej powierzchni. Istnieje również aplikacja w finansowe problemy matematyczne które wiążą się ze skumulowaną stopą procentową, czyli odsetek poniżej procentu. Poza tym, że jest najwygodniejszym środkiem dla danych, które zachowują się jak postęp geometryczny.
Przykład 1: Aplikacja w procentach.
Produkt przez trzy miesiące notował kolejne wzrosty, pierwszy o 20%, drugi o 10%, a trzeci o 25%. Jaki był średni procentowy wzrost na koniec tego okresu?
Rozkład
Produkt początkowo kosztował 100%, w pierwszym miesiącu zaczął kosztować 120%, co w postaci dziesiętnej jest zapisane jako 1.2. To rozumowanie będzie takie samo dla trzech wzrostów, więc chcemy uzyskać średnią geometryczną między: 1,2; 1,1; oraz 1,25.
Wzrost wynosi średnio 18,2% miesięcznie.
Zobacz też: Obliczanie procentowe z regułą trzech
Przykład 2: Zastosowanie w geometrii.
Jaka powinna być wartość x na obrazku, wiedząc, że kwadrat i prostokąt mają wtedy ten sam obszar?
Rozkład:
Aby znaleźć wartość x boku kwadratu, obliczymy średnią geometryczną między bokami prostokąta.
Dlatego bok kwadratu ma 12 cm.
Przykład 3: Postęp geometryczny.
Jakie są terminy PG, wiedząc, że poprzednikiem wartości centralnej jest x, wartością centralną jest 10, a następcą wartości centralnej jest 4x.
Rozkład:
Znamy warunki P.G. (x, 10,4x) i wiemy, że średnia geometryczna między następcą a poprzednikiem jest równa centralnemu członowi P.G., więc musimy:
Różnica między średnią geometryczną a średnią arytmetyczną
W statystyce sposób, w jaki zachowują się dane, jest bardzo ważny przy wyborze pojedynczej wartości, która ma je reprezentować. Dlatego istnieją rodzaje środków centralnych i są rodzaje mediów.
Wyboru, której średniej użyć, należy dokonać biorąc pod uwagę zbiór danych, nad którym pracujemy. Jak widać w przykładzie, jeśli są to dane, które zachowują się blisko postępu geometrycznego i mają najbardziej wykładniczy wzrost, zalecana jest średnia geometryczna.
W innych sytuacjach najczęściej używamy Średnia arytmetyczna, na przykład średnia waga osoby w ciągu roku. Porównując obliczenia dwóch rodzajów średniej dla tego samego zbioru danych, geometria zawsze będzie mniejsza niż arytmetyczna.
Porównując formułę średniej arytmetycznej z formułą średniej geometrycznej, zauważamy różnicę, ponieważ ta pierwsza jest obliczana przez suma terminów podzielona według ilości warunków, podczas gdy drugi, jak widzieliśmy, jest obliczany przez n-ty pierwiastek iloczynu wszystkich wyrazów.
Przykład 4: Mając zestaw (3, 9, 27, 81, 243), zdaj sobie sprawę, że jest to P.G. stosunku 3, ponieważ od pierwszego do drugiego wyrazu mnożymy przez trzy, od drugiego do trzeciego i tak dalej. Szukając wartości środkowej reprezentującej ten zbiór, najlepiej, aby była to centralny wyraz progresji, co ma miejsce, jeśli obliczymy średnią geometryczną. Jednak przy obliczaniu średniej arytmetycznej większe wartości powodują, że wartość tej średniej jest zbyt wysoka w stosunku do terminy zbioru, a im większa wartość, tym dalej od reprezentacji terminu centralnego będzie średnia arytmetyczna.
Rozkład:
1. średnia arytmetyczna
2. średnia geometryczna
Również dostęp: Moda, średnia i medianaa – miary centralności
rozwiązane ćwiczenia
Pytanie 1 - W ostatnich miesiącach ceny benzyny w Brazylii znacznie wzrosły. Miesięczne wzrosty w ostatnich 4 miesiącach wyniosły odpowiednio 9%, 15%, 25% i 16%. Jaki był średni procentowy wzrost w tym okresie?
a) 15%
b) 15,5%
c) 16%
d) 14%
e) 14,5%
Rozkład
Alternatywa A
Pytanie 2 - Graniastosłup o prostokątnej podstawie ma taką samą objętość jak sześcian. Wiedząc, że wymiary pryzmatu to 6 cm długości, 20 cm wysokości i 25 cm szerokości, jaka jest wartość boku sześcianu w centymetrach?
Rozkład:
Alternatywa D
Raul Rodrigues de Oliveira
Nauczyciel matematyki
Źródło: Brazylia Szkoła - https://brasilescola.uol.com.br/matematica/media-geometrica.htm