Kąty 30º, 45º i 60º są nazywane godnymi uwagi, ponieważ są to te, które najczęściej obliczamy.
Dlatego ważne jest, aby znać wartości sinusa, cosinusa i tangensa tych kątów.
Tabela znaczących kątów
Poniższa tabela jest bardzo przydatna i można ją łatwo zbudować, wykonując wskazane czynności.
Wartość sinusa i cosinusa 30 i 60
ty kąty 30º i 60º uzupełniają się, to znaczy sumują się do 90º.
Znaleźliśmy wartość 30º sinus, obliczając stosunek przeciwnej strony do przeciwprostokątnej. Wartość cosinusa 60º to stosunek między sąsiednim bokiem a przeciwprostokątną.
W ten sposób sinus 30º i 60º cosinus trójkąta pokazanego poniżej będą dane przez:
W ten sposób stwierdzamy, że wartość sinusa 30° jest równa wartości cosinusa 60°. To samo dzieje się z 60. i 30. cosinusem, ponieważ:
Więc kiedy dwa kąty są uzupełniający, wartość sinus jednego jest równa wartości cosinusa drugiego.
Aby znaleźć wartość 30º sinus (60º cosinus) i 30º cosinus (60º sinus), rozważmy trójkąt równoboczny ABC o bokach równych L, przedstawiony poniżej:
Wysokość (h) trójkąt równoboczny pokrywa się z medianą, więc wysokość dzieli bok w stosunku do środka ().
Również wysokość pokrywa się z dwusieczna. W ten sposób kąt jest również podzielony na pół, jak pokazano na rysunku.
Weźmy również pod uwagę, że wartość wysokości jest wyrażona wzorem:
.
Aby obliczyć sinus i cosinus 30º, rozważymy trójkąt prostokątny AHB, który został uzyskany z trójkąta ABC.
Więc mamy:
i
Wartość sinusa i cosinusa 45º
Obliczymy wartość sinusa i cosinusa kąta 45° z kwadratu o boku L przedstawionym poniżej:
Przekątna kwadratu jest dwusieczną kąta, to znaczy przekątna dzieli kąt na pół (45º). Również miary przekątne .
Aby znaleźć wartość sinusa i cosinusa 45º, rozważmy trójkąt prostokątny ABC pokazany na rysunku:
Następnie:
i
Wartość tangensa 30, 45 i 60
Aby obliczyć tangens znaczących kątów użyjemy stosunku trygonometrycznego:
A zatem:
Aby dowiedzieć się więcej, przeczytaj także:
- Tabela trygonometryczna
- Sinus, cosinus i tangens
- Trygonometria w trójkącie prostokątnym
- prawo grzechów
- Prawo cosinusa
Rozwiązane ćwiczenia
1) Pływak przepływa przez rzekę pod kątem 30° do jednego z brzegów. Wiedząc, że szerokość rzeki wynosi 40 m, określ odległość przebytą przez pływaka, aby przepłynąć rzekę.
2) Enem - 2010
Balon atmosferyczny, wystrzelony w Bauru (343 kilometry na północny zachód od São Paulo), w ostatnią niedzielę wieczorem, spadła w poniedziałek w Cuiabá Paulista, w regionie Presidente Prudente, strasząc rolników z region. Artefakt jest częścią programu Hibiscus Project, opracowanego przez Brazylię, Francję, Argentynę, Anglię i Włochy, aby zmierzyć zachowanie się warstwy ozonowej, a jej opadanie nastąpiło po spełnieniu wymagań czas
oczekiwany pomiar.
W dniu imprezy balon obejrzały dwie osoby. Jeden znajdował się 1,8 km od pionowej pozycji balonu i widział go pod kątem 60º; drugi znajdował się 5,5 km od pionowej pozycji balonu, wyrównany z pierwszym i w tym samym kierunku, jak widać na rysunku, i zobaczył go pod kątem 30º.
Jaka jest przybliżona wysokość balonu?
a) 1,8 km
b) 1,9 km
c) 3,1 km
d) 3,7 km
e) 5,5 km
