Trygonometria to ważny temat w matematyce, który umożliwia poznanie boków i kątów w trójkącie prostokątnym, poprzez sinus, cosinus i tangens, oprócz innych funkcji trygonometrycznych.
Aby poprawić swoje studia i poszerzyć swoją wiedzę, postępuj zgodnie z listą 8 ćwiczeń plus 4 pytania egzaminacyjne, wszystkie rozwiązywane krok po kroku.
Ćwiczenie 1
Obserwując rano cień budynku na ziemi, jedna osoba odkryła, że mierzy on 63 metry, gdy promienie słoneczne tworzą kąt 30° z powierzchnią. Na podstawie tych informacji oblicz wysokość budynku.
Prawidłowa odpowiedź: około 36,37 m.
Budynek, cień i promień słońca wyznaczają trójkąt prostokątny. Wykorzystując kąt 30° i styczną możemy określić wysokość budynku.
Ponieważ wysokość budynku wynosi h, mamy:
Ćwiczenie 2
Na obwodzie o średnicy 3 segment AC, zwany pasem, tworzy kąt 90° z innym pasem CB o tej samej długości. Jaka jest miara strun?
Prawidłowa odpowiedź: Długość liny wynosi 2,12 cm.
Ponieważ odcinki AC i CB tworzą kąt 90° i mają tę samą długość, utworzony trójkąt jest równoramienny, a kąty podstawowe są równe.
Ponieważ suma kątów wewnętrznych trójkąta jest równa 180° i mamy już kąt 90°, pozostaje jeszcze 90° do równego podziału między dwa kąty bazowe. Zatem ich wartość jest równa 45º każdy.
Ponieważ średnica wynosi 3 cm, promień wynosi 1,5 cm i do określenia długości sznurka możemy użyć cosinusa 45°.
Ćwiczenie 3
Kolarz biorący udział w mistrzostwach zbliża się do mety na szczycie stoku. Całkowita długość tej ostatniej części wyścigu wynosi 60 m, a kąt pomiędzy rampą a poziomem wynosi 30°. Wiedząc o tym, oblicz wysokość w pionie, na jaką rowerzysta musi się wspiąć.
Prawidłowa odpowiedź: wysokość wyniesie 30 m.
Wywołując wysokość h, mamy:
Ćwiczenie 4
Poniższy rysunek tworzą trzy trójkąty, w których wysokość h określa dwa kąty proste. Wartości elementów to:
α = 30°
β = 60°
h = 21
Określ wartość a+b.
Poprawna odpowiedź:
Na podstawie stycznych podanych kątów możemy wyznaczyć wymiary odcinków a i b.
Obliczanie:
Obliczenie b:
A zatem,
Ćwiczenie 5
Samolot wystartował z miasta A i przeleciał 50 km w linii prostej, aż wylądował w mieście B. Następnie przeleciał kolejne 40 km, tym razem kierując się w stronę miasta D. Te dwie trasy biegną względem siebie pod kątem 90°. Jednak ze względu na niesprzyjające warunki pogodowe pilot otrzymał komunikat z wieży kontrolnej informujący go, że nie może wylądować w mieście D i powinien wrócić do miasta A.
Aby zawrócić z punktu C, pilot musiałby wykonać zwrot o ile stopni w prawo?
Rozważać:
grzech 51° = 0,77
cos 51° = 0,63
opalenizna 51° = 1,25
Prawidłowa odpowiedź: pilot musi wykonać skręt o 129° w prawo.
Analizując figurę widzimy, że ścieżka tworzy trójkąt prostokątny.
Nazwijmy kąt, którego szukamy W. Kąty W i Z są uzupełniające, to znaczy tworzą płytki kąt 180°.
Zatem W + Z = 180°.
W = 180 - Z (równanie 1)
Naszym zadaniem jest teraz wyznaczenie kąta Z i do tego użyjemy jego stycznej.
Musimy zadać sobie pytanie: jaki jest kąt, którego tangens wynosi 1,25?
Problem daje nam te dane, tan 51° = 1,25.
Wartość tę można również znaleźć w tabeli trygonometrycznej lub za pomocą kalkulatora naukowego, korzystając z funkcji:
Podstawiając wartość Z do równania 1, otrzymujemy:
W = 180° - 51° = 129°
Ćwiczenie 6
Promień monochromatycznego światła przechodząc z jednego ośrodka do drugiego ulega odchyleniu w jego kierunku. Ta zmiana w jego propagacji jest związana ze współczynnikami załamania mediów, co pokazuje następująca zależność:
Prawo Snella - Kartezjusz
Gdzie i i r są kątami padania i załamania, a n1 i n2 są współczynnikami załamania średnich 1 i 2.
Uderzając w powierzchnię separacji między powietrzem a szkłem, promień światła zmienia swój kierunek, jak pokazano na rysunku. Jaki jest współczynnik załamania szkła?
Dane: współczynnik załamania powietrza równy 1.
Prawidłowa odpowiedź: współczynnik załamania szkła jest równy .
Zastępując wartości mamy:
Ćwiczenie 7
Aby wciągnąć drewnianą kłodę do swojego warsztatu, ślusarz przywiązał do kłody linę i przeciągnął ją dziesięć stóp po poziomej powierzchni. Siła 40 N działająca na sznurek tworzyła kąt 45° z kierunkiem jazdy. Oblicz pracę przyłożonej siły.
Prawidłowa odpowiedź: Wykonana praca to około 84,85 J.
Praca jest wielkością skalarną uzyskaną z iloczynu siły i przemieszczenia. Jeśli siła nie ma tego samego kierunku co przemieszczenie, musimy rozłożyć tę siłę i uwzględnić tylko składową w tym kierunku.
W tym przypadku musimy pomnożyć wielkość siły przez cosinus kąta.
Więc mamy:
Ćwiczenie 8
Między dwiema górami mieszkańcy dwóch wiosek musieli przebyć trudną drogę w górę iw dół. Aby rozwiązać tę sytuację, zdecydowano, że między wioskami A i B zostanie zbudowany most wantowy.
Należałoby obliczyć odległość między dwiema wsiami po linii prostej, na której most byłby rozciągnięty. Ponieważ mieszkańcy znali już wysokość miast i kąty wznoszenia, odległość tę można było obliczyć.
Opierając się na poniższym schemacie i wiedząc, że wysokość miast wynosiła 100 m, oblicz długość mostu.
Prawidłowa odpowiedź: Most powinien mieć długość około 157,73 m.
Długość mostka to suma boków przylegających do podanych kątów. Wywołując wysokość h, mamy:
Obliczanie pod kątem 45°
Obliczanie pod kątem 60°
Aby określić długość mostu, sumujemy otrzymane wartości.
Pytanie 1
Cefet - SP
W trójkącie ABC poniżej CF = 20 cm i BC = 60 cm. Zaznacz pomiary odpowiednio segmentów AF i BE.
a) 5, 15
b) 10, 20
c) 15, 25
d) 20, 10
e) 10, 5
Odpowiedź: b) 10, 20
Aby określić AF
Zauważamy, że AC = AF + CF, więc musimy:
AF = AC - CF (równanie 1)
CF jest dana przez problem, równa 20 cm.
AC można określić za pomocą sinusa 30°.
BC jest dostarczany przez problem, równy 60 cm.
Podstawiając w równaniu 1, otrzymujemy:
Aby określić BE
Pierwsza obserwacja:
Weryfikujemy, czy figura wewnątrz trójkąta jest prostokątem, ze względu na wyznaczone na figurze kąty proste.
Dlatego ich boki są równoległe.
Druga obserwacja:
Odcinek BE tworzy trójkąt prostokątny o kącie 30°, gdzie: wysokość jest równa AF, które właśnie wyznaczyliśmy, a BE jest przeciwprostokątną.
Dokonywanie obliczeń:
Używamy sinusa 30° do określenia BE
pytanie 2
EPCAR-MG
Samolot startuje z punktu B pod stałym nachyleniem 15° do poziomu. 2 km od B jest pionowym rzutem C najwyższego punktu D pasma górskiego o wysokości 600 m, jak pokazano na rysunku.
Dane: cos 15° = 0,97; grzech 15° = 0,26; tg 15° = 0,27
Można powiedzieć, że:
a) Samolot nie zderzy się z piłą przed osiągnięciem 540 m wysokości.
b) Na wysokości 540 m dojdzie do zderzenia samolotu z piłą.
c) Samolot zderzy się z piłą w punkcie D.
d) Jeżeli samolot wystartuje 220 m przed B, zachowując to samo nachylenie, nie dojdzie do kolizji samolotu z piłą.
Odpowiedź: b) Na wysokości 540 m dojdzie do zderzenia samolotu z piłą.
Po pierwsze konieczne jest użycie tej samej wielokrotności jednostki miary długości. Dlatego pojedziemy od 2 km do 2000 m.
Stosując te same początkowe warunki lotu, możemy przewidzieć wysokość, na której samolot znajdzie się w rzucie pionowym punktu C.
Używając stycznej 15° i określając wysokość jako h, mamy:
pytanie 3
ENEM 2018
Do ozdobienia prostego okrągłego walca posłuży prostokątny pasek przezroczystego papieru, na którym pogrubioną czcionką narysowana jest przekątna tworząca 30° z dolną krawędzią. Promień podstawy cylindra wynosi 6/π cm, a podczas nawijania paska uzyskuje się linię w kształcie spirali, jak pokazano na rysunku.
Wartość pomiaru wysokości cylindra w centymetrach wynosi:
a) 36√3
b) 24√3
c) 4√3
d) 36
e) 72
Odpowiedź: b) 24√3
Obserwując figurę zauważamy, że wokół cylindra wykonano 6 zwojów. Ponieważ jest to prosty walec, w dowolnym miejscu na jego wysokości będziemy mieli koło jako podstawę.
Aby obliczyć miarę podstawy trójkąta.
Długość koła można otrzymać ze wzoru:
Gdzie r jest promieniem e, równym ,mamy:
Jak jest 6 okrążeń:
Do obliczenia wzrostu możemy użyć opalenizny 30°.
pytanie 4
ENEM 2017
Promienie słoneczne docierają do powierzchni jeziora pod kątem X do jego powierzchni, jak pokazano na rysunku.
W pewnych warunkach można przyjąć, że światłość tych promieni na tafli jeziora dana jest w przybliżeniu przez I(x) = k. sin (x), k jest stałą i zakładając, że X wynosi od 0° do 90°.
Gdy x = 30º, natężenie światła zmniejsza się do jakiego procenta jego maksymalnej wartości?
A) 33%
B) 50%
C) 57%
D) 70%
E) 86%
Odpowiedź: B) 50%
Zastępując w funkcji wartość sinus 30° otrzymujemy:
Po zmniejszeniu wartości k o połowę, intensywność wynosi 50%.
Ćwicz więcej ćwiczeń w:
Ćwiczenia trygonometrii
Poszerz swoją wiedzę o:
Trygonometria w prawym trójkącie
Relacje metryczne w trójkącie prostokątnym
Trygonometria
