W matematyce zbiory reprezentują zbieranie różnych obiektów, a operacje wykonywane na zbiorach to: suma, przecięcie i różnica.
Skorzystaj z poniższych 10 pytań, aby sprawdzić swoją wiedzę. Wykorzystaj skomentowane postanowienia, aby rozwiać wątpliwości.
Pytanie 1
Rozważ zestawy
A = {1, 4, 7}
B = {1, 3, 4, 5, 7, 8}
Można powiedzieć, że:
a) A b
b) b
c) B TEN
d) B TEN
Prawidłowa alternatywa: b) A B.
Źle. Istnieją elementy B, które nie należą do zbioru A. Dlatego nie możemy powiedzieć, że A zawiera B. Prawidłowe stwierdzenie to B TEN.
b) PRAWIDŁOWE. Zauważ, że wszystkie elementy A są również elementami B. Dlatego możemy powiedzieć, że A jest zawarte w B, A jest częścią B lub że A jest podzbiorem B.
c) ŹLE. Nie ma elementu A, który nie należy do zbioru B. Dlatego nie możemy powiedzieć, że B nie zawiera A.
d) ŹLE. Ponieważ A jest podzbiorem B, to przecięcie zbiorów A i B jest samym zbiorem A: B A = A
pytanie 2
Spójrz na poniższe zestawy i zaznacz poprawną alternatywę.
A = {x|x jest dodatnią wielokrotnością 4}
B = {x|x jest liczbą parzystą, a 4 x
16}
a) 145 TEN
b) 26 A i B
c) 11 b
d) 12 A i B
Prawidłowa alternatywa: d) 12 A i B
Zbiory pytań są reprezentowane przez ich prawa formacyjne. Tak więc zbiór A składa się z dodatnich wielokrotności 4, czyli A = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,…}, a zbiór B zbiera liczby parzyste większe lub równe 4 i mniejsze niż 16. Dlatego B = {4, 6, 8, 10, 12, 14}.
Analizując alternatywy, mamy:
Źle. 145 to liczba kończąca się na 5, a zatem jest wielokrotnością 5.
b) ŹLE. 26, mimo że jest liczbą parzystą, jest większa niż 16, a zatem nie jest częścią zbioru B.
c) ŹLE. 11 nie jest liczbą parzystą, ale liczbą pierwszą, co oznacza, że jest podzielna tylko przez 1 i samą siebie.
d) PRAWIDŁOWE. 12 należy do zbiorów A i B, ponieważ jest wielokrotnością 4 i jest liczbą parzystą większą od 4 i mniejszą od 16.
pytanie 3
Jakie jest możliwe prawo tworzenia zbioru A = {2, 3, 5, 7, 11}?
a) A = {x|x jest liczbą symetryczną, a 2 b) A = {x|x jest liczbą pierwszą, a 1 c) A = {x|x jest dodatnią liczbą nieparzystą, a 1 d) A = {x| x jest liczbą naturalną mniejszą niż 10}
Prawidłowa alternatywa: b) A = {x|x jest liczbą pierwszą, a 1
Źle. Liczby symetryczne, zwane również przeciwieństwami, pojawiają się w tej samej odległości na osi liczbowej. Na przykład 2 i -2 są symetryczne.
b) PRAWIDŁOWE. Przedstawiony zestaw składa się z liczb pierwszych, przy czym 2 to najmniejsza istniejąca liczba pierwsza, a także jedyna, która jest parzysta.
c) ŹLE. Chociaż większość liczb jest nieparzysta, w zestawie jest liczba 2, która jest parzysta.
d) ŹLE. Chociaż wszystkie liczby są naturalne, zbiór zawiera liczbę 11, która jest większa od 10.
pytanie 4
Suma zbiorów A = {x|x jest liczbą pierwszą, a 1
a) A B = {1,2,3,5.7}
b) B = {1,2,3,5.7}
c) B = {1,2,3,5.7}
daje B = {1,2,3,5.7}
Prawidłowa alternatywa: d) A B = {1, 2, 3, 5, 7}
Dla zbioru A = {x|x jest liczbą pierwszą, a 1
A = {2, 3, 5, 7}
B = {1, 3, 5, 7}
Źle. A nie zawiera B, ponieważ element 1 nie jest częścią A.
b) ŹLE. A nie jest zawarte w B, ponieważ element 2 nie jest częścią B.
c) ŹLE. A nie należy do B, ponieważ zbiory mają odrębny element.
d) PRAWIDŁOWE. Związek zbiorów odpowiada połączeniu elementów, które je tworzą i jest reprezentowany przez symbol .
Dlatego połączenie A = {2, 3, 5, 7} i B = {1, 3, 5, 7} to A U B = {1, 2, 3, 5, 7}.
pytanie 5
Wykreśl zbiory A = {-3, - 1, 0, 1, 6, 7}, B = {-4, 1, 3, 5, 6, 7} i C = {-5, - 3, 1, 2, 3, 5} na diagramie Venna, a następnie określ:
a) A b
pne b
c) C - A
d) B (TA
DO)
Poprawna odpowiedź:
a) {1, 6, 7};
b) {-5, -4, -3, 1, 2, 3, 5, 6, 7};
c) {-5, 2, 3, 5} i
d) {1, 3, 5, 6, 7}.
Rozkładając elementy zbiorów na diagramie Venna mamy:
Wykonując operacje na danych zestawach otrzymujemy następujące wyniki:
a) A B = {1, 6, 7}
pne B = {-5, -4, -3, 1, 2, 3, 5, 6, 7}
c) C - A = {-5, 2, 3, 5}
d) B (TA
C) = {1, 3, 5, 6, 7}
pytanie 6
Zwróć uwagę na zakreskowany obszar figury i zaznacz alternatywę, która go reprezentuje.
a) C (TA
B)
b) C - (A B)
c) C (A-B)
d) C (TA
B)
Prawidłowa odpowiedź: b) C – (A B)
Zauważ, że zakreskowany obszar reprezentuje elementy, które nie należą do zestawów A i B. Jest to więc różnica między zestawami, którą wskazujemy (–).
Ponieważ zbiory A i B mają ten sam kolor, możemy powiedzieć, że istnieje reprezentacja unii zbiorów, czyli połączenie elementów A i B, reprezentowane przez A B.
Dlatego możemy powiedzieć, że zakreskowany obszar jest różnicą C od połączenia A i B, czyli C – (A B).
pytanie 7
Na kurs przeduniwersytecki jest zapisanych 600 studentów na pojedyncze przedmioty. 300 uczniów uczęszcza na zajęcia z matematyki, 200 uczniów na zajęcia z języka portugalskiego, a 150 uczniów nie uczęszcza na te przedmioty.
Biorąc pod uwagę studentów zapisanych na kurs (U), studentów matematyki (M) i studentów języka portugalskiego (P), należy ustalić:
a) liczba studentów matematyki lub portugalskich
b) liczba studentów matematyki i portugalskich
Poprawna odpowiedź:
a) n (M P) = 450
b) n (M P) = 50
a) wymagana liczba studentów obejmuje zarówno studentów matematyki, jak i studentów portugalskich. Dlatego musimy znaleźć połączenie dwóch zestawów.
Wynik można obliczyć, odejmując całkowitą liczbę uczniów w szkole od liczby uczniów nie uczęszczających na te przedmioty.
n (M P) = n (U) - 150 = 600 - 150 = 450
b) ponieważ żądany wynik pochodzi od studentów matematyki i języka portugalskiego, musimy znaleźć przecięcie zbiorów, czyli elementy wspólne dla obu zbiorów.
Przecięcie tych dwóch zbiorów możemy obliczyć, dodając liczbę studentów zapisanych na przedmioty Portugalski i Matematyka, a następnie odjęcie liczby uczniów studiujących te dwa przedmioty jednocześnie czas.
n (M P) = n (M) + n (P) - n (M
P) = 300 + 200 - 450 = 50
pytanie 8
Zestawy liczbowe obejmują następujące zbiory: Naturals (ℕ), Integer (ℤ), Racjonalność (ℚ), Irracjonalne (I), Real () i Kompleksy (ℂ). Na wspomnianych zestawach zaznacz definicję odpowiadającą każdemu z nich.
1. liczby naturalne |
( ) obejmuje wszystkie liczby, które można zapisać jako ułamek, z licznikiem i mianownikiem liczb całkowitych. |
| 2. liczby całkowite | ( ) odpowiada zjednoczeniu racjonalności z irracjonalnymi. |
| 3. liczby wymierne | ( ) są liczbami dziesiętnymi, nieskończonymi i nieokresowymi i nie mogą być reprezentowane przez ułamki nieredukowalne. |
| 4. liczby niewymierne | ( ) tworzą liczby, których używamy w liczeniach {0,1,2,3,4,5,6,7,8,...} |
| 5. liczby rzeczywiste | ( ) obejmuje pierwiastki typu √-n. |
| 6. Liczby zespolone | ( ) gromadzi wszystkie elementy liczb naturalnych i ich przeciwieństwa. |
Prawidłowa odpowiedź: 3, 5, 4, 1, 6, 2.
(3) liczby wymierne obejmują wszystkie liczby, które można zapisać jako ułamek, z licznikiem i mianownikiem liczb całkowitych. Ten zestaw zawiera podziały niedokładne. ℚ = {x = a/b, gdzie a ∈ ℤ, b ∈ ℤ i b ≠ 0}
(5) liczby rzeczywiste odpowiadają połączeniu wymiernych z niewymiernymi, czyli = ℚ ∪ I.
(4) liczby niewymierne są to liczby dziesiętne, nieskończone i nieokresowe i nie mogą być reprezentowane przez ułamki nieredukowalne. Liczby w tej grupie wynikają z operacji, których wyniku nie można zapisać jako ułamek. Na przykład do √ 2.
(1) liczby naturalne są tworzone przez liczby, których używamy w obliczeniach ℕ = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,...}.
(6) Liczby zespolone obejmują pierwiastki typu √-n i tak jest rozszerzeniem liczb rzeczywistych.
(2) wszystkie liczby łączą wszystkie elementy liczb naturalnych i ich przeciwieństwa. Aby móc rozwiązać wszystkie odejmowania, np. 7 - 10, rozszerzono zbiór liczb naturalnych, uzyskując w ten sposób zbiór liczb całkowitych. ℤ= {..., -3,-2,-1,0,1,2,3,...}
pytanie 9
(Dostosowane przez UNB) Od 200 osób, które zostały przebadane na temat ich preferencji w oglądaniu mistrzostw wyścigowych w telewizji, zebrano następujące dane:
- 55 respondentów nie ogląda;
- 101 oglądać wyścigi Formuły 1;
- 27 ogląda wyścigi Formuły 1 i motocyklowe;
Ile osób, z którymi przeprowadzono wywiady, ogląda wyłącznie wyścigi motocyklowe?
a) 32
b) 44
c) 56
d) 28
Prawidłowa odpowiedź: b) 44.
Krok 1: Określ całkowitą liczbę osób oglądających wyścigi
W tym celu wystarczy odjąć całkowitą liczbę respondentów od tych, którzy zadeklarowali, że nie będą uczestniczyć w mistrzostwach wyścigowych.
200 - 55 = 145 osób
Krok 2: oblicz liczbę osób, które oglądają tylko wyścigi motocyklowe
74 + 27 + (x – 27) = 145
x + 74 = 145
x = 145 - 74
x = 71
Odejmując wartość x od przecięcia tych dwóch zbiorów, otrzymujemy liczbę respondentów, którzy oglądają tylko wyścigi motocyklowe.
71 - 27 = 44
pytanie 10
(UEL-PR) W tym czasie trzy kanały telewizyjne miały w swoim programie opery mydlane w swojej największej oglądalności: telenowela A na kanale A, telenowela B na kanale B i telenowela C na kanale C. W ankiecie przeprowadzonej wśród 3000 osób zapytano, jakie opery mydlane im się podobają. Poniższa tabela wskazuje liczbę widzów, którzy uznali opery mydlane za przyjemne.
| Opera mydlana | Liczba widzów |
| TEN | 1450 |
| b | 1150 |
| DO | 900 |
| A i B | 350 |
| A i C | 400 |
| B i C | 300 |
| A, B i C | 100 |
Ilu widzów, z którymi przeprowadzono wywiady, nie uważa żadnej z trzech oper mydlanych za przyjemne?
a) 300 widzów.
b) 370 widzów.
c) 450 widzów.
d) 470 widzów.
e) 500 widzów.
Prawidłowa odpowiedź: c) 450 widzów.
Jest 450 widzów, którym żadna z trzech telenoweli nie jest przyjemna.
Dowiedz się więcej, zapoznając się z następującymi tekstami:
- Teoria mnogości
- Operacje na zestawach
- Zbiory numeryczne
- Ćwiczenia na zbiorach liczbowych
