Liczby zespolone to liczby złożone z części rzeczywistej i urojonej.
Reprezentują zbiór wszystkich par uporządkowanych (x, y), których elementy należą do zbioru liczb rzeczywistych (R).
Zbiór liczb zespolonych jest oznaczony przez DO i określone przez operacje:
- Równość: (a, b) = (c, d) ↔ a = c i b = d
- Dodanie: (a, b) + (c, d) = (a + b + c + d)
- Mnożenie: (a, b). (c, d) = (ac – bd, ad + bc)
Jednostka urojona (i)
Wskazane literą ja, jednostką urojoną jest para uporządkowana (0, 1). Wkrótce:
ja. i = -1 ↔ i2 = –1
A zatem, ja jest pierwiastkiem kwadratowym z –1.
Forma algebraiczna Z
Forma algebraiczna Z służy do reprezentowania liczby zespolonej za pomocą wzoru:
Z = x + yi
Gdzie:
- x jest liczbą rzeczywistą wskazaną przez x = Re (Z), nazywaną prawdziwa część z.
- tak jest liczbą rzeczywistą wskazaną przez y = Im(Z), nazywaną część urojona Z.
Sprzężona liczba zespolona
Sprzężenie liczby zespolonej jest oznaczone przez z, określony przez z = a - bi. W ten sposób wymieniany jest znak jego części urojonej.
Więc jeśli z = a + bi, to z = a – bi
Gdy pomnożymy liczbę zespoloną przez jej sprzężenie, otrzymamy liczbę rzeczywistą.
Równość między liczbami zespolonymi
Będąc dwiema liczbami zespolonymi Z1 = (a, b) i Z2 = (c, d), są równe, gdy a = c i b = d. Dzieje się tak, ponieważ mają identyczne części rzeczywiste i urojone. A zatem:
a + bi = c + di Gdy a = c i b = d
Operacje na liczbach zespolonych
Przy liczbach zespolonych możliwe jest wykonywanie operacji dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia. Sprawdź definicje i przykłady poniżej:
Dodanie
Z1 + Z2 = (a + c, b + d)
W postaci algebraicznej mamy:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + i (b + d)
Przykład:
(2 +3i) + (–4 + 5i)
(2 - 4) + ja (3 + 5)
-2 + 8i
Odejmowanie
Z1 – Z2 = (a - c, b - d)
W postaci algebraicznej mamy:
(a + bi) - (c + di) = (a - c) + i (b - d)
Przykład:
(4 - 5i) - (2 + i)
(4 – 2) + ja (–5 –1)
2 - 6i
Mnożenie
(a, b). (c, d) = (ac – bd, ad + bc)
W formie algebraicznej używamy własności rozdzielności:
(a + bi). (c + di) = ac + adi + bci + bdi2 (ja2 = –1)
(a + bi). (c + di) = ac + adi + bci – bd
(a + bi). (c + di) = (ac - bd) + i (ad + bc)
Przykład:
(4 + 3i). (2–5i)
8 – 20i + 6i – 15i2
8 - 14i + 15
23 – 14i
Podział
Z1/Z2 = Z3
Z1 = Z2. Z3
W powyższej równości, jeśli Z3 = x + yi, mamy:
Z1 = Z2. Z3
a + bi = (c + di). (x + yi)
a + bi = (cx - dy) + i (cy + dx)
Z układu niewiadomych x i y mamy:
cx - dy = a
dx + cy = b
Wkrótce,
x = ac + bd/c2 + d2
y = bc - ad/c2 + d2
Przykład:
2 - 5i/i
2 – 5i/. (– w)/ (– w)
-2i +5i2/–i2
5 – 2i
Ćwiczenia na egzamin wstępny z informacją zwrotną
1. (UF-TO) Rozważ ja urojona jednostka liczb zespolonych. Wartość wyrażenie (i + 1)8 é:
a) 32i
b) 32
c) 16
d) 16i
Alternatywa c: 16
2. (UEL-PR) Liczba zespolona z, która sprawdza równanie iz – 2w (1 + i) = 0 (w wskazuje sprzężenie z) to:
a) z = 1 + i
b) z = (1/3) - i
c) z = (1 - i)/3
d) z = 1 + (i/3)
e) z = 1 - i
Alternatywa e: z = 1 - i
3. (Vunesp-SP) Rozważmy liczbę zespoloną z = cos π/6 + i sin π/6. wartość z3 + Z6 + Z12 é:
tam
b) ½ +√3/2i
c) ja – 2
d) ja
e) 2i
Alternatywa d: ja
Sprawdź więcej pytań, z komentowanym rozwiązaniem, w Ćwiczenia na liczbach zespolonych.
Lekcje wideo
Aby poszerzyć swoją wiedzę o liczbach zespolonych, obejrzyj wideo ”Wprowadzenie do liczb zespolonych"
Historia liczb zespolonych
Odkrycia liczb zespolonych dokonano w XVI wieku dzięki wkładowi matematyka Girolamo Cardano (1501-1576).
Jednak dopiero w XVIII wieku badania te zostały sformalizowane przez matematyka Carla Friedricha Gaussa (1777-1855).
Był to duży krok naprzód w matematyce, ponieważ liczba ujemna ma pierwiastek kwadratowy, co do czasu odkrycia liczb zespolonych uważano za niemożliwe.
Aby dowiedzieć się więcej, zobacz także
- Zbiory numeryczne
- Wielomiany
- liczby niewymierne
- Równanie pierwszego stopnia
- Wzmocnienie i promieniowanie
