Obliczanie macierzy odwrotnej: właściwości i przykłady

Macierz odwrotna lub macierz odwracalna to rodzaj macierz kwadratowa, czyli ma taką samą liczbę wierszy (m) i kolumn (n).

Występuje, gdy iloczyn dwóch macierzy daje a macierz tożsamości tego samego rzędu (taka sama liczba wierszy i kolumn).

Tak więc, aby znaleźć odwrotność macierzy, stosuje się mnożenie.

TEN. B = B. A = I_Nie (gdy macierz B jest odwrotnością macierzy A)

Ale czym jest macierz tożsamości?

TEN Macierz jednostkowa jest definiowany, gdy wszystkie elementy głównej przekątnej są równe 1, a pozostałe elementy są równe 0 (zero). Wskazuje na to I_Nie:

Właściwości macierzy odwrotnej

• Każda macierz ma tylko jedną odwrotność.
• Nie wszystkie macierze mają macierz odwrotną. Jest odwracalna tylko wtedy, gdy iloczyny macierzy kwadratowych dają macierz jednostkową (I_Nie)
• Macierz odwrotna odwrotności odpowiada samej macierzy: A = (A^-1)^-1
• Macierz transponowana z macierzy odwrotnej jest również odwrotna: (A^t) ^-1 = (A^-1)^t
• Macierz odwrotna transponowanej macierzy odpowiada transpozycji odwrotności: (A^-1 TEN^t)-1
• Macierz odwrotna macierzy jednostkowej jest równa macierzy jednostkowej: I^-1 = I

Zobacz też: Matryce

Przykłady macierzy odwrotnej

Odwrócona macierz 2x2

Odwrócona macierz 3x3

Krok po kroku: Jak obliczyć macierz odwrotną?

Wiemy, że jeśli iloczyn dwóch macierzy jest równy macierzy jednostkowej, to macierz ta ma odwrotność.

Zauważ, że jeśli macierz A jest odwrotnością macierzy B, to stosuje się notację: A^-1.

Przykład: Znajdź odwrotność macierzy poniżej rzędu 3x3.

Przede wszystkim musimy pamiętać, że A. TEN^-1 = I (macierz pomnożona przez jej odwrotność da w wyniku macierz jednostkową I_Nie).

Każdy element pierwszego rzędu pierwszej macierzy jest mnożony przez każdą kolumnę drugiej macierzy.

Dlatego elementy drugiego rzędu pierwszej macierzy są mnożone przez kolumny drugiej.

I wreszcie trzeci rząd pierwszego z kolumnami drugiego:

Dopasowując elementy do macierzy tożsamości możemy odkryć wartości:

a = 1
b = 0
c = 0

Znając te wartości, możemy obliczyć inne niewiadome w macierzy. W trzecim wierszu i pierwszej kolumnie pierwszej macierzy mamy a + 2d = 0. Zacznijmy więc od znalezienia wartości re, zastępując znalezione wartości:

1 + 2d = 0
2d = -1
d = -1/2

Podobnie w trzecim wierszu i drugiej kolumnie możemy znaleźć wartość i:

b + 2e = 0
0 + 2e = 0
2e = 0
e = 0/2
e = 0

Kontynuując, mamy w trzecim wierszu trzeciej kolumny: c + 2f. Zauważ, że druga macierz jednostkowa tego równania nie jest równa zero, ale równa 1.

c + 2f = 1
0 + 2f = 1
2f = 1
f = ½

Przechodząc do drugiego wiersza i pierwszej kolumny znajdziemy wartość sol:

a + 3d + g = 0
1 + 3. (-1/2) + g = 0
1 - 3/2 + g = 0
g = -1 + 3/2
g = ½

W drugim wierszu i drugiej kolumnie możemy znaleźć wartość H:

b + 3e + h = 1
0 + 3. 0 + h = 1
h = 1

Na koniec znajdźmy wartość ja równaniem drugiego rzędu i trzeciej kolumny:

c + 3f + i = 0
0 + 3 (1/2) + i = 0
3/2 + i = 0
ja = 3/2

Po odkryciu wszystkich nieznanych wartości możemy znaleźć wszystkie elementy składające się na macierz odwrotną A:

Ćwiczenia na egzamin wstępny z informacją zwrotną

1. (Cefet-MG) Matryca jest odwrotnością
Można słusznie powiedzieć, że różnica (x-y) jest równa:

a) -8
b) -2
c) 2
d) 6
e) 8

Zobacz odpowiedź

Alternatywa e: 8

2. (UF Viçosa-MG) Niech macierze będą:

Gdzie x i y są liczbami rzeczywistymi, a M jest macierzą odwrotną A. Zatem iloczyn xy to:

a) 3/2
b) 2/3
c) 1/2
d) 3/4
e) 1/4

Zobacz odpowiedź

Alternatywa dla: 3/2

3. (PUC-MG) Odwrotna macierz macierzy to to samo co:

)
B)
do)
re)
i)

Zobacz odpowiedź

Alternatywa b:

Przeczytaj też:

• Matryce - Ćwiczenia
• Macierze i wyznaczniki
• Rodzaje matryc
• Transponowana macierz
• Mnożenie macierzy