TEN równanie drugiego stopnia otrzymuje swoją nazwę, ponieważ jest równaniem wielomianowym, którego człon o najwyższym stopniu jest podniesiony do kwadratu. Nazywany również równaniem kwadratowym, jest reprezentowany przez:
topór2 + bx + c = 0
W równaniu drugiego stopnia x jest nieznaną i reprezentuje nieznaną wartość. już teksty , b i do nazywane są współczynnikami równania.
Współczynniki są liczbami rzeczywistymi, a współczynnik musi być różne od zera, w przeciwnym razie staje się równaniem pierwszego stopnia.
Rozwiązanie równania drugiego stopnia oznacza szukanie rzeczywistych wartości x, które sprawiają, że równanie jest prawdziwe. Te wartości nazywane są pierwiastkami równania.
Równanie kwadratowe ma co najwyżej dwa pierwiastki rzeczywiste.
Kompletne i niekompletne równania liceum
Równania II stopnia kompletny to te, które mają wszystkie współczynniki, to znaczy a, b i c są różne od zera (a, b, c ≠ 0).
Na przykład równanie 5x2 + 2x + 2 = 0 jest zupełne, ponieważ wszystkie współczynniki są niezerowe (a = 5, b = 2 i c = 2).
Równanie kwadratowe to niekompletny gdy b = 0 lub c = 0 lub b = c = 0. Na przykład równanie 2x2 = 0 jest niekompletne, ponieważ a = 2, b = 0 i c = 0
Rozwiązane ćwiczenia
1) Określ wartości x które tworzą równanie 4x2 -16 = 0 prawda.
Rozwiązanie:
Podane równanie jest niepełnym równaniem drugiego stopnia, gdzie b = 0. Dla równań tego typu możemy rozwiązać, izolując x. A zatem:
Zauważ, że pierwiastek kwadratowy z 4 może wynosić 2 i -2, ponieważ te dwie liczby do kwadratu dają 4.
Czyli pierwiastki równania 4x2 - 16 = 0 are x = - 2 i x = 2
2) Znajdź wartość x tak, aby obszar prostokąta poniżej był równy 2.
Rozwiązanie:
Powierzchnia prostokąta znajduje się poprzez pomnożenie podstawy przez wysokość. Musimy więc pomnożyć podane wartości i równe 2.
(x-2). (x-1) = 2
Teraz pomnóżmy wszystkie terminy:
x. x - 1. x - 2. x - 2. (- 1) = 2
x2 - 1x - 2x + 2 = 2
x2 - 3x + 2 - 2 = 0
x2 - 3x = 0
Po rozwiązaniu mnożeń i uproszczeń znajdujemy niepełne równanie kwadratowe, gdzie c = 0.
Ten typ równania można rozwiązać za pomocą faktoryzacja, ponieważ x powtarza się w obu kategoriach. Więc zamierzamy to udowodnić.
x. (x - 3) = 0
Aby iloczyn był równy zero, albo x = 0, albo (x - 3) = 0. Jednak zastępując x o zero, pomiary boczne są ujemne, więc ta wartość nie będzie odpowiedzią na pytanie.
Mamy więc, że jedynym możliwym wynikiem jest (x - 3) = 0. Rozwiązywanie tego równania:
x-3 = 0
x = 3
W ten sposób wartość x tak, aby powierzchnia prostokąta była równa 2 is x = 3.
Formuła Bhaskary
Gdy równanie kwadratowe jest kompletne, używamy Formuła Bhaskary znaleźć pierwiastki równania.
Wzór został przedstawiony poniżej:
Formuła delta
We wzorze Bhaskary pojawia się litera grecka (delta), który nazywa się dyskryminatorem równania, ponieważ według jego wartości można poznać liczbę pierwiastków równania.
Do obliczenia delty używamy następującego wzoru:
Krok po kroku
Aby rozwiązać równanie drugiego stopnia, korzystając ze wzoru Bhaskary, musimy wykonać następujące kroki:
Pierwszy krok: Zidentyfikuj współczynniki , b i do.
Terminy równania nie zawsze pojawiają się w tej samej kolejności, dlatego ważne jest, aby wiedzieć, jak zidentyfikować współczynniki, niezależnie od kolejności, w jakiej się znajdują.
współczynnik jest liczbą związaną z x2, O b to numer, który towarzyszy x to jest do jest wyrazem niezależnym, to znaczy liczbą, która pojawia się bez x.
Drugi krok: Oblicz deltę.
Aby obliczyć pierwiastki, trzeba znać wartość delty. W tym celu zastępujemy litery we wzorze wartościami współczynników.
Z wartości delta możemy z góry wiedzieć, ile pierwiastków będzie miało równanie drugiego stopnia. Oznacza to, że jeśli wartość Δ jest większa od zera (Δ > 0), równanie będzie miało dwa rzeczywiste i odrębne pierwiastki.
Jeśli wręcz przeciwnie, delta jest mniejsza od zera (Δ ), równanie nie będzie miało pierwiastków rzeczywistych i jeśli jest równe zero (Δ = 0), równanie będzie miało tylko jeden pierwiastek.
Krok 3: Oblicz korzenie.
Jeśli znaleziona wartość delta jest ujemna, nie trzeba wykonywać więcej obliczeń, a odpowiedź brzmi, że równanie nie ma prawdziwych pierwiastków.
Jeśli wartość delta jest równa lub większa od zera, musimy zastąpić wszystkie litery ich wartościami we wzorze Bhaskary i obliczyć pierwiastki.
Ćwiczenie rozwiązane
Wyznacz pierwiastki równania 2x2 - 3x - 5 = 0
Rozwiązanie:
Aby to rozwiązać, musimy najpierw zidentyfikować współczynniki, więc mamy:
a = 2
b = - 3
c = - 5
Teraz możemy znaleźć wartość delta. Musimy być ostrożni z regułami znaków i pamiętać, że najpierw musimy rozwiązać potencjonowanie i mnożenie, a następnie dodawanie i odejmowanie.
Δ = (- 3)2 - 4. (- 5). 2 = 9 +40 = 49
Ponieważ znaleziona wartość jest dodatnia, znajdziemy dwie różne wartości dla pierwiastków. Zatem musimy dwukrotnie rozwiązać wzór Bhaskary. Więc mamy:
Czyli pierwiastki równania 2x2 - 3x - 5 = 0 are x = 5/2 i x = - 1.
System równań drugiego stopnia
Gdy chcemy znaleźć wartości dwóch różnych niewiadomych, które jednocześnie spełniają dwa równania, mamy a układ równań.
Równania składające się na system mogą być pierwszego i drugiego stopnia. Do rozwiązania tego rodzaju systemu możemy wykorzystać metodę substytucji i metodę dodawania.
Ćwiczenie rozwiązane
Rozwiąż poniższy system:
Rozwiązanie:
Do rozwiązania systemu możemy wykorzystać metodę dodawania. W tej metodzie dodajemy podobne terminy z pierwszego równania do tych z drugiego równania. W ten sposób redukujemy system do jednego równania.
Nadal możemy uprościć wszystkie wyrazy w równaniu o 3, a wynikiem będzie równanie x2 - 2x - 3 = 0. Rozwiązując równanie, mamy:
Δ = 4 - 4. 1. (- 3) = 4 + 12 = 16
Po znalezieniu wartości x nie zapominajmy, że nadal musimy znaleźć wartości y, które sprawiają, że system jest prawdziwy.
Aby to zrobić, wystarczy zastąpić wartości znalezione dla x w jednym z równań.
tak1 - 6. 3 = 4
tak1 = 4 + 18
tak1 = 22
tak2 - 6. (-1) = 4
tak2 + 6 = 4
tak2 = - 2
Dlatego wartościami, które spełniają proponowany system, są: (3, 22) i (-1, - 2)
Możesz być zainteresowanym także tym Równanie pierwszego stopnia.
Ćwiczenia
Pytanie 1
Rozwiąż pełne równanie kwadratowe za pomocą wzoru Bhaskary:
2x2 + 7x + 5 = 0
Przede wszystkim ważne jest obserwowanie każdego współczynnika w równaniu, dlatego:
a = 2
b = 7
c = 5
Poprzez wzór na wyróżnik równania musimy znaleźć wartość Δ.
Ma to na celu późniejsze znalezienie pierwiastków równania za pomocą wzoru ogólnego lub wzoru Bhaskary:
Δ = 72 – 4. 2. 5
Δ = 49 - 40
Δ = 9
Zauważ, że jeśli wartość Δ jest większa od zera (Δ > 0), równanie będzie miało dwa rzeczywiste i odrębne pierwiastki.
Tak więc, po znalezieniu Δ, zamieńmy go we wzorze Bhaskary:
Dlatego wartości dwóch prawdziwych pierwiastków to: x1 = - 1 i x2 = - 5/2
Sprawdź więcej pytań na Równanie liceum - ćwiczenia
pytanie 2
Rozwiąż niekompletne równania drugiego stopnia:
a) 5x2 – x = 0
Najpierw szukamy współczynników równania:
a=5
b= - 1
c = 0
Jest to niepełne równanie, gdzie c = 0.
Aby to obliczyć, możemy użyć faktoryzacji, która w tym przypadku jest postawieniem x w dowodach.
5x2 – x = 0
x. (5x-1) = 0
W tej sytuacji iloczyn będzie równy zero, gdy x = 0 lub gdy 5x -1 = 0. Obliczmy więc wartość x:
Tak więc pierwiastki równania to x1 = 0 i x2 = 1/5.
b) 2x2 – 2 = 0
a = 2
b = 0
c = - 2
Jest to niepełne równanie drugiego stopnia, gdzie b = 0, jego obliczenie można wykonać, izolując x:
x1 = 1 i x2 = - 1
Zatem dwa pierwiastki równania to x1 = 1 i x2 = - 1
c) 5x2 = 0
a = 5
b = 0
c = 0
W tym przypadku niepełne równanie przedstawia współczynniki b i c równe zero (b = c = 0):
Dlatego pierwiastki tego równania mają wartości have x1 = x2 = 0
Aby dowiedzieć się więcej, przeczytaj także:
- Funkcja kwadratowa
- Suma i produkt
- nierówność
- irracjonalne równania
- Wierzchołek paraboli
