Jeden równanie drugiego stopnia jest całe równanie w postaci topór2 + bx + c = 0, z liczbami rzeczywistymi a, b i c oraz a ≠ 0. Aby rozwiązać równanie tego typu, możesz użyć różnych metod.
Skorzystaj z skomentowanych rozwiązań poniższych ćwiczeń, aby rozwiać wszystkie swoje wątpliwości. Upewnij się również, że sprawdziłeś swoją wiedzę za pomocą rozwiązanych pytań konkursowych.
Ćwiczenia z komentarzem
Ćwiczenie 1
Wiek mojej mamy pomnożony przez mój wiek wynosi 525. Jeśli kiedy się urodziłem, moja mama miała 20 lat, ile mam lat?
Rozwiązanie
Biorąc pod uwagę mój wiek równy x, możemy wtedy uznać, że wiek mojej mamy jest równy x + 20. Skąd znamy wartość produktu naszych czasów, to:
x. (x + 20) = 525
Stosując do rozdzielczych własności mnożenia:
x2 + 20 x - 525 = 0
Następnie dochodzimy do pełnego równania drugiego stopnia, gdzie a = 1, b = 20 i c = - 525.
Aby obliczyć pierwiastki równania, czyli wartości x, gdzie równanie jest równe zeru, użyjmy wzoru Bhaskary.
Najpierw musimy obliczyć wartość ∆:
Aby obliczyć korzenie, używamy:
Zastępując wartości w powyższym wzorze, znajdziemy pierwiastki równania w następujący sposób:
Ponieważ mój wiek nie może być ujemny, gardzimy wartością -35. Więc wynik jest 15 lat.
Ćwiczenie 2
Kwadrat przedstawiony na poniższym rysunku ma kształt prostokąta, a jego powierzchnia wynosi 1 350 m2. Wiedząc, że jego szerokość odpowiada 3/2 jego wysokości, określ wymiary kwadratu.
Rozwiązanie
Biorąc pod uwagę, że jego wysokość jest równa x, szerokość będzie wtedy równa 3/2x. Powierzchnia prostokąta jest obliczana poprzez pomnożenie jego podstawy przez wartość wysokości. W tym przypadku mamy:
Dochodzimy do niekompletnego równania drugiego stopnia, przy a = 3/2, b = 0 i c = - 1350, możemy obliczyć ten typ równania, wyodrębniając x i obliczając pierwiastek kwadratowy.
Ponieważ wartość x reprezentuje miarę wysokości, pominiemy -30. Zatem wysokość prostokąta wynosi 30 m. Aby obliczyć szerokość, pomnóżmy tę wartość przez 3/2:
Dlatego szerokość kwadratu jest równa 45 m² a jego wysokość jest równa 30 m².
Ćwiczenie 3
Zatem x = 1 jest pierwiastkiem równania 2ax2 + (2.2 - a - 4) x - (2 + a2) = 0, wartości a powinny wynosić:
a) 3 i 2
b) - 1 i 1
c) 2 i - 3
d) 0 i 2
e) - 3 i - 2
Rozwiązanie
Aby znaleźć wartość a, zamieńmy najpierw x na 1. W ten sposób równanie będzie wyglądać tak:
2.a.12 + (2.2 - do - 4). 1 - 2 - a2 = 0
2. + 2.2 - do - 4 - 2 - do2 = 0
2 + do - 6 = 0
Teraz musimy obliczyć pierwiastek z pełnego równania drugiego stopnia, do tego użyjemy wzoru Bhaskary.
Dlatego właściwą alternatywą jest litera C.
Pytania konkursowe
1) Epcar - 2017
Rozważ w ℝ równanie (m+2) x2 - 2mx + (m - 1) = 0 w zmiennej x, gdzie m to liczba rzeczywista inna niż – 2.
Przejrzyj poniższe stwierdzenia i oceń je jako V (PRAWDA) lub F (FAŁSZ).
( ) Dla wszystkich m > 2 równanie ma pusty zbiór rozwiązań.
( ) Istnieją dwie rzeczywiste wartości m dla równania dopuszczającego równe pierwiastki.
( ) W równaniu, jeśli ∆ >0, to m może przyjmować tylko wartości dodatnie.
Prawidłowa sekwencja to
a) V - V - V
b) F - V - F
c) F - F - V
d) V - F - F
Przyjrzyjmy się każdemu ze stwierdzeń:
Dla wszystkich m > 2 równanie ma pusty zbiór rozwiązań
Ponieważ równanie jest drugiego stopnia w ℝ, nie będzie miało rozwiązania, gdy delta jest mniejsza od zera. Obliczając tę wartość, mamy:
Więc pierwsze stwierdzenie jest prawdziwe.
Istnieją dwie rzeczywiste wartości m dla równania dopuszczającego równe pierwiastki.
Równanie będzie miało równe pierwiastki rzeczywiste, gdy Δ=0, czyli:
- 4m + 8 =0
m=2
Dlatego zdanie jest fałszywe, ponieważ istnieje tylko jedna wartość m, której pierwiastki są rzeczywiste i równe.
W równaniu, jeśli ∆ >0, to m może przyjmować tylko wartości dodatnie.
Dla Δ>0 mamy:
Ponieważ w zbiorze nieskończonych liczb rzeczywistych znajdują się liczby ujemne mniejsze niż 2, to stwierdzenie jest również fałszywe.
Alternatywa d: V-F-F
2) Coltec - UFMG - 2017
Laura musi rozwiązać równanie II stopnia w „domu”, ale zdaje sobie sprawę, że kopiując z tablicy do zeszytu, zapomniała skopiować współczynnik x. Aby rozwiązać równanie, zapisał je następująco: 4x2 + topór + 9 = 0. Ponieważ wiedziała, że równanie ma tylko jedno rozwiązanie, a to jest dodatnie, była w stanie wyznaczyć wartość a, która jest
a) – 13
b) – 12
c) 12
d) 13
Gdy równanie drugiego stopnia ma jedno rozwiązanie, delta ze wzoru Bhaskary jest równa zeru. Aby znaleźć wartość , wystarczy obliczyć deltę, wyrównując jej wartość do zera.
Więc jeśli a = 12 lub a = -12 równanie będzie miało tylko jeden pierwiastek. Jednak nadal musimy sprawdzić, która z wartości wynikiem będzie pozytywny korzeń.
W tym celu znajdźmy pierwiastek, dla wartości .
Zatem dla a = -12 równanie będzie miało tylko jeden pierwiastek i wartość dodatnią.
Alternatywa b: -12
3) Wróg - 2016
Tunel musi być uszczelniony betonową osłoną. Przekrój tunelu i betonowa otulina mają kontury łuku paraboli i te same wymiary. Aby określić koszt pracy, inżynier musi obliczyć powierzchnię pod danym łukiem parabolicznym. Wykorzystując oś poziomą na poziomie gruntu i oś symetrii paraboli jako oś pionową otrzymał następujące równanie dla paraboli:
y = 9 - x2, gdzie x i y są mierzone w metrach.
Wiadomo, że powierzchnia pod taką parabolą jest równa 2/3 powierzchni prostokąta, którego wymiary są odpowiednio równe podstawie i wysokości wejścia do tunelu.
Jaka jest powierzchnia czoła otuliny betonowej w metrach kwadratowych?
a) 18
b) 20
c) 36
d) 45
e) 54
Aby rozwiązać ten problem, musimy znaleźć pomiary podstawy i wysokości wejścia do tunelu, ponieważ problem mówi nam, że powierzchnia frontu jest równa 2/3 powierzchni prostokąta o tych wymiarach.
Te wartości zostaną znalezione z podanego równania II stopnia. Parabola tego równania ma odrzuconą wklęsłość, ponieważ współczynnik jest ujemny. Poniżej znajduje się zarys tej przypowieści.
Z wykresu widać, że miara podstawy tunelu zostanie znaleziona poprzez obliczenie pierwiastków równania. Już jego wysokość będzie równa mierze wierzchołka.
Aby obliczyć pierwiastki, obserwujemy, że równanie 9 - x2 jest niekompletny, więc możemy znaleźć jego pierwiastki, przyrównując równanie do zera i izolując x:
W związku z tym pomiar podstawy tunelu będzie równy 6 m, czyli odległość między dwoma korzeniami (-3 i 3).
Patrząc na wykres widzimy, że punkt wierzchołkowy odpowiada wartości na osi y, gdzie x jest równe zero, więc mamy:
Teraz, gdy znamy wymiary podstawy i wysokości tunelu, możemy obliczyć jego powierzchnię:
Alternatywa c: 36
4) Cefet - RJ - 2014
Dla jakiej wartości "a" równanie (x - 2).(2ax - 3) + (x - 2)).(-ax + 1) = 0 ma dwa pierwiastki i jest równe?
do 1
b) 0
c) 1
d) 2
Aby równanie drugiego stopnia miało dwa równe pierwiastki, konieczne jest, aby Δ=0, czyli b2-4ac=0. Przed obliczeniem delty musimy zapisać równanie w postaci ax2 + bx + c = 0.
Możemy zacząć od zastosowania własności rozdzielności. Zauważmy jednak, że (x - 2 ) powtarza się w obu terminach, więc postawmy to na dowód:
(x - 2) (2x -3 - topór + 1) = 0
(x - 2) (x -2) = 0
Teraz dystrybuując produkt mamy:
topór2 - 2x - 2x + 4 = 0
Obliczając Δ i równe zeru, znajdujemy:
Więc gdy a = 1, równanie będzie miało dwa równe pierwiastki.
Alternatywa c: 1
Aby dowiedzieć się więcej, zobacz także:
- Równanie drugiego stopnia
- Równanie pierwszego stopnia
- Funkcja kwadratowa
- Funkcja kwadratowa - ćwiczenia
- Funkcja liniowa
- Powiązane ćwiczenia funkcyjne
