mmc i mdc reprezentują odpowiednio najmniejszą wspólną wielokrotność i największy wspólny dzielnik między dwiema lub większą liczbą liczb.
Nie przegap okazji, aby wyjaśnić wszystkie swoje wątpliwości poprzez skomentowane i rozwiązane ćwiczenia, które prezentujemy poniżej.
Proponowane ćwiczenia
Ćwiczenie 1
W odniesieniu do liczb 12 i 18 wyznacz bez uwzględniania 1.
a) Dzielniki po 12.
b) Dzielniki 18.
c) Wspólne dzielniki 12 i 18.
d) Największy wspólny dzielnik 12 i 18.
a) 2, 3, 4, 6 i 12.
b) 2, 3, 6, 9, 18.
c) 2, 3 i 6
d) 6
Ćwiczenie 2
Oblicz MMC i MDC między 36 a 44.
Ćwiczenie 3
Rozważmy liczbę x, naturalną. Następnie sklasyfikuj stwierdzenia jako prawdziwe lub fałszywe i uzasadnij.
a) Największym wspólnym dzielnikiem 24 i x może być 7.
b) Największym wspólnym dzielnikiem 55 i 15 może być 5.
a) Nie, ponieważ 7 nie jest dzielnikiem 24.
b) Tak, ponieważ 5 jest wspólnym dzielnikiem między 55 a 15.
Ćwiczenie 4
Podczas prezentacji z okazji premiery nowego samochodu wyścigowego zespołu TodaMatéria odbył się niezwykły wyścig. Uczestniczyły w nim trzy pojazdy: samochód startowy, samochód z zeszłego sezonu i zwykły samochód osobowy.
Obwód jest owalny, trzy zaczynały się razem i utrzymywały stałe prędkości. Samochód startowy potrzebuje 6 minut na ukończenie okrążenia. Samochodowi z poprzedniego sezonu pokonanie jednego okrążenia zajmuje 9 minut, a samochodowi osobowemu 18 minut.
Po rozpoczęciu wyścigu, ile czasu zajmie im ponowne przejście przez ten sam punkt startowy?
Do ustalenia konieczne jest obliczenie mmc (6, 9, 18).
Więc przeszli przez ten sam punkt wyjścia 18 minut później.
Ćwiczenie 5
W jednej konfekcji znajdują się rolki siatki o wymiarach 120, 180 i 240 centymetrów. Będziesz musiał pociąć tkaninę na równe kawałki, jak największe, i nic nie zostanie. Jaka będzie maksymalna długość każdego paska siatki?
Aby to ustalić, musimy obliczyć mdc (120,180,240).
Najdłuższa możliwa długość bez nawisów wyniesie 60cm.
Ćwiczenie 6
Określ MMC i MDC z następujących liczb.
a) 40 i 64
Prawidłowa odpowiedź: mmc = 320 i mdc = 8.
Aby znaleźć mmc i mdc, najszybszą metodą jest jednoczesne podzielenie liczb przez najmniejsze możliwe liczby pierwsze. Zobacz poniżej.
Zauważ, że mmc jest obliczane przez pomnożenie liczb użytych w faktoryzacji, a gdc jest obliczane przez pomnożenie liczb, które dzielą obie liczby jednocześnie.
b) 80, 100 i 120
Prawidłowa odpowiedź: mmc = 1200 i mdc = 20.
Jednoczesna dekompozycja trzech liczb da nam mmc i mdc prezentowanych wartości. Zobacz poniżej.
Dzielenie przez liczby pierwsze dało nam wynik mmc przez pomnożenie czynników i mdc przez pomnożenie czynników, które dzielą te trzy liczby jednocześnie.
Ćwiczenie 7
Stosując rozkład na czynniki pierwsze, określ: jakie są dwie kolejne liczby, których mmc to 1260?
a) 32 i 33
b) 33 i 34
c) 35 i 36
d) 37 i 38
Prawidłowa alternatywa: c) 35 i 36.
Najpierw musimy rozłożyć na czynniki liczbę 1260 i określić czynniki pierwsze.
Mnożąc czynniki, okazuje się, że kolejne liczby to 35 i 36.
Aby to udowodnić, obliczmy mmc tych dwóch liczb.
Ćwiczenie 8
Z okazji Dnia Studenta odbędzie się polowanie na padlinożerców z uczniami z trzech klas szóstej, siódmej i ósmej. Zobacz poniżej liczbę uczniów w każdej klasie.
| Klasa | 6º | 7º | 8º |
| Liczba studentów | 18 | 24 | 36 |
Ustal za pośrednictwem mdc maksymalną liczbę uczniów z każdej klasy, którzy mogą brać udział w konkursie jako część zespołu.
Następnie odpowiedz: ile drużyn może utworzyć odpowiednio 6, 7 i 8 klasa, przy maksymalnej liczbie uczestników na drużynę?
a) 3, 4 i 5
b) 4, 5 i 6
c) 2, 3 i 4
d) 3, 4 i 6
Prawidłowa alternatywa: d) 3, 4 i 6.
Aby odpowiedzieć na to pytanie, musimy zacząć od rozłożenia podanych wartości na liczby pierwsze.
Dlatego ustaliliśmy maksymalną liczbę uczniów w zespole i w ten sposób każda klasa będzie miała:
6 rok: 6/18 = 3 drużyny
7 rok: 6/24 = 4 drużyny
8 rok: 36/6 = 6 drużyn
Egzaminy wstępne Odpowiedzi na pytania
Pytanie 1
(Apprentice Sailor - 2016) Niech A = 120, B = 160, x = mmc (A, B) i y = mdc (A, B), wtedy wartość x + y jest równa:
a) 460
b) 480
c) 500
d) 520
e) 540
Prawidłowa alternatywa: d) 520.
Aby znaleźć wartość sumy x i y, musisz najpierw znaleźć te wartości.
W ten sposób podzielimy liczby na czynniki pierwsze, a następnie obliczymy mmc i mdc między podanymi liczbami.
Teraz, gdy znamy wartość x (mmc) i y (mdc), możemy znaleźć sumę:
x + y = 480 + 40 = 520
Alternatywnie: d) 520
pytanie 2
(Unicamp - 2015) Poniższa tabela przedstawia niektóre wartości odżywcze dla tej samej ilości dwóch produktów spożywczych, A i B.
Rozważ dwie izokaloryczne porcje (o tej samej wartości energetycznej) żywności A i B. Stosunek ilości białka w A do ilości białka w B jest równy
a) 4.
b) 6.
c) 8.
d) 10.
Prawidłowa alternatywa: c) 8.
Aby znaleźć izokaloryczne porcje żywności A i B, obliczmy mmc między odpowiednimi wartościami energetycznymi.
Musimy więc wziąć pod uwagę niezbędną ilość każdego jedzenia, aby uzyskać wartość kaloryczną.
Biorąc pod uwagę, że jedzenie A ma wartość kaloryczną 240 Kcal, należy pomnożyć początkowe kalorie przez 4 (60. 4 = 240). W przypadku jedzenia B należy pomnożyć przez 3 (80. 3 = 240).
W ten sposób ilość białka w pożywieniu A zostanie pomnożona przez 4, a w pożywieniu B przez 3:
Jedzenie A: 6. 4 = 24 g
Jedzenie B: 1. 3 = 3 g
Mamy więc, że stosunek między tymi wielkościami będzie wyrażony wzorem:
Alternatywnie: c) 8
pytanie 3
(UERJ - 2015) W poniższej tabeli wskazano trzy możliwości rozmieszczenia n notebooków w pakiety:
Jeśli n jest mniejsze niż 1200, suma cyfr największej wartości n wynosi:
a) 12
b) 17
c) 21
d) 26
Prawidłowa alternatywa: b) 17.
Biorąc pod uwagę wartości podane w tabeli, mamy następujące zależności:
n = 12. x + 11
n = 20. r + 19
n = 18. z + 17
Zauważ, że gdybyśmy dodali 1 książkę do wartości n, nie mielibyśmy już reszty w tych trzech sytuacjach, ponieważ utworzylibyśmy kolejny pakiet:
n + 1 = 12. x + 12
n+1 = 20. x + 20
n+1 = 18. x + 18
Zatem n + 1 jest wspólną wielokrotnością 12, 18 i 20, więc jeśli znajdziemy mmc (która jest najmniejszą wspólną wielokrotnością), możemy stąd znaleźć wartość n+1.
Obliczanie mmc:
Więc najmniejsza wartość n + 1 będzie 180. Jednak chcemy znaleźć największą wartość n mniejszą niż 1200. Poszukajmy więc wielokrotności, która spełnia te warunki.
W tym celu pomnóżmy 180, aż znajdziemy pożądaną wartość:
180. 2 = 360
180. 3 = 540
180. 4 = 720
180. 5 = 900
180. 6 = 1 080
180. 7 = 1 260 (ta wartość jest większa niż 1200)
Możemy więc obliczyć wartość n:
n + 1 = 1 080
n = 1080 - 1
n = 1079
Suma jego liczb zostanie podana przez:
1 + 0 + 7 + 9 = 17
Alternatywnie: b) 17
Zobacz też: MMC i MDC
pytanie 4
(Enem - 2015) Architekt remontuje dom. Aby przyczynić się do ochrony środowiska, postanawia ponownie wykorzystać drewniane deski wyjęte z domu. Posiada 40 desek o wymiarach 540 cm, 30 o wymiarach 810 cm i 10 o wymiarach 1080 cm, wszystkie o tej samej szerokości i grubości. Poprosił stolarza, aby pociął deski na kawałki równej długości, nie wychodząc resztki i żeby nowe kawałki były jak największe, ale krótsze że 2m.
W odpowiedzi na prośbę architekta stolarz musi wyprodukować
a) 105 sztuk.
b) 120 sztuk.
c) 210 sztuk.
d) 243 sztuki.
e) 420 sztuk.
Prawidłowa alternatywa: e) 420 sztuk.
Ponieważ kawałki mają być tej samej długości i jak największe, obliczmy mdc (maksymalny wspólny dzielnik).
Obliczmy mdc między 540, 810 i 1080:
Jednak znaleziona wartość nie może być użyta, ponieważ istnieje ograniczenie długości do mniej niż 2 m.
Podzielmy więc 2,7 przez 2, ponieważ znaleziona wartość będzie również wspólnym dzielnikiem 540, 810 i 1080, ponieważ 2 jest najmniejszym wspólnym dzielnikiem pierwszych tych liczb.
Wtedy długość każdego kawałka będzie równa 1,35 m (2,7:2). Teraz musimy obliczyć, ile będziemy mieli pionów z każdej planszy. W tym celu zrobimy:
5,40: 1,35 = 4 sztuki
8.10: 1.35 = 6 sztuk
10,80: 1,35 = 8 sztuk
Biorąc pod uwagę ilość każdej planszy i sumując, mamy:
40. 4 + 30. 6 + 10. 8 = 160 + 180 + 80 = 420 sztuk
Alternatywnie: e) 420 sztuk
pytanie 5
(Enem - 2015) Dyrektor kina corocznie zapewnia bezpłatne bilety do szkół. W tym roku zostanie rozdanych 400 biletów na sesję popołudniową i 320 biletów na sesję wieczorną tego samego filmu. Można wybrać wiele szkół, aby otrzymać bilety. Istnieje kilka kryteriów dystrybucji biletów:
- każda szkoła musi otrzymać bilety na jedną sesję;
- wszystkie uprawnione szkoły muszą otrzymać taką samą liczbę biletów;
- nie pozostanie żadnych biletów (tj. wszystkie bilety zostaną rozdane).
Minimalna liczba szkół, które można wybrać do uzyskania biletów, zgodnie z ustalonymi kryteriami, wynosi
a) 2.
b) 4.
c) 9.
d) 40.
e) 80.
Prawidłowa alternatywa: c) 9.
Aby poznać minimalną liczbę szkół, musimy znać maksymalną liczbę biletów, które może otrzymać każda szkoła, biorąc pod uwagę, że liczba ta musi być równa w obu sesjach.
W ten sposób obliczymy mdc między 400 a 320:
Znaleziona wartość mdc reprezentuje największą liczbę biletów, które otrzyma każda szkoła, tak aby nie pozostały żadne resztki.
Aby obliczyć minimalną liczbę szkół, które można wybrać, musimy również podzielić liczbę biletów na każdą sesję przez liczbę biletów, które otrzyma każda szkoła, więc mamy:
400: 80 = 5
320: 80 = 4
Dlatego minimalna liczba szkół będzie równa 9 (5 + 4).
Alternatywnie: c) 9.
pytanie 6
(Cefet/RJ - 2012) Jaka jest wartość wyrażenia liczbowego? ?
a) 0,2222
b) 0,2323
c) 0,2332
d) 0,3222
Prawidłowa alternatywa: a) 0,2222
Aby znaleźć wartość wyrażenia liczbowego, pierwszym krokiem jest obliczenie mmc między mianownikami. A zatem:
Znaleziony mmc będzie nowym mianownikiem frakcji.
Aby jednak nie zmieniać wartości ułamkowej, musimy pomnożyć wartość każdego licznika przez wynik dzielenia mmc przez każdy mianownik:
Rozwiązując dodawanie i dzielenie mamy:
Alternatywnie: a) 0,2222
pytanie 7
(EPCAR - 2010) Rolnik posadzi fasolę w prostej grządce. W tym celu zaczął oznaczać miejsca, w których miał sadzić nasiona. Poniższy rysunek przedstawia punkty już zaznaczone przez rolnika oraz odległości w cm między nimi.
Rolnik ten zaznaczył następnie inne punkty wśród istniejących, tak aby odległość re wśród nich wszystkich była taka sama i największa z możliwych. gdyby x reprezentuje ile razy odległość re został pozyskany przez rolnika, więc x jest liczbą podzielną przez
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
Prawidłowa alternatywa: d) 7.
Aby rozwiązać pytanie, musimy znaleźć liczbę, która dzieli jednocześnie przedstawione liczby. Ponieważ odległość ma być jak największa, obliczmy mdc między nimi.
W ten sposób odległość między każdym punktem będzie równa 5 cm.
Aby znaleźć liczbę powtórzeń tej odległości, podzielmy każdy oryginalny segment przez 5 i dodajmy znalezione wartości:
15: 5 = 3
70: 5 = 14
150: 5 = 30
500: 5 = 100
x = 3 + 14 + 30 + 100 = 147
Znaleziona liczba jest podzielna przez 7, ponieważ 21,7 = 147
Alternatywnie: d) 7
Zobacz też: Wielokrotności i dzielniki
