Nierówność I i II stopnia: jak rozwiązywać i ćwiczenia

Nierówność to zdanie matematyczne, które ma co najmniej jedną nieznaną wartość (nieznaną) i reprezentuje nierówność.

W nierównościach używamy symboli:

• > większe niż
• ≥ większe lub równe
• ≤ mniejsze lub równe

Przykłady

a) 3x - 5 > 62
b) 10 + 2x ≤ 20

Nierówność pierwszego stopnia

Nierówność jest pierwszego stopnia, gdy największy wykładnik niewiadomej jest równy 1. Mogą przybierać następujące formy:

• topór + b >0
• topór + b
• topór + b ≥ 0
• topór + b ≤ 0

Istota i b liczby rzeczywiste i ≠ 0

Rozwiązanie nierówności pierwszego stopnia.

Aby rozwiązać taką nierówność, możemy to zrobić tak samo, jak w równaniach.

Musimy jednak uważać, gdy nieznane staje się negatywne.

W tym przypadku musimy pomnożyć przez (-1) i odwrócić symbol nierówności.

Przykłady

a) Rozwiąż nierówność 3x + 19

Aby rozwiązać nierówność, musimy wyizolować x, przekazując 19 i 3 po drugiej stronie nierówności.

Pamiętając, że zmieniając strony musimy zmienić działanie. W ten sposób 19, które dodawały, przejdzie przez zmniejszanie, a 3, które mnożyło, przejdzie przez dzielenie.

3xxx

b) Jak rozwiązać nierówność 15 - 7x ≥ 2x - 30?

Gdy po obu stronach nierówności występują wyrazy algebraiczne (x), musimy je połączyć po tej samej stronie.
W ten sposób numery, które zmieniają strony, zmieniają swój znak.

15 - 7x ≥ 2x - 30
- 7x - 2x ≥ - 30 -15
- 9x ≥ - 45

Teraz pomnóżmy całą nierówność przez (-1). W tym celu zmieniamy znak wszystkich terminów:

9x ≤ 45 (zauważ, że odwracamy symbol ≥ do ≤)
x ≤ 45/9
x ≤ 5

Dlatego rozwiązaniem tej nierówności jest: x ≤ 5.

Rozdzielczość za pomocą wykresu nierówności

Innym sposobem rozwiązania nierówności jest narysowanie jej na płaszczyźnie kartezjańskiej.

Na wykresie badamy znak nierówności, określając, które wartości x zamień nierówność w prawdziwe zdanie.

Aby rozwiązać nierówność tą metodą, musimy wykonać następujące czynności:

1.) Umieść wszystkie warunki nierówności po tej samej stronie.
2º) Zastąp znak nierówności znakiem równości.
3) Rozwiąż równanie, czyli znajdź jego pierwiastek.
4.) Przestudiuj znak równania, określając wartości x które reprezentują rozwiązanie nierówności.

Przykład

Rozwiąż nierówność 3x + 19

Najpierw zapiszmy nierówność ze wszystkimi terminami po jednej stronie nierówności:

3x + 19 - 40 3x - 21

Wyrażenie to wskazuje, że rozwiązaniem nierówności są wartości x, które sprawiają, że nierówność jest ujemna (

Znajdź pierwiastek równania 3x - 21 = 0

x = 21/3
x = 7 (pierwiastek równania)

Reprezentuj na płaszczyźnie kartezjańskiej pary punktów znalezione podczas podstawiania wartości w x w równaniu. Wykres tego typu równania to a prosto.

Zidentyfikowaliśmy, że wartości

Nierówność drugiego stopnia

Nierówność jest drugiego stopnia, gdy największy wykładnik niewiadomej jest równy 2. Mogą przybierać następujące formy:

• topór² + bx + c > 0
• topór² + bx + c
• topór² + bx + c ≥ 0
• topór² + bx + c ≤ 0

Istota , b i do liczby rzeczywiste i ≠ 0

Możemy rozwiązać ten rodzaj nierówności za pomocą wykresu reprezentującego równanie drugiego stopnia do badania znaku, tak jak zrobiliśmy to dla nierówności pierwszego stopnia.

Pamiętając, że w tym przypadku grafika będzie przypowieść.

Przykład

Rozwiąż nierówność x² - 4x - 4

Aby rozwiązać nierówność drugiego stopnia, konieczne jest znalezienie wartości, których wyrażenie znajduje się po lewej stronie znaku

Najpierw zidentyfikuj współczynniki:

a = 1
b = - 1
c = - 6

Używamy Formuła Bhaskary (Δ = b² - 4ac) i podstawiamy wartości współczynników:

Δ = (- 1)² - 4. 1. (- 6)
Δ = 1 + 24
Δ = 25

Kontynuując formułę Bhaskary, ponownie zastąpiliśmy wartościami naszych współczynników:

x = (1 ± √25) / 2
x = (1 ± 5) / 2

x₁ = (1 + 5)/ 2
x₁ = 6 / 2
x₁ = 3

x₂ = (1 - 5) / 2
x₁ = - 4 / 2
x₁ = - 2

Pierwiastki równania to -2 i 3. jak równania drugiego stopnia jest dodatnie, jego wykres będzie miał wklęsłość skierowaną do góry.

Z wykresu obserwujemy, że wartości spełniające nierówność to: - 2

Rozwiązanie możemy wskazać za pomocą następującej notacji:

Przeczytaj też:

• Równanie pierwszego stopnia
• Równanie drugiego stopnia
• Systemy równań

Ćwiczenia

1. (FUVEST 2008) Zgodnie z zaleceniem lekarskim osoba musi przez krótki czas stosować dietę gwarantującą minimum 7 dni dziennie. miligramów witaminy A i 60 mikrogramów witaminy D, karmionych wyłącznie specjalnym jogurtem i mieszanką zbóż, zakwaterowanych w pakiety.

Każdy litr jogurtu dostarcza 1 miligram witaminy A i 20 mikrogramów witaminy D. Każde opakowanie płatków zbożowych dostarcza 3 miligramy witaminy A i 15 mikrogramów witaminy D.

Spożywając x litrów jogurtu i y paczek płatków dziennie, osoba z pewnością będzie przestrzegać diety, jeśli:

a) x + 3y ≥ 7 i 20x + 15y ≥ 60
b) x + 3y ≤ 7 i 20x + 15y ≤ 60
c) x + 20y ≥ 7 i 3x + 15y ≥ 60
d) x + 20y ≤ 7 i 3x + 15y ≤ 60
e) x + 15y ≥ 7 i 3x + 20y ≥ 60

Zobacz odpowiedź

Alternatywa dla: x + 3y ≥ 7 i 20x + 15y ≥ 60

2. (UFC 2002) Miasto jest obsługiwane przez dwie firmy telefoniczne. Firma X pobiera miesięczną subskrypcję w wysokości 35,00 BRL plus 0,50 BRL za wykorzystaną minutę. Firma Y pobiera miesięczną opłatę za subskrypcję w wysokości 26,00 BRL plus 0,50 BRL za wykorzystaną minutę. Po ilu minutach użytkowania plan firmy X będzie korzystniejszy dla klientów niż plan firmy Y?

Zobacz odpowiedź

26 + 0,65 m > 35 + 0,5 m
0,65 m - 0,5 m > 35 - 26
0,15 m > 9
m > 9/0,15
m > 60

Od 60 minut plan firmy X jest korzystniejszy.